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inipoite de remarquer, étant données une collection illimitée et une série indéfinie de nombres, l'existence de la classe infinie de ces noml^res ou de la limite de cette série ne suit pas de ce que l'on conçoit qu'il suffirait de réunir tous les nombres de cette collection pour constituer cette classe, et de sommer tous les termes de la série pour obtenir cette limite, de telles opérations impliquant un nombre infini d'actes distincts de la pensée. L'existence d'une telle classe et dune telle limite doit être établie, soit à l'aide d'une démonstration directe qui ne fasse en rien appel à la possibilité de réunir tous les nombres de la collection et de calculer toutes les approximations successives de la limite, soit à l'aide d'un recours à l'intuition.

En résumé :

i" On ne peut légitimement raisonner que sur des entités dont on a établi l'existence logique.

2*^ On ne peut établir l'existence d'une entité sans la définir, car. pour démontrer qu'une chose existe, il faut savoir de (juoi 1 on parle.

S'' On ne peut ellectuer <ju'un nombre fini d'actes de pensée distincts. On ne peut, par suite, définir un être mathématique (ja'à 1 aide d un nombre lini de mots ou de conventions.

4" Un être n'existe pas logiquement du seul fait d'être défini. Il faut encore montrer que sa détinition n'implique p-as contradiction. C'est ce que 1 on parvient à faire, soit à l'aide d'un théorème d'existence, déductivement établi, soit à l'aide d'un postulat d'existence, intuitivement justifié.

5" En particulier, la possibilité de construire, par récurrence, un nombre indéfini d'entités, n'implique pas l'existence de la classe infinie de ces entités, de même que la possibilité de sommer un nombre indéterminé de termes d'une série, nimplic/ue pas l'existence- d'une limite, dont ils seraient les approximations successives.

Les Réalistes considèrent comme intolérables ces conditions restrictives imposées à l'existence des êtres mathématiques par les exigences subjectives de notre pensée. Puisque les êtres mathématiques existent en dehors de notre esprit, leur existence n'est pas conditionnée par l'iniîrmité de celuilà. J'ai garde, disait Taine, de confondre les limites de mon esprit avec celles de l'esprit humain. Le Pragmatiste, prenant

sa pensée pour mesure de l'être, a tort de limiter l'existence des êtres mathématiques qui ne sont pas pensables pour un esprit humain : des ensembles (jui demanderaient, pour être définis, un nombre infini de mots ; des correspondances qui demanderaient, pour être décrites, un nombre infini de choix arbitraires. Ces ensembles existent néanmoins, indépendamment de la possibilité pour notre esj^rit de les définir ; ces correspondances existent, indépendamment de la possibilité pour notre esprit de les décrire : « Il n'est pas nécessaire, déclare Jules Tannery, pour qu'un ensemble soit déte'rminé (c'est-àdire existe), que l'on puisse effectivement reconnaître, sur un nombre donné, qu'il appartient ou qu'il n'appartient pas à cet ensemble, c'est-à-dire qu il soit définissable... Il n'est pas nécessaire que la propriété qui caractérise les nombres d'un ensemble puisse être formulée en termes explicites; cette propriété consistera, si l'on veut, à faire partie de l'ensemble, et, si elle est réduite à ce degré d'abstraction, elle ne pourra être décrite explicitement, que si l'ensemble est fini : sa description est alors le tableau même des nombres qui constituent l'ensemble. Pour qu'il y ait ensemble, espèce si l'on veut, il faut qu'il y ait séparation, il n'est pas nécessaire que l'on puisse dire en quoi consiste cette séparation : l'idée de I espèce n'implique pas qu'on puisse énumérer les caractères qui spécifient les individus qui constituent l'espèce-. » xVinsi un ensemble existe sans être définissable, c'est-à-dire smis qu'on sache quelles propriétés le caractérisent en compréhension^ et quels individus le constituent en extension. De même une correspondance existera entre deux ensembles infinis, sans qu'il soit besoin de connaître quelle est la formule de correspondance qui lie les termes du premier ensemble aux termes du second, sans même que cette formule de correspondance existe : en un mot, une correspondance existe sans être descriptible : « Cette possibilité n'est nullement impliquée dans le fait que la correspondance est déterminée (existe). Je puis penser la correspondance comme étant déterminée, et comme ne pouvant pas être décrite -. »

