VII. — Les démonstrations tirées du principe de finalité

Un second principe directeur de l'entendement, invoqué fréquemment pour démontrer les propositions premières de la Mécanique et de la Physique, est le principe de finalité. Pour Leibniz, il ne fait qu'un avec le principe de raison suffisante. Comme les causes efficientes sont métaphysiquement subordonnées aux causes finales, il arrive souvent que, d'un même phénomène, on peut proposer deux explications distinctes : l'une par les causes efficientes, l'autre par les causes finales : « Je trouve même que plusieurs effets de la nature se peuvent démontrer doublement, savoir par la considération de la cause efficiente, et encore à part par la considération de la cause finale, en se servant, par exemple, du décret de Dieu de produire toujours son efîet par les voies les plus aisées et les plus déterminées, comme je l'ai fait voir ailleurs en rendant raison des règles de la catoptrique et de la dioptrique-. » Le mérite reapectif de ces deux types d'explication est le suivant : « Je trouve que la voiedes causes efficientes, qui est plus profonde, et en quelcjue façon plus immédiate et a priori, est en récompense assez difficile quand on vient au détail. Mais la voie des finales est plus aisée, et ne laisse pas de servir souvent à deviner des vérités importantes et utiles-^. » Aussi aurait-on grand tort de se priver en physique, comme font les Cartésiens, de la considération des causes finales : « Comme je n'aime pas déjuger les gens en mauvaise part, je n'accusf pas nos nouveaux philosophes qui prétendent bannir les causes finales de la physique, mais je suis néanmoins obligé d'avouer que les suites de ce sentiment me paraissent dange-

' Art. cit.

• Discours de Métaphysique, 21.

2 Ihid., 22.

246 LES l'ARALOGlSMES DU RATIONALISME

reuses.... [car^ pour moi, je tiens, au contraire, que c'est là où il faut chercher le principe de toutes les existences et des lois de la nature, parce que Dieu se propose toujours le meilleur et le plus parfait*. »

De la considération des causes linales, interprétées à l'aide du principe du meilleur, Leibniz déduit le principe de la simplicité des lois de la nature ou principe d'économie; et, comme preuve de sa fécondité, il cite l'usage personnel qu'il en a fait en Optique : « Par exemple, cette maxime que la nature agit par les plus courtes voies ou du moins par les plus déterminées, suffît seule pour rendre raison presque de toute 1 Optique, Catoptrique et Dioptrique, c'est-à-dire de ce qui se passe hors de nous dans les actions de la lumière, comme je l'ai montré autrefois, et M. Molineux l'a fort approuvé dans sa Dioptrique, qui est un livre très bon- . » Leibniz fait ici allusion au mémoire sur l'Optique, paru en 1682, dans les Acta Eruditorum^, où il avait déduit toutes les lois de la réflexion et de la réfraction de ce principe unique, obtenu par la considération des causes finales : « Lumen a puncto radiante ad punctum illustrandum pervenit via ommium facillima ; — La lumière pour aller d'un point à un autre suit toujours la voie la plus facile. » Là-dessus Leibniz, dans le Discours de Métaphysique, glose complaisamment : « Snellius, qui est le premier inventeur des règles de la réfraction, aurait attendu longtemps à les trouver, s'il avait voulu chercher premièrement comment la lumière se forme. Mais il a suivi apparemment la méthode dont les Anciens se sont servis pour la catoptrique,- qui est, en elVet, par les finales. Car, cherchant la voie la plus aisée poui* conduire un rayon d'un point trouvé à un autre point donné par la réflexion d un plan donné {supposons que c'est le dessein de la nature), ils ont trouvé l'égalité des angles d'incidence et de réflexion, comme l'on peut voir dans un petit traité d'Héliodore de Larisse et ailleurs. Ce que M. Snellius, comme je crois, et après lui quoique sans rien savoir de lui) M. Fermât, ont appliqué plus ingénieusement à la réfraction. Car, lorsque les rayons observent dans les mêmes milieux la même proportion des sinus qui est aussi celle des résistances

1 Ibid., 19.

* iVout). Essais, IV, 7, i5.

