XII. — La nature des principes

Les diseussions -précédentes montrent, à l'aide d'exemples topiques, la vanité des prétendues démonstrations métaphysiques des principes des sciences physiques. Descartes voit dans les principes des sciences de la nature l'efTet des perfections de Dieu ; d'Alembert et Laplace y reconnaissent une .suite de l'existence de la matière livrée à elle-même ; Kant les déduit des formes a priori de notre pensée, qui construit le monde objectif de l'expérience en soumettant à ses lois la matière de l'intuition. Pour Maupertuis, pour Euler. le principe de moindre action se tire de la considération de la sagesse du Créateur et des causes finales ; pour Lagrange, pour Laplace, pourJacobi, c'estun simple théorème de mécanique déduit des lois du mouvement, qui, elles, « semblent découler de l'essence même de la matière. » Les prémisses philosophiques les plus opposées, les théories métaphysiques les plus antithétiques sont tour à tour appelées à justifier les mêmes conséquences; et, celles-ci. par un cercle vicieux intolérable, sont invoquées en retour comme preuves de leurs prémisses contradictoires.

' hiehig, Ueber das SI uJiiim dcr Aalurwissenschafl un<l ueher Ziistand der Chemie in Preussen; ap. Fustiis S. Linnir,. Kin Gedankblati zu seineni £5 jiigrigen Todestag, 8 april i8ij8, von Dr. \V. Roth, p. i65-i6(j.

Dieu est sensible à Maupertuis dans le principe de moindre action ; la marque du hasard se révèle à Gauss dans celui de moindre contrainte. Pareil désaccord règne dès qu'il s'ag-it de reconnaître si les principes de la mécanique sont de vérité nécessaire ou de vérité contingente. Ces qualificatifs sont pris au moins dans une double acception. Pour Descartes, pour Leibniz, pour Bernouilli, pour Maupertuis, pour Euler, pour d'Alembert, pour Poisson, les principes de la mécanique sont nécessaires, en ce sens qu'on peut les démontrer a priori en partant des principes de la Métaphysique : pour les Criticistes, ils sont nécessaires, en tant qu'on peut les déduire des conditions a priori de l'expérience ; pour Lagrange, pour Laplace, pour Lazare Garnot, pour les savants de nos jours, ils sont contingents, en ce sens que l'expérience permet seule de les découvrir et de les vérifier. Mais, tout en étant nécessaires en tant que démontrables a priori par des raisons tirées de la Métaphysique, ils sont pourtant de vérité contingente pour Leibniz, pour ^laupertuis, pour Euler, pour Formey, pour Béguelin, parce qu'ils reposent sur le principe de raison suffisante ou du meilleur, qui ne leur confère qu'une nécessité hypothétique; au lieu que, pour d'Alembert, ils sont de vérité nécessaire, paTce qu'ils se déduisent de l'existence même de la matière, en vertu du principe de contradiction.

Aujourd'hui, nous connaissons mieux la nature des principes. Un principe est une loi expérimentale, vérifiée approximativement dans certains cas particuliers, généralisée par la suite et transformée en définition par convention, pour être soustraite aux atteintes directes de l'expérience. Promu à cette nouvelle dignité, cessant d'être toujours remis en question, un principe sert à interpréter l'expérience, de sorte que les écarts éventuels observés entre l'observation et la théorie sont considérés, non comme un démenti direct à l'autorité du principe, mais comme l'indice de la présence d'un phénomène intercurrent, d'un effet résiduel, révélé et parfois, s'il est simple, mesuré par l'écart enregistré. G'est ainsi, par exemple, que la règle de la composition des forces, vérifiée tout d'abord dans les cas particuliers du levier et du plan incliné, ne parait plus pouvoir être infirmée directement par l'expérience, car chaque composante nouvelle, qu'il serait nécessaire d'introduire pour sauver la règle, définit, si les conditions de l'expérience mettent en évidence un phénomène simple, une

nouvelle espèce de force. Toutefois, issu de l'expérience, un principe en est toujours justiciable. Il peut être abandonné, soit qu'il apparaisse inconciliable avec un principe plus général, jouissant d'une autorité supérieure par suite de sa plus grande universalité, soit parce qu'il cesse de se montrer fécond. Dans ce dernier cas, on peut toujours sauver le principe, mais à l'aide d'hypothèses gratuites, de coups de pouce qui n'amènent la découverte d'aucun phénomène nouveau. Alors, « si un principe cesse d'être fécond, l'expérience, sans le contredire directement, l'aura cependant condamné' ».

