VI. — Origine psychologique du Réalisme cantorien

Nous avons vu comment, liés par les conventions initiales que nous avons librement posées au début d'une théorie déductive, les êtres de raison créés par nous manifestent, à notre insu, des propriétés si surprenantes que, par une sorte d'hallucination intellectuelle, nous les objectivons et nous ne reconnaissons plus en eux les produits de notre pensée. 11 ré-sulte aussi de nos conventions initiales (particulièrement des postulats d'existence et des principes formateurs), que quantité d'êtres mathématiques existent logiquement, c'est-à-dire pourraient être construits en conformité avec ces postulats et ces principes, à 1 aide d'un nombre suffisamment grand d'opérations, sans que nous entreprenions d etïectuer celles-là, parce qu'elles excéderaient notre patience et notre temps. C'est

' Deniii'ies Pensées, p. 358.

ce qui arrive, par exemple, pour la suite infinie des nombres entiers, ou pour les nombres décimaux illimités. Il nous semble alors que ces entités existent indépendamment de notre pensée, qui se désintéresse de leur construction. C'est là une illusion qui provient : de ce f[ue ces êtres existent logiquement en droit, puisque leur existence est impliquée dans les postulats d'existence et dans les principes formateurs de la théorie ; de ce que nous oublions que cette existence logique n'est qu'hypothétique, puisqu'elle n'a de consistance qu'en fonction de ces postulats et de ces principes, fjue seule peut formuler la pensée libre d'un être conscient, limitée en ses inventions par l'unique condition de n'énoncer que des conventions compatibles entre elles.

On peut exprimer la même idée de la façon suivante : Nous disons que ces êtres existent logiquement, parce qu'ils représentent une possibilité permanente d'être construits, de même que nous disons que les objets physiques existent empiriquement, parce qu ils représentent une possibilité permanente dètre sentis. Ainsi, nous ne pouvons pas construire elVeclivement la série entière des nombres entiers, puisque cela exigerait un nombre infini d'actes de pensée distincts; nous disons néanmoins que cette série existe, parce que, si élevé que soit le rang du nombre entier considéré, nous savons que nous pourrions toujours le construire en ajoutant l'unité à elle-même, à condition de disposer d'un temps suffisant. Nous le savons pour deux raisons : parce que nous connaissons la loi de formation des nombres entiers, qui consiste à ajouter toujours l'unité à elle-même; parce que nous concevons la possibilité de répéter uniformément une opération, dès qu'elle est une fois possible. Nous pouvons dire, dans le même sens, que le nombre ti, étant défini comme « le rapport de la circonférence au diamètre », existe, bien que nous soyons dans 1 impossibilité de l'écrire, parce que nous pouvons, au moyen de cette définition, calculer un nombre aussi grand de décimales que nous voulons, et que nous concevons la possibilité d'en calculer indéfiniment. Cette existence d'entités que nous pourrions une à une construire, sans qu il vaille la peine de le faire, est toute conceptuelle : si les esprits humains disparaissaient, ces entités périraient avec les conventions qui les ont créées.

Allons plus loin. Il fut un temps où 1 ou ne savait pas

calculer autant de décimales de - qu'on le voulait, ce qui veut dire que, en partant de sa définition géométrique, on ne savait pas construire ce nombre arithmétiquement. Ce nombre existait log-iquement cependant, mais sa construction dépassait les méthodes de calcul alors en usage : l'auteur du papyrus de

/iG\"2 Rhind admet par exemple, pour valeur de tt, ( — J =3, ioo4,

au lieu de 3,i4i5... De même, de nos jours, en vertu des postulats d'existence et des principes formateurs des diiïérentes théories mathématiques, il existe des êtres (nombres, fonctions, intégrales, etc.) que nous ne pouvons pas calculer exactement, mais seulement par approximations. Nous sommes alors tentés de dire qu ils existent en eux-mêmes, indépendamment de rinlirmité de notre esprit. Mais ce n'est là encore qu'une illusion. Ils existent, puisqu'ils sont contenus logiquement dans nos conventions initiales ; mais ils ne subsistent pas en soi, puisqu'ils dépendent de ces conventions. La raison que nous avons de les admettre, c'est qu'ils représentent la possibilité permanente de constructions réalisables pour les géomètres de l'avenir, le jour où le perfectionnement des méthodes d'analyse permettra de les calculer. Pour reprendre la comparaison de tout à l'heure, nous admettons l'existence de certaines régions du globe, bien qu'elles demeurent inexplorées, parce quelles représentent des possibilités permanentes de sensations éprouvables pour les explorateurs futurs, le jour où le perfectionnement des moyens d'accès permettra de s'y transporter. Et,. de même que ces régions sont actuellement pour nous inexploitables, mais susceptibles de lêtre un jour, ces êtres mathématiques sont actuellement pour nous inutilisables, mais succeptibles de l'être un jour.

Pourquoi ne pas aller plus lo-in. disent alors les Réalistes? Nous admettons bien l'existence de contrées astrales, à jamais inaccessibles et à jamais inexploitables ; pourquoi ne pas admettre l'existence d'êtres mathématiques, à jamais inconstructibles et à jamais inutilisables pour l'esprit humain?

A cela, on peut répondre qu'une telle conception des mathématiques, pour désintéressée qu'elle soit, ne laisse pas que d'être fort étrange. La conception d'une science qui ne sert à nen; qui, déplus, est inintelligible, semble difGcilement soutenable. « M. Hadamard travaille pour les dieux 1 », s'écriait un jour M, Lebesgue dans un Congrès international de philo-

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Sophie matliéniatique, >< il prépare pour eux les théorèmes que nous ne pourrons jamais comprendre, en raisonnant sur des objets que nous ne pourrons jamais concevoir ! » Mais il y a plus. La comparaison sur laquelle on prétend se fonder est, dans l'espèce, tout à fait ruineuse. Ce qui distingue l'existence logique de l'existence physique, c'est que la première, étant purement conceptuelle, est inconcevable sans esprit pensant ; au lieu que la seconde, étant objective, est indépendante delà conscience subjective que nous en avons. Les nombres n'existent pas en dehors d'un esprit capable de les construire, pas plus que les langues parlées n'existent en dehors des personnes capables de les prononcer. S'il en était dilTéremment, un linguiste, raisonnant à la façon des Gantoriens, serait justifié à prétendre que le langage préexiste aux individus capables de parler, et qu'il existe actuellement une infinité de langues dont personne n'a connaissance et que nous serons toujours, par suite de la structure de notre larynx, dans l'incapacité de parler.