^ Unicum opticx, caloptricœet dioptricœ j}rincipiiini,Duteiis, III, i45.Comp. Tentuinen anagogicum, Phil., VII, 275-278.

des milieux, il se trouve que c'est la voie la plus aisée ou du moins la plus déterminée pour j^asser d'un point donné dans un milieu à un point donné par un autre ^ »

Maupertuis, dans son Mémoire Accord des di/férenfes lois de la nature qui avaient jusqu ici paru incompatibles-, n'est <juère moins caléi^orique que Leibniz sur l'utilité qu'il y a à considérer les causes linales : « Je connais la répug'nance que plusieurs mathématiciens ont pour les causes iinales appliquées à la Physique et l'approuve même jusqu'à un certain point; j'avoue que ce n'est pas sans péril qu'on les introduit. L'erreur où sont tombés des hommes tels que Fermât et Leibniz en les suivant, ne prouve que trop combien leur usag'c est dangereux. On pemt cependant dire que ce n'est pas le i^rincipe qui les a trompées; c'est la précipitation avec laquelle ils ont pris pour principe ce ({ui n'en était que des conséquences.

« On ne peut pas douter que toutes choses ne soient réglées par un Etre suprême qui, pendant qu il a imprimé à la matière des forces qui dénotent sa puissance, l'a destinée à exécuter des effets qui marquent sa sagesse, et 1 harmonie de ces deux attributs est si parfaite que, sans doute, tous les effets de la nature se pourraient déduire de cliacuu pris séparément. Une mécanique aveugle et nécessaire suit les desseins de l'Intelligence la plus éclairée et la plus libre; et, si notre esprit était assez vaste, il verrait également les causes des eiïeits phj'siques, soit en calculant les propriétés des corps, soit en recherchant ce qu'il y avait de plus convenable à leur faire exécuter.

« Le premier de ces moyens est le plus à notre portée, mais il ne nous mène pas fort loin. Le second quelquefois nous égare, parce que nous ne connaissons point assez quel est le but de la nature et que nous pouvons nous méprendre sur la quantité que nous devons regarder comme sa dépense dans la production de ses effets..

« Pour joindre l'étendue à la sûreté daas nos recherches, il faut employer l'un et l'autre de ces moyens. Calculons les miouvementsdf»s corps, mais consultons aussi les desseins de 1 Intelligence qui les fait mouvoir. »

Dans l'ouvrage célèbre, où il donne une méthode générale pour traiter les problèmes des isopérimètres, qui ressortissent

' Discours de Métaphysique, 22.

- Mémoires de l'Académie des sciences île Berlin, ih avril 1744.

248 LKS PARÂLOGISMES DU RATIONALISME

aujourd'hui au calcul des variations, Euler affirme avec une grande netteté des idées finalistes :

« Comme la construction du monde est la plus parfaite possible et qu'elle est due à un Créateur infiniment sage, il n'arrive rien dans le monde qui ne présente des propriétés de maximum et de minimum. C'est pourquoi aucun doute ne peut subsister sur ce qu'il soit également possible de déterminer tous les effets de l'univers par leurs causes finales, à l'aide de la méthode des maxima et des minima, aussi bien que par leUrs causes efficientes*. »

Acceptons le point de vue finaliste de Leibniz. Du principe d'économie, on peut également déduire deux conséquences fort opposées : ou bien Dieu se pi'opose d'assurer le maximum d'effets compossibles, ce qui est le point de vue de Leibniz ; ou bien il se propose simplement, en toutes choses, les voies les plus simples, ce qui est le point de vue de Malebranche. C'est ainsi qu'une œuvre d'art peut viser, soit à la richesse des effets, comme le Roi Lear de Shakespeare, soit à la simplicité des moyens, comme la Bérénice de Racine. De là suivent deux conséquences opposées : ou bien Dieu a créé le meilleur des mondes possibles, c'est-à-dire celui qui assure le maximum d'effets compossibles, et c'est le point de vue de Leibniz ; ou bien il a créé, non le meilleur des mondes possibles, mais celui qui était réalisable par les voies les plus parfaites et les plus simples, et c'est le point de vue de saint Thomas et de Malebranche : « La proposition « Dieu peut « faire mieux qu'il ne fait », déclare l'Aquinate, peut s'entendre de deux façons. Si le terme mieux est pris substantivement dans le sens d'objet le meilleur, la proposition est vraie, car Dieu peut rendre meilleures les choses qu'il a faites et faire de meilleures choses que celles qu'il a faites. Mais, si le mot mieux est pris adverbialement et signifie d'une manière plus parfaite, alors on ne peut dire que Dieu puisse faire mieux qu'il ne fait, car il ne saurait agir avec plus de sagesse et de bonté ^ » ; et Malebranche : « Dieu pouvait sans doute faire un monde plus parfait que celui où nous habitons' » ; mais, parmi tous les mondes possibles, « il est

' Euler, Methodus inveniendi lineas ciirvas maximi ininimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimelrici, Lausanne el Genève, 174I- * I* p., q. 25, a. 6, ad priinum.

