VII. — Critique du Réalisme analytique

Même lorsqu'on fait de la mathématique pour les dieux, on est tenu à respecter le principe de la contradiction. Pour avoir droit d'exister ontologiquement, les êtres analytiques sont tenus à exister d'abord logiquement. Or, le Gantorisme a engendré l'antinomie.

F. Enriques a montré * que l'on peut distinguer deux périodes dans l'histoire du réalisme analytique. L'une se rattache à la découverte du calcul infinitésimal ; l'autre, le Gantorisme proprement dit, se rattache à la création de la théorie des ensembles.

Le réalisme analytique, dans ces deux périodes, repose sur les deux principes existentiels suivants :

1° Toute collection indéfinie d'objets implique l'existence de la classe infinie de ces objets.

2* Toute série indéfinie de nombres implique l'existence d'une limite dont ils sont les approximations successives.

' F. Enriques, Sur ([uelques questions soulevées pur l'infini matiuhnatique, ap. Tîer. met. et inor., mars 1917, p. 149-164.

Dans la première période de l'histoire du Réalisme, on admetlait en sus que les raisonnements valables pour le fini peuvent s'étendre à l'infini, ce qui implique deux autres principes :

3" Etant donnée une collection illimitée lOi. .'.,,... a„) d'éléments, toute proposition valable pour les classes (a^a^) ( a^ cl., a.j ) ... ( a^ ... a., ), quel que soit /2, s'étend à la classe, infinie formée par la totalité des éléments a„.

4" Toute proposition, démontrée pour tous les éléments a,j dune série infinie: aja.,..., s'étend immédiatement à leur limite, pour n =■- oc.

Dans la seconde période, on rejette ces deux principes et l'on admet que la log-ique de l'infini diffère de celle du fini.

A. Le premier conflit grave entre le second principe du réalisme et le principe de contradiction apparut à propos des séries divergentes et indéterminées, telles que ."

Au xviii* siècle, en vertu du principe existentiel de la limite^ de ce que la somme delà série d'Euler (i — i4-i — i4-...) est alternativement o et i , on déduisait que sa limite est la

moyenne arithmétique de ces deux nombres, c'est-à-dire — .

Au début du siècle suivant, Abel et Cauchy montrèrent qu'en partant d'un principe aussi erroné, on pouvait, à l'aide des séries divergentes et indéterminées, démontrer tout ce qu'on voulait, le faux et le vrai également, par exemple que o ^= i . Nous savons aujourd'hui qu'il est aisé déformer des séries dont les termes dépendent d'une variable, et qui se réduisent à la série d'Euler pour une valeur particulière de cette variable, alors que la valeur limite de la série est un nombre absolument quelconque K Le préjugé que toute série a une limite était si fort accrédité, que l'on s'est servi en mécanique céleste, pendant tout le xix*^ siècle, de certaines séries considérées depuis Laplace comme convergentes, jusqu'au jour où Poincaré découvrit que les séries ne l'étaient pas dans les cas où on les employait. L'erreur introduite dans les calculs n'affectant que des éléments astronomiques à variation lente,

' E Borel, Leçons sur les séries iliverçientes, p. C.

on ne s'était pas encore aperçu du désaccord entre l'observation et la théorie.

La première antinomie, à laquelle conduisit l'usage simultané du premier et du troisième principes réalistes, fut le paradoxe signalé par Galilée, au sujet de la suite naturelle des nombres entiers. Gomme on peut poser une correspondance biunivoque entre la suite de ces nombres et la suite de leurs carrés, qui n'en est qu'une partie, il en résulte que la classe infinie des nombres entiers est équivalente à sa partie, ce qui n'arrive jamais pour les classes finies. 11 faut donc, ou sacrifier le premier principe, ou sacrifier le troisième. Galilée se borne à formuler cette conclusion toute négative : « Les attributs d'égal, déplus grand ouàe plus petit, ne conviennent pas aux infinis, dont on ne peut pas dire que l'un soit, par rapport à l'autre, ou plus grand ou plus petit ou égal* .» Cauchy sacrifie catégoriquement le premier principe, en concluant du paradoxe de Galilée à une contradiction dans la conception d'une suite infinie de nombres : « On ne saurait admettre la supposition dun nombre infini d'êtres, ou d'objets coexistants, sans tomber dans des contradictions manifestes^». Les Canloriens, plus réalistes que Cauchy et que les finitistes, sacrifièrent le troisième principe.

B. Les Cantoriens admettent, comme les créateurs de l'analyse infinitésimale, que toute collection illimitée d'objets 31,32..., implique l'existence dun nouvel objet qui est leur classe, et que toute série illimitée de nombres implique l'existence d'un nouveau nombre qui est leur limite. Ils concilient le premier principe avec le paradoxe de Galilée, en rejetant la validité de l'induction du fini à l'infini. Ils concilient le second principe avec l'existence de séries indéterminées ou divergentes, en admettant que la limite définie par de telles suites ne fait pas partie de la classe des nombres qui composent ces suites. Etant donnée, par exemple, la série divergente des nombres entiers, il serait contradictoire de lui assigner une grandeur limite, qui soit un nombre entier, puisqu'on pourrait toujours en former un plus grand par addition de l'