L. ROUGIER

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vecteurs^ Les hypothèses précédentes deviendront de simples conventions, qui définissent ce que Ton convient d'entendre par l'addition g-éométrique et alg-ébrique des vecteurs. Pour passer de l'Analyse vectorielle à la Staticjue, il suffira dune seule proposition, mais cette proposition sera nécessairement contingente, parce que l'expérience seule a qualité pour l'établir : les forces phi/siques sont adéquatement représentées dans tons leurs rapports statiques par des vecteurs. Cette proposition est le seul énoncé correct de la règle du parallélogramme des forces, une fois posées les règ'les de l'Analyse vectorielle. Fondée sur l'expérience, cette proposition peut être renversée par elle. C'est ainsi qu'en cinématique, la proposition correspondante : « La composition des vitesses est adéquatement représentée par l'addition géométrique des vecteurs », tenue pour indubitable depuis Galilée, est de nos jours contredite par le principe de relativité. Celui-là, imposé par le résultat négatif des expériences entreprises pour mettre en évidence le mouvement absolu de la Terre, conduit à substituer à la règle galiléenne de la composition des vitesses la règle d'Einstein : deux vitesses v et v , de même sens et de même direction, ne s'additionnent pas vectoriellement suivant la relation classique y -f- u', mais suivant la formule nouvelle {v + v') (i -j- y u'), où la vitesse de la lumière est prise pour unité.

La démonstration géométrique de Bernouilli a été reprise par différents auteurs. Dans le tome I de ses Opuscules mathématiques, d'Alembert la ramenée à son dernier degré de simplicité. Surtout, Poisson l'a rééditée dans son Traité de Mécanique, en lui donnant la forme suivante :

Considérons deux forces égales agissant sur un point matériel 0, et soient OA, OB les vecteurs qai les représentent. Si l'on admet que les deux forces se composent en une résultante déterminée 0 R, on est conduit, par anticipation sur l'expérience, à affirmera priori que 0 U est la bissectrice de l'angle quelles forment AOB, qui lui est opposé par le sommet, « car a n'y aurait pas de raison pour qu'elle s'approchât davantage de l'une de ces deux forces, ni pour que sa direction s'écartât de leur plan plutôt d'un côté que de l'autre^ ». Plus précisément nous dirons : à toute autre position de O R cor-

• Poisson, Traité de Mécanirfue, Paris, i833, t. I", p. 63.

respondrait une position symétrique obtenue par une rotation autour de la bissectrice de langle A 0 B ; or, // n'ij a pas de raison pour que la résultante des forces OA, OB doive être représentée par un vecteur plutôt que par son symétrique.

Si 1 on examine de près ce raisonnement, on y découvre l'hypothèse suivante : La figure, constituée par les deux vecteurs OA, OB, représente dans toutes leurs particularités les deux forces simultanées appliquées en 0, tandis que la résultante luiique de ces forces est représentée seulement par ses relations géométriques avec cette figure. Cette hypothèse, lexpérience seule est qualifiée pour l'établir, ôomme il est facile de le voir. Envisageons plutôt une de ses conséquences : si l'on a deux couples de forces, représentés respectivement par les vecteurs OA, OB et O' A', 0' B', et si les triangles AOB et A'O'B' sont égaux, les vecteurs résultant des couples forment respectivement avec AOB et A'O'B' des figures égales. Or, il est aisé de voir que cette conséquence, et, par suite, l'hypothèse qui la fonde, au lieu d'être vérifiées, pourraient fort bien être renversées par l'expérience. Il suffit de réfléchir, par exemple, au cas où, ayant OA = OB, les deux forces sont déterminées physiquement par deux pôles magnétiques de nom contraire agissant sur une petite masse de fer placée en 0 : la figure géométrique AOB est symétrique par rapport à la bissectrice de l'angle en O, tandis que la figure physique ne présente pas la même particularité.

Si Bernouilli et Poisson ont cru pouvoir donner une démonstration géométrique de la règle du parallélogramme, c'est qu'abusés par la figuration des phénomènes, ils ont inconsciemment transporté des vérités d'ordre géométrique dans le domaine physique. Ils ont conclu de l'existence de certaines symétries géométriques à celle des symétries physiques correspondantes. Les phénomènes naturels étant représentés par des grandeurs symétriques, ce passage illégal du symbole à son objet n^est qu'une des formes du Réalisme, de la tendance substantialiste de l'esprit humain à réaliser toutes choses, qui lui fait prendre le signe pour la chose signifiée, le nom pour l'objet dénommé, la définition pour le défini, les concepts pour des réalités. Aussi l'erreur de Bernouilli et de Poisson n'est-elle pas accidentelle, mais endémique à l'esprit humain : c'est une variété du paralogisme ontologique.

2'i'i LES PARALOGISMES DU RATIONALISME

La procédure suivie par Bernouilli et par Poisson a eu de nombreux imitateurs. « Il est aujourd'hui, déclare Darboux en 1875, peu de Recueils scientifiques où l'on ne rencontre au moins une démonstration de la régule du parallélogramme. Le premier chapitre de la Mécanique céleste en contient une qui repose sur l'emploi des infiniment petits. Poisson, dans sa Mécanique rationnelle , en donne une autre qui conduit à une équation rationnelle. On trouve encore, dans la dernière édition de la Statique de Monge, une démonstration due à Cauchy et reproduite dans le tome I des Exercices de Mathématiques, 1(826. Mobius en fait connaître une autre fort curieuse dans sa Statique. Celle que contiennent nos Traités de Mécanique est très simple, mais elle repose sur un principe de la statique du corps solide ; on l'attribue, 'je crois, à Ampère. Enfin, pour borner là notre énumération, citons encore, dans \e Journal de Liouville, t. I, la démonstration de M. Aimé, qui se rapproche de celle de D. Bernouilli et n'offre aucun avantage sur celle-ci, telle qu'elle a été présentée par d'Alembert'. »

Ces démonstrations reposent sur des principes fort variés. Celles qui invoquent le principe de raison suffisante se ramènent à deux types. Certains auteurs ont admis, en s'appuyant sur des x-aisons de symétrie, que la résultante de deux forces d'intensité égale, appliquées en un même point, est située dans le plan de leurs supports et dirigée suivant la bissectrice de leur angle; ils ont ensuite essayé d'en déduire, sans appel à l'expérience, la règle du parallélogramme. D'autres ont postulé que deux forces appliquées en un même point peuvent être remplacées d'une seule manière par une force unique; ils ont alors établi, par des considérations de symétrie et en s'appuyant sur les propriétés des équations fonctionnelles, la loi de la composition des forces. Des démonstrations de ce genre ont été données par Mobius -, par Poinsot '\ par Daviet de Foncenex*, et, après eux, par de nombreux géomètres. C'est Darboux qui a en quelque sorte mis fin à ces tentatives, en analysant, d'une manière précise et complète, les hypothèses

' G. Darboux, Sur la composition des forces en viatique, Bull. se. math., 1875, p. 281.288. « F. M.jljius, Lelirhiich der Slatik, i, Leipzij;, 183;. 3 Poinsot, Eléments de Statique, i" éd., Paris, an XII. * Daviet de Fonccnex, Mise. Taurinensia, 2. 1860-1.

sur lesquelles reposaient ces démonstrations'. Il a ai:)outi à une conclusion facile à prévoir : il est aussi impossible de démontrer le principe fondamental de la Statique par le raisonnement ([ue de le vérifier directement par l'expérience. Gomme les autres principes de la Mécanique et de la Physique, on l'admet, parce que toutes les conséquences vérifiables ([u'on en peut déduire sont confirmées par lexpérience.