' Traité de la Nature et de la Grâce, i" partie, 14.

déterminé à créer celui qui aurait pu se produire et se conserver par les voies les plus simples, ou qui devait être le plus parfait, par rapport à la simplicité des voies nécessaires à sa jiroduction '. » Maupertuis, grand zélateur des causes finales, réfutant les difficultés que soulève l'existence du mal dans le monde, caractérise ainsi les deux points de vue : « Quelques philosophes paraissent avoir été tellement frappés de cette vue, qu'oubliant toutes les beautés de l'Univers, ils n'ont cherché (|u'à justifier Dieu d'avoir créé îles choses si imparfaites. Les uns, pour conserver sa sagesse, semblent avoir diminué sa puissance, disant qu'il a fait tout ce qu'il pouvait faire de mieux; qu'entre tous les mondes possibles, celui-ci était encore le meilleur. Les autres, pour conserver sa puissance, semblent faire tort à sa sagesse. Dieu, selon eux, pouvait faire un monde plus parfait que celui que nous habitons ; mais il aurait fallu qu'il emploie des moyens plus compliqués ; et il a eu plus en vue la manière dont il opérait que la perfection de l'ouvrage. Ceux-ci se servent de l'exemple du peintre, qui crut qu'un cercle tracé sans compas prouvait mieux son habileté que n'auraient fait les ligures les plus composées et les plus régulières -. »

Ainsi Leibniz et Malebranche, l'un exaltant la sagesse de Dieu au-dessus de sa puissance, l'autre ayant cure de sa puissance plus que de sa sagesse, ne sont pas d'accord sur l'interprétation physique du même principe métaphysique : le principe de l'économie de la nature ou principe de la simplicité des voies de Dieu. C'est dire que ce principe est équivoque et qu'on peut 1 invoquer pour justifier des conclusions fort opposées.

VIII. — Premier exemple : les lois de l'Optique déduites des causes finales.

Pour le bien voir, reprenons l'exemple dont se prévaut Leibniz. Ptolémée avait établi que la lumière réfléchie^ pour sepropager d un point à un autre, emprunte le chemin géométriquement le plus court et, par conséquent, celui qui

* Malebranche, Traité de la Nature el de la Grâce, i" partie, xiii. ' Maupertuis, Essai de Cosmologie; Œuvres, Lyon, 1766, p. 17-18.

250 LES PARALGCISMES DU RATWXALISiME

nécessite le moins de temps possible, en supposant constante la vitesse du rayon lumineux. La ditïiculté commence avec la réfraction. La lumière réfractée n'utilise pas le chemin le plus court g-éométriquement, puisqu'elle suit une lig-ne brisée. Quallons-nous pouvoir déduire du principe d'économie? Fermât, supposant que la Aitesse de la lumière nest pas la même dans les deux milieux et quelle est en raison inverse de la densité des milieux, en déduit que la lumière suit le chemin le plus court chronornélriquement . Ainsi, contrairement à ce qui se passe dans la réflexion, la voie géométriquement la plus courte n'est pas chronométriquement la plus courte et, comme l'expérience prouve que la lumière ne suit pas la première, il reste qu'elle emprunte la seconde, La démènstration par laquelle Fermât déduit \& principe de temps minimum en optique du principe d'économie, repose sur un appel à Texpérience : « le ra^on réfléchi ne se propage pas en ligne droite », etsur une hypothèse auxiliaire : « la lumière se meut plus vite dans les milieux moins denses que dans les milieux plus denses, dans l'air <{ue dans l'eau ».

En partant de la même hypothèse auxiliaire, Leibniz substitue à lexplication de Fermât une interprétation plus générale. A son gré, la lumière, ou tout autre corps <{ui se meut d'un point à un autre, n'utilise ni la voie géométriquement la plus courte, ni celle chronométriquement de moindre durée, mais la route la plus facile, qui n'est souvent ni l'une ni l'autre. Il évalue la difficulté <]ue trouve un rayon à traverser ua milieu donné au produit du chemin par la résistance du milieu. Le rayon suivra donc, d'après Leibniz, le chemin où ce produit est le plus petit possible.

En rapportant cette explication à l'Académie de Berlin, Euler lit remarquer que le principe du chemin le plus facile nest pas un principe d une portée générale et que Leibniz n'en a jamais donné d'autre application que la précédente ; il est donc inventé pour le besoin de la cause. De plus, la notion de résistance ne laisse pas que d'être extrêmement vague et il est difficile de l'exprimer algébriquement. Enfin, qu'adviendra-t-il lorsque le corps se mouvra dans un milieu sans résistance, comme c'est le cas des corps célestes : « Dans ce cas, comment la difficulté devra-t-elle être appréciée? Sçra-ce par la seule route décrite, puisque la résistance étant nulle on pourrait la regarder comme étant partout la même ?