XIII. — En quel sens la démonstration des principes est légitime.

Est-ce à dire que les principes ne soient en aucune manière démontrables ? Aristote aurait répondu par l'aflirmative, car pour lui, comme pour les Scolastiques, le terme d'indémontrable, appliqué à une proposition, a un sens définitif et absolu. Il y a des propositions indémontrables par nature, comme il y en a qui, par nature, sont des théorèmes démontrables.

Aujourd'hui, nous savons fju il n'en est rien. Le qualificatif d' indémontrable , appliqué aux propositions, celui d'indéfinissable^ appliqué aux notions, n'ont (ju'une signification relative. Une proposition n'est indémontrable que par rapport à un certain ordre de démonstrations et à un certain système de définitions qui varient avec le choix du système des notions et des propositions premières. Suivant le système adopté, une même proposition prendra rang au nombre des principes ou des théorèmes ; une même notion, au nombre des notions irrt''ductibles ou dérivées. Demander si une proposition est indémontrable, si une notion est indéfinissable, sans spécifier à quel système on se réfère, est une question vide de sens.

Etant donné un système de notions et de propositions premières, communément adopté à une époque déterminée, pour exposer déductivement une science quelconque, il peut arriver que l'on trouve bon de changer de système, de sorte que les notions, considérées autrefois comme irréductibles, les propositions, considérées autrefois comme indémontrables,

* H. Poincaré, In Valeur de la Science, p. z^f).

prennent rang- de notions définissables et théorèmes démontrés. Le changement du système des notions et des propositions premières d'une théorie déductive se justifie par des raisons d'économie et de généralité.

L'économie de pensée que l'esprit réalise, lorsqu'il résume le résultat d'un nombre indéfini d'expériences particulières dans une loi générale unique, il la redouble, lorsqu'il condense un grand nombre de lois en quelques principes : et il l'achève, lorsqu'il réduit ces principes à un seul. L'histoire de la mécanique illustre cet effort vers la réduction progressive des principes au plus petit nombre possible. La systématisation des lois de la mécanique, à l'époque ne^vtonienne, repose sur quatre principes distincts : le principe d'inertie, le principe de l'indépendance des effets des forces, celui de la proportionnalité des forces au produit des masses par les accélérations, celui de l'égalité de l'action et de la réaction. Lagrange parfait l'œuvre de Newton en condensant ces quatre principes en un seul : le principe de d'Alembert, généralisé par l'introduction des forces d'inertie en dynamique. Il déduit de ce principe le système d'équations différentielles du second degré qui régissent les mouvements de tout système mécanique. Les recherches concernant l'indépendance des axiomes ont montré qu'il est inutile, pour l'édification de la mécanique, de postuler à la fois des forces et des conditions quelconques, comme le fait Lagrange dans ses équations, et que, par là, le système des postulats peut être diminué. Cette constatation conduit, d'une part, au système d'axiomes posé par Boltzmann, qui suppose encore des forces centrales, il est vrai, mais sans autre condition additive; d'autre part, au système de Hertz qui exclut toute notion de force.

La géométrie ordinaire à trois dimensions repose sur un système de postulats sensiblement plus nombreux que ceux formulés explicitement par Euclide. Mais, si on utilise la géométrie analytique, il suffit uniquement de faire appel à la proposition qui concerne la linéarité de l'équation du plan et la transformation orthogonale des coordonnées ponctuelles, pour construire ensuite, par le seul moyen de l'analyse, la science, cependant si vaste, de la géométrie métrique à trois dimensions. Pareillement, l'Analyse, avec ses développements illimités, repose tout entière sur les principes de l'Arithmétique et la notion du nombre entier.

Lorsqu'une théorie scientifique est fondée sur un principe unique, exprimable par un système d'équations entre un petit nombre de grandeurs indéfinissables, l'économie de pensée paraît poussée à son comble. Il n'en est pas pourtant ainsi, car on peut espérer ramener plusieurs théories distinctes aune seule. C'est ainsi que l'Optique de Fresnel et l'Electro-magnétisme fondé par Ampère fusionnent en une théorie unique, la théorie électromagnéti(j[ue de la lumière. D'après celle théorie, les principes de l'Optique et ceux de l'Electrostatique, de l'Electrodynamique, de l'Electroma^nétisme se ramènent aux équations difîérentielles de Glerk Maxwell. Les équations canoniques de Lag'range, celles de Maxwell, celles de la dynamique de l'électron se ramènent elles-mêmes aux équations de l'Electromagnétisme de Lorentz, dont Poincaré a montré qu'elles formaient un groujie, mis en accord depuis, par Einstein, avec le principe de relativité généralisé.