Il y a plus. Le Réaliste envisage comme existant le résultat

* J. Tannery, Da l'infini mathémalique, ap. Revne génrrule Jes Sciencen, 28 février, 1897, P- ''^4-

* Art. cit., p. i33.

d'un nombre infini, et même transfini, d'opérations bien que nous n'en puissions jamais efîectuier qu'un nombre lini. S'ag-itil de savoir si le continu g-éométrique peut être bien ordonné, de telle sorte que le nombre cardinal qui désig-ne la puissance du continu appartienne à la série des nombres cardinaux transfinis de Gantor, soit un aleph d'indice connu ou inconnu ? Les Cantoriens n'hésiteront pas ii répondre par l'affirmative. Quoi de plus simple, en effet? Pour que l'ordination du continu soit possible, il suffit d'imag-iner un nombre infini de choix successifs, ou encore, comme Zermelo l'a établi, un nombre transfini de choix indépendants simultanés. Le praginatiste de Poincaré, ouïe nominaliste d'Enriques, se refusera, quant à lui, à admettre une pareille éventualité. Il considérera le processus d'ordination proposé comme transcendant, par suite comme irrecevable. Pour lui, en effet, choisir des éléments, c'est définir la loi qui distingue ces éléments : or, on peut bien formuler en un nombre fini de mots une loi qui définisse une infinité dénombrable de choix; on ne peut, en aucun cas, effectuer, sans loi et isolément, luie iniinité, dénombrable ou non, de choix arbitraires.

Le réaliste reconnaîtra bien volontiers que, pour un esprit humain, l'opération dont parle Zermelo est inexécutable : mais la question, pour lui, n'est pas de savoir si nous fies humains avec leur entendement lini i pouvons ordonner le continu; ni si on (une divinité hypothétique avec un entendement infini) peut ordonner le continu; la question est de savoir si V ordination en soi est possible, indépendamment de tout esprit qui puisse en concevoir l'exécution : « Ce qui est certain, écrit ^L Iladamard à M. Borel, c'est que M. Zermelo ne donne aucun moyen d'exécuter effectivement l'opération dont il parle... Ce point écarté, (petite contingence pour un réaliste!) la question principale, celle de savoir si l'ensemble peut être ordonné, n'a évidemment pas pour Baire (pas plus que pour Lebesgue et toi) le même sens que pour moi. Je dirais plutôt : l'ordination est-elle possible? (et non pas même peut-on ordonner, de crainte d avoir à penser ce qu'est cet on) : Baire dirait : pouvons-nous ordonner? Question toute subjective, à mon avis^. »

* Cf. K. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions. 2' éd.. Paris. 1914 note IV : les Polémiques sur le Iransfini, p. iSy.

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Ainsi, au gré des Réalistes, non seulement des êtres mathématiques existent que nous ne saurons jamais définir, en les construisant ou en les décrivant; mais même des opérations sont concevables en soi, indépendamment de tout esprit pour les effectuer, ou seulement pour en concevoir la possibilité. Non seulement l'objet de la science mathématique existe indépendamment de notre esprit, mais la mathématique existe, elle aussi, objectivement, en entendant par là non proprement la mathématique humaine ou divine, mais la mathématique en soi. « Les Gantoriens, écrit Poincaré, parlent constamment d'épistémolog-ie, c'est-à-dire de la science des sciences; et il est bien entendu que cette épistémologie est tout à fait indépendante de la psychologie; c'est-à-dire qu'elle devrait nous apprendre ce que seraient les sciences s'il n'y avait pas de savants ; que nous devons étudier les sciences, non sans doute en supposant qu'il n'y a pas de savants, mais du moins sans supposer qu'il y en a. Ainsi, non seulement la Nature est une réalité indépendante du physicien qui pourrait être tenté de l'étudier ; mais la physique elle-même est aussi une réalité qui subsisterait s'il n'y avait pas de physiciens. C'est bien là du Réalisme'. »