Mais alors il s'ensuivrait quo, dans ces mouvements, la route elle-même décrite devrait être le minimum et par conséquent la lig-ne droite, ce qui est contraire à l'expérience. Si, au contraire, le mouvement se fait dans un milieu résistant, dira-t-il que ce mouvement sera tel que le produit de la route décrite multipliée par la résistance sera minimum? On tirerait de là les conséquences les plus absurdes. On voit donc que le principe de la route la plus facile ne peut s'appliquer à aucun autre phénomène qu'à celui du mouvement de la lumière'. »

Les explications de Fermât et de Leibniz reposent sur une hypothèse auxiliaire, inconciliable avec l'Optique de Newton. La théorie de 1 émission conduit à admettre que la lumière se propage d'autant plus vite que le milieu est plus dense. Maupertuis, qui est partisan de cette théorie, rejette ég-alement le principe de Fermât et celui de Leibniz : « Fermât, déclare-t-il, avait senti le premier le défaut de l'explication de Descartes (qui assimilait la propag-ation et la réflexion de la lumière au mouvement d'une balle rencontrant une surface qui la réfléchit ou la dévie) ; mais il n'avait eu recours ni à des atmosphères autour des corps ni à l'attraction...; il avait cherché l'explication des phénomènes dans un principe tout différent et purement métaphysique. Tout le monde sait que, lorsque la lumière ou quelqu'autres corps A^ont d'un point à un autre par une ligne droite, ils vont par le chemin et le temps les plus courts. On sait aussi... que, lors(jue la lumière est réfléchie, elle va encore par le chemin le plus court et le temps le plus prompt. Voilà donc le mouvement direct et le mouvement réfléchi de la lumière qui paraissent dépendre d'une loi métaphysique qui porte que la nature clans la production de ses effets agit toujours par les moyens les plus simples.

On vit plusieurs des plus célèbres mathématiciens embrasser le sentiment de Fermât ; Leibniz est celui qui la le plus fait valoir. Il fut si charmé du principe métaphysique et de retrouver ici ses causes finales auxquelles on sait combien il était attaché, qu'il regarda comme un fait indubitable que la lumière se mouvait plus vite dans l'air que dans l'eau ou dans le verre.

C'est cependant tout le contraire. Descartes avait avancé le premier que la lumière se meut le plus vite dans les milieux

• Mémoires de l'Académie de Berlin, ijSi.

252 LES PAUALOGISMES UL HATIONALISME

les plus denses, et, quoique l'explication de la réfraction, ([u'il en avait déduite, fût insuffisante, son défaut ne venait point de la sup})osition qu'il faisait. Tous les systèmes qui donnent quelque explication plausible des phénomènes de la réfraction supposent le paradoxe ou le confirment. Or, ce fait posé que la lumière se meut le plus vite dans les milieux les plus denses, tout l'édifice que Fermât et Leibniz avaient bâti est détruit*. »

Quelle est donc la loi, déduite du principe déconomie et de l'hypothèse mentionnée sur la vitesse de la lumière dans les milieux denses, que Maupertuis propose de substituer au principe du temps minimum de Fermât et à celui de la moindre difficulté de Leibniz : c'est la loi du minimum de la quantité d'action, déduite du principe de moindre action. (( En méditant profondément sur cette matière, j'ai pensé que la lumière, lorsqu'elle passe d'un milieu dans un autre, abandonnant déjà le chemin le plus court, pouvait bien aussi ne pas suivre celui du temps le plus prompt... La lumière ne suit aucun des deux. elle prend une route qui a un avantag-e plus réel : le chemin quelle tient est celui par lequel la quantité d'action est la moindre. »

Ainsi, de même que du principe de la constance de Dieu dans ses desseins, on a tour à tour et indifféremment déduit la conservation de la quantité de mouvement dans le monde, le théorème des forces-vives, la conservation de la moindre action et celle de l'énergie; du principe métaphysique, également vague et indéterminé, de l'économie de la nature ou de la simplicité des voies de Dieu, on a tour à tour déduit, suivant les hypothèses auxiliaires auxquelles on devait nécessairement avoir recours, que la lumière, pour se rendre d'un point à un autre dans les phénomènes de réfraction, suit le chemin de plus courte durée, de moindre résistance ou de moindre action. Quel critère permettra de trancher entre des explications si diverses? L'expérience seule qui, en condamnant l'Optique de Newton, justifie le principe du temps minimum de Fermât.