Nous ne sommes pas cependant à bout de compte. Non seulement on peut espérer fusionner des théories distinctes, relatives à une même science, dans une même unité ; mais on peut espérer réduire les principes propres de sciences distinctes aux principes plus fondamentaux des sciences plus générales et moins complexes qui les précèdent dans la classification d Auguste Comte. C'est ainsi que la théorie physico-chimique des phénomènes biologiques s'efforce de ne voir dans les phénomènes de la vie que la résultante globale de phénomènes physico-chimiques élémentaires ; c'est ainsi que les explications mécaniques des phénomènes physiques sont sorties du secret espoir de ramener la diversité des apparences sensibles à « la figure et au mouvement », considérés comme uniques qualités premières. C'est ainsi que les Logisticiens, Peano et Russell, se sont efforcés de réduire les principes propres des mathématiques aux principes communs de la logique. Alors, seulement, le besoin d'unité, de simplicité et d'économie de notre pensée, trouve complète satisfaction.

Au souci d'économie, qui nous fait réduire les principes des sciences au strict minimum, et nous conduit à abattre les cloisons étanches élevées entre les ditTérentes catégories de phénomènes, s'associe intimement la préoccupation de généraliser sans cesse les principes, un principe étant d'autant plus fécond qu'il est plus général. C'est ainsi qu'en Statique, on peut partir indifTéremment du principe du levier d'Archimède,

du principe du parallélogramme de Stévin joint k la lui de proportionnalité de la mesure statique des forces à Taccélération quelles produisent, enfin du principe des vitesses virtuelles de Lagrange. Pourquoi ce dernier est-il préféré aux deux autres qui lui sont équivalents en Statique ? C'est qu'il est infiniment plus compréhensif. Il additionne les travaux de toutes les forces qui agissent sur un système considéré, y compris les forces d'inertie, et déclare que cette somme est nulle pour tout déplacement virtuel du système, ce qui revient, analytiquement, à additionner les termes de la forme Fdf^ représentant chacun un travail, et à en égaler la somme à zéro. La généralité de ce principe tient k ce qu'on ne s'inquiète pas de savoir si F est une force, /"un déplacement, si F est un couple, f un angle; f est une variable quelconque. F est, par définition, la force suivant cette variable : c'est le facteur par lequel il faut multiplier la variation de la variable pour obtenir le travail élémentaire correspondant. Or, ce déplacement virtuelpeut représenter aussi bien une élévation de température, un changement d'état, etc. En un mot, ce qui fait la fécondité du principe des vitesses virtuelles, c'est qu'il nous permet de ne pas expliciter les deux facteurs qui entrent dans l'expression d un travail.

L'histoire delà ]\Iécanique est une perpétuelle illustration de" cette tendance k généraliser les principes. A la mécanique de Newton, qui s'applique à des points inétendus s'attirant dans l'espace, mais qui reste impuissante en face des systèmes formés de corps de dimensions finies, soumis k des liaisons variées, se substitue celle de Lagrange qui aborde ce dernier problème. Lagrange ne prétend étudier que les systèmes où tout est figure et mouvement local : il laisse seulement la plus grande indétermination possible aux grandeurs variables qui représenteront cette figure et ce mouvement ; mais sa mécanique ne rend pas compte des changements d'état physique, des réactions chimiques, des phénomènes électriques et magnétiques. Aussi l'a-t-on remplacée par celle de Gibbs et de Helmholtz, dont elle n'est plus qu'un cas très particulier. Toutefois, 1 indétermination des formules canoniques de Lagrange leur a permis de servir de moule analytique dans lequel sont venues se couler les théories de la Physique pendant un siècle.

Démontrer les principes peut donc avoir un sens acceptable : c'est s'efforcerderamener les propositions, admiseskuneépoque

comme indémontrables, à des propositions plus fondamentales, dont elles se déduisent à titre de cas particuliers. Ces propositions fondamentales apparaissent alors comme de nouveaux principes, en lieu et place des anciens, cjui font désormais ligure de théorèmes. Cette substitution de principes de plus en plus généraux est recommandable : elle augmente l'intelligibilité de la nature, en réduisant la part de l'inexpliqué dans le monde, et donne ainsi satisfaction à notre besoin d'unité. Si l'historien n'avait qu'à enregistrer de semblables tentatives, il n'aurait qu'à louer un procédé parfaitement licite et fécond.