Le principe d'économie, sans le secours de l'expérience, est donc trop vague pour déterminer univoquement la loi qui

* Maupertuis, Accord des différentes lois qui nvaient paru jusqu'ici inconciliables; ap. Mémoires de VAcàdémie de Berlin. i5 avril i744-

régit la propagation de la lumière dans les phénomènes de réflexion.

IX — Deuxième exemple : le principe de moindre action.

Un autre exemple, non moins topique, peut être tiré du principe de moindre action.

Ce principe, dont on a longtemps attribué la découverte à Maupertuis, a été en réalité formulé par Leibniz de la façon suivante : Dans un mouvement libre, l'action des corps en mouvement est « ordinairement un maximun ou niininiuni », l'action étant définie, comme le fera Maupertuis, par le produit de la masse par l'espace et la vitesse, ou du temps par la force-vive. Leibniz déclare qu'il a découvert ce principe par des considérations abstraites et a priori, tirées de la Métaphysique. Tel qu'il est formulé, ce principe est incomplet, car il omet une condition nécessaire pour sa A'alidité, à savoir que l'énergie demeure constante*.

11 est à remarquer tout d'abord que le fait que l'action soit un maximum ou un miniiiium est inditîérent au point de vue mathématique, mais non au point de vue finaliste et théologique. En elVet, si l'action qui se dépense est parfois un maximum, on ne peut plus louer la sagesse et l'économie du Créateur. De plus, il arrive que l'action qui se dépense n'est ni un minimum ni un maximum, à tel point que Leibniz invoque plus loin (( un autre principe, qui succède au précédent, et qui porte qu'au défaut du moindre, il faut se tenir au plus déterminé, qui pourra être le plus simple lors même qu'il est le plus grand- ». Déjà dans l'espèce de sommaire, ajouté après coup au Tentanien anagogicum, Leibniz avait annoncé qu'il montrerait « comment dans la voie des finales, comme dans le calcul des dilférences, on ne regarde pas seulement au plus grand et au plus petit, mais généralement au plus déterminé et au plus plus simple^ ».

Ces perplexités, Maupertuis dans son Mémoire de i644. ignorant les résultats inédits de Leibniz, ne les soupçonne pas.

' Cf L. Couturat, la Logique de Leibniz, note XM : sur le principe de moindre action, p. 577-581.

s PhiL, VIII. 274.

;• Math., VII, 5.

Il tient à tort que l'action est toujours minima. Deux ans plus tard, dans vin mémoire fort obscur sur les lois du j^epoi et du mouvement, déduites d'un principe métaphysique^, il s'efforce d'appliquer le principe de moindre action aux lois du choc et à la détermination des vitesses après le choc. Pour cela, il rend minima une action exprimée par ce qu'on appelle aujourd'hui la force-vive due aux vitesses perdues, en essayant, par des considérations fort obscures, de rattacher cette action à celle qu'il avait antérieurement définie comme le produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Estimant que l'action est toujours un minimum, il en tire argument en faveur de la Providence.

Cependant Euler, à linstig-ation de Maupertuis, avait énoncé en appendice de son ouvrage sur le calcul des isopérimètres (1744), sous le nom de principe de moindre action, un principe, valable pour le cas particulier d'un système soumis à des forces centrales. Ce principe, autrement plus précis et plus utile pour les géomètres que celui de Maupertuis, s énonce ainsi : « Parmi toutes trajectoires qu'un corps peut décrire pour se rendre d'un point à un autre, il choisit toujours celle pour laquelle l'intégrale du produit de sa vitesse par l'élément de chemin correspondant f vds est minimum-. » Euler nomme cette expression l'action d'un corps, et le principe de moindre action revient à dire que l'économie de la nature consiste à épargner cette action.

Maupertuis considère son principe comme de nature métaphysique; il déclare l'avoir découvert a priori, et prétend en déduire toutes les lois de la mécanique. Euler est moins affirmatif : « Puisque tous les etl'ets de la nature suivent quelque loi de maximum ou de minimum, il n'est pas douteux que les courbes décrites par les projectiles sous l'influence de forces quelconques jouissent de quelque propriété de maximum et de minimum. 11 paraît moins facile de définir a priori, par des principes métaphysiques, quelle est cette propriété^. » Plus tard, en 1701, défendant à l'Académie de Berlin le principe de Maupertuis contre les attaques du mathématicien Kônig, il

' Mémoires de. V Académie de Berlin. 1646.

- Knler, op. land.; l'appendice en question est intitulé : Du mauvenent des projectiles dans un milieu non résislanl déterminé par la méthode des nitixima et des minima, Lausanne, 1744-

'•' Ibid.

déclare : « Je ne rapporte point ici l'observation que j'ai faite (jue dans le mouvement des corps célestes et qu'en général dans le mouvement de tous les corps attirés vers les centres de force, si à chaque instant on multiplie la ma^se des corps par l'espace parcouru et par la vitesse, la somme de tous ces produits est toujours l;i moindre... 11 faut remarquer que cette découverte n ayant paru qu après que M. de Maupertuis avait exposé son principe, elle ne peut porter aucune atteinte à sa nouveauté. De plus, je n'avais point découvert cette belle propriété ci priori, mais a posteriori..., et n osant lui donner plus de force que dans le cas que j avais traité, je n'avais point cru trouver un principe plus étendu •. »

Si Maupertuis. et, avec beaucoup moins d assurance, Euler envisagent le principe de moindre action comme une vérité métaphysique, fondée sur les causes finales, Lagrange, qui a montré à quelle condition ce principe est valable (conservation de l'énergie et, en particulier, de la force-vive), n'y voit autre chose qu'un théorème de mécanique, déduit des lois du mouvement.

« Je viens enfin, déclare Lagrange, au quatrième principe que j'appelle de la moindre action, par analogie avec celui que M. de Maupertuis avait donné sous cette dénomination et que les écrits de plusieurs auteurs illustres ont rendu depuis si fameux. Ce principe, envisagé analytiquement, consiste en ce que, dans les mouvements des corps qui agissent les uns sur les autres, la somme des produits des masses par les vitesses et par les espaces parcourus est un minimum. L auteur en a déduit les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière, ainsi que celles du choc des corps, dans deux mémoires, l'un à l'Académie des Sciences de Berlin en 1744, l'autre deux ans après à celle de Berlin. Mais il faut avouer que ces applications sont trop particulières pour servir à établir la vérité d'un principe général; elles ont d'ailleurs quelque chose de vague et d'arbitraire, qui ne peut que rendre incertaines les conséquences qu'on en pourrait tirer pour lexactitude même du principe. Aussi l'on aurait tort, ce me semble, de mettre ce principe, présenté ainsi, sur la même ligne que ceux que nous venons d'exposer. Mais il y a une autre manière de l'envisager, plus générale et plus rigoureuse, qui seule mérite l'atten-

* Mémoijes de l'Académie de Berlin, lySi.

tion des géomètres, M. Euler en a donné la première idée à la fin de son Traité des isopérimètres, imprimé à Lausanne en 1744. en J faisant voir que, dans les trajectoires décrites par des forces, centrales, l'intégrale de la vitesse multipliée par l'élément de la courbe fait toujours un maximum et un minimum. Cette propriété, que M. Euler n'avait reconnue que dans le mouvement des corps isolés, je l'ai étendue depuis au mouvement des corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque, et il en est résulté ce nouveau principe général, que la somme des produits des masses par les intégrales des vitesses multipliées par les éléments des espaces parcourus est constamment un maximum et un minimum,

« Tel est le principe auquel je donne ici, quoiqu'improprement, le nom de moindre action, et que je regarde, non comme un principe métaphysique, mais comme un résultat simple et général des lois de la mécanique ^ »

Laplace est encore plus catégorique, s'il se peut, que Lagrange :

« Plusieurs philosophes, dit Laplace, frappés de Tordre qui règne dans la nature, et de la fécondité de ses moyens dans la production des phénomènes, ont pensé qu'elle parvient toujours à son but par les voies les plus simples. En étendant cette manière de voir à la Mécanique, ils ont cherché l'économie que la nature avait eue pour objet dans l'emploi des forces et du temps. Ptolémée avait reconnu que la lumière réfléchie parvient d'un point à un autre par le chemin le plus court, et par conséquent dans le moins de temps possible, en supposant la vitesse du rayon lumineux toujours la même. Fermât généralisa ce principe en l'étendant à la réfraction de la lumière. Euler étendit cette supposition aux mouvements variables à chaque instant et il prouva, par divers exemples, que, parmi toutes les courbes qu'un point peut décrire en allant d'un point à un autre, il choisit toujours celle dans laquelle l'intégrale du produit de la masse par la vitesse et par l'élément de la courbe est minimum. On a nommé l'intégrale précédente l'action d'un corps. Euler établit donc que cette action est un minimum, en sorte que l'économie de la nature consiste à l'épargner : c'est ce qui constitue le principe de la moindre action, dont on doit regarder Euler comme le véritable inven-

1 Lagrangc, Mécanique analjjtiqne. Paris, 1788, 2' partie, 2.'^ scct.

teur, et que Lagrange ensuite a déduit des lois primordiales du mouvement. Ce principe n'est au fond quun résultat curieux de ces lois qui, comme on Va vu, sont les plus naturelles et les plus simples que l'on puisse imaginer, et qui semblent découler de l'essence de la matière. Il convient à toutes les relations mathématiquement possibles entre la force et la vitesse, pourvu (jue l'on substitue, dans ce principe, au lieu de la vitesse, la fonction de la vitesse par laquelle la force est exprimée. Le principe de la moindre action ne doit donc pas être érigé en cause finale ; et, loin d'avoir donné naissance aux lois du mouvement, il n'a pas même contribué à leur découverte, sans laquelle on disputerait encore sur ce qu'il faut entendre par la moindre action de la naturel »

La critique du principe de moindre action, amorcée par Lagrange et Laplace, a été reprise, à divers titres, par Jacobi, Petzoldt et Macii.

Mach, dans son Histoire de la Mécanique, relève l'ambiguïté du concept d'action défini par Maupertuis. La mesure de cette grandeur est le produit mvs; mais, alors que les grandeurs m et y sont bien déterminées, il n'en est pas de même du chemin s, si Ton ignore en quel temps celui-ci est parcouru. Si le temps de parcours est l'unité, la distinction entre la vitesse et le chemin, dans les cas traités par Maupertuis, est illusoire. De plus, lorsque Maupertuis aborde le problème, traité par Fermât et Leibniz, de la propagation de la lumière, il prend la notion de moindre action dans un sens tout différent : l'action ne consiste plus dans la variation du produit mvs, mais dans la somme de ces grandeurs. Bref, le principe de Maupertuis « est une forme symbolique nuageuse qui, à Laide de beaucoup d'imprécision et de quelque violence, permet de grouper plusieurs cas particuliers distincts déjà connus'^ ». C'est une parcelle de foi religieuse tombée dans le domaine de la mécanique. Son intérêt historique fut de stimuler Euler, et de le mettre sur la voie de la découverte de son principe d une toute autre importance.

Lagrange avait indiqué que le principe d'Euler n'est utilisable que dans les cas où le théorème des forces vives est respecté, c'est à-dire lorsque, dans l'expression fvds, v est

1 Liiplaci-, Erposidnn flu Syslème du monde, Œuvres, t. III, chap. ii. * Mach, Za Mécanique, trad. P. Bertrand, Paris, 1904, p. 349.

I,. Roi'OIKK. 17

:d58 LES PARALOGISMES UU RATIONALISME

uniquement fonction des coordonnées. Jacobi ' montre à son tour que tout ce que Ton peut affirmer, c'est, non pas à proprement parler que la somme / vds est un minimum pour tout mouvement réel, mais seulement que cette somme est nulle, si l'on passe de la trajectoire réelle à une trajectoire infiniment voisine. Cette condition n'impose pas que l'intégrale soit toujours minima ; elle peut être maxima, et même n'être niTun ni l'autre. Quand un corps, assujetti à se déplacer sur la surface d'une sphère, est mis en mouvement par une impulsion, il décrit un arc de grand cercle qui est, eu général, une ligne du plus court chemin; mais, si cet arc est supérieur à 180 degrés, il n'est certainement pas minimum. Il ne faut plus parler ici d'économie, mais de prodigalité de la part de la nature .

Remarquons que l'autre principe, cité le plus complaisamment par les finalistes, celui du temps minimum de Fermât, n'est pas plus convaincant. Aujourd'hui, nous savons que la lumière se meut par tous les chemins; mais, comme ce n'est que sur celui de moindre durée de parcours que les ondes lumineuses sont renforcées, nous constatons, dans cette direction seulement, un effet sensible : la lumière semble alors se propager suivant le chemin de moindre durée.

En résumé, à côté de preuves d'une prétendue économie de la nature, on trouve des cas de la plus étonnante prodigalité. En les signalant, Jacobi a réalisé, pour les sciences physiques, une œuvre analogue à celle accomplie, dans les sciences biologiques, par Darwin et Aletchnikolï, qui, à côté des harmonies de la nature célébrées par les philosophes du xv!!!*" siècle, ont révélé les désharmonies multiples qu'elle comporte, sources de la douleur, de la maladie et de la mort.

Il n'en reste pas moins qu'il est fort remarquable qu'une expression aussi simple que f vds permette, lorsqu'on en égale la variation à zéro, d'obtenir les équations ordinaires de la mécanique. Il convient de rechercher la signification physique de ce fait. C'est à quoi s'est appliqué Petzoldt". « Dans tout mouvement, déclare-t-il, la trajectoire réellement parcourue apparaît toujours comme se distinguant nettement

1 Jacobi, Vorlesungen ûber Dynamik, herausgea;eben von Glebsch, Berlin 186G.

* Pctzoldl. U.irimi, lu'.nima nnd Œkonomie, Altcnburp-, 1891.

de l'infinité des trajectoires imaginables. Mais, analytique ment, cela ne signilie rien d autre que ceci : il est toujours possible de trouver des expressions dont la variation, égalée à zéro, fournit les équations diiïérentielles du mouvement: car la variation ne peut s'évanouir que lorsque l'intégrale prend une .valeur déterminée d une seule façon. » Ramassant sa pensée, Petzoldt conclut : « Les théorèmes d'Euler et de Hamilton, non moins que celui de Gauss, ne sont donc autre chose que des expressions analytiques du fait expérimental que les phénomènes de la nature sont déterminés d'une façon univoque. » Ainsi, les principes ou théorèmes de minimum que l'on rencontre en mécanique, le principe de moindre action d'Euler, le théorème d'Hamilton, le principe de moindre contrainte de Gauss dont nous allons parler, expriment simplement que, dans chaque cas particulier, il arrive exactement tout ce qui peut arriver étant données les circonstances présentes, c'est-à-dire étant donné tout ce que les circonstances déterminent, et déterminent d'une façon univoque. En ce sens, ces propositions de minimum dépendent du principe des conditions suffisantes qu'Auguste Comte et Darwin ont substitué, dans les sciences biologiques, au principe de finalité.

X. — Le principe de moindre contrainte de Gauss et les lois du hasard.

Il y a plus, et là où Maupertuis reconnaissait la marque de la sagesse du Créateur, on peut discerner l'œuvre du hasard. Suivant le principe d'Euler, la trajectoire effectivement suivie par un corps est telle que l'expression / vds, lorsque v dépend de la position de ds, est moindre que pour toute autre trajectoire infiniment voisine, partant du même point initial et aboutissant au même point final, suivant laquelle on pourrait contraindre le corps à se mouvoir. En partant de cet énoncé, il est facile de passer du principe de moindre action d'Euler à celui de moindre contrainte que Gauss a formulé dans le Journal de Crelle :

({ Le mouvement d'un système de points matériels, liés entre eux d'une manière quelconque et soumis à des influences quelconques, se fait, à chaque instant, dans le plus parfait accord

260 LES PARALOGfSMES DU RATIONALISME

possible avec le mouvement qu'ils auraient, sils devenaient tous libres, c'est-à-dire avec la plus petite contrainte possible, en prenant, pour mesure de la contrainte subie pendant un temps infiniment petit, la somme des produits de la masse de chaque point par le carré de la quantité dont il s'écarte de la position qu'il aurait prise s'il eût été libre.

« Si m, m', m"... désignent les masses des points ; a, a' ,a", leurs positions respectives à l'époque t;b,Jj', b"... les positions qu'ils occuperaient à l'époque t + clt, en vertu des forces et des vitesses acquises à t, si les liaisons étaient supprimées ht; et c, c', c"... leurs positions réelles à l'époque t + dt, l'énoncé précédent revient à dire que les positions c, c' c"..., que prendront les points, seront, parmi toutes celles compatibles avec les liaisons, celles pour lesquelles la somme :

hc +m'.h'c'-^m".b"c"

est un minimum *. »

Gauss va-t-il, à Tinstar de Maupertuis et d'Euler, voir dans ce principe d'économie la marque de la sagesse providente d'un Créateur ? Va-t-il invoquer les causes finales? Non; il dénonce dans ce nouveau principe la marque du hasard : « Il est bien remarquable que les mouvements libres, lorsqu'ils sont incompatibles avec la nature du système, sont précisément modifiés de la même manière que les géomètres, dans leurs calculs, modifient les résultats obtenus directement en leur appliquant la méthode des moindres carrés, pour les rendre compatibles avec les conditions nécessaires qui leur sont imposées par la nature de la question. On pourrait poursuivre cette analogie, mais cela ne rentre pas dans le but que je me propose en ce moment. >> Qu'est-ce à dire? Apparemment ceci : la nature, lorsqu'elle modifie la marche d'un système en l'assujettissant à des liaisons, se comporte comme le physicien, lorsqu'il tire par interpolation, à l'aide de la méthode des moindres carrés, l'expression d'une loi physique des points expérimentaux qu'il a accumulés, les masses jouant ici le rôle des points dans les' observations. La nature se comporte donc, dans le cas d'un système lié, comme si elle obéissait aux lois du hasard !

i Journal de Crelle, t. IV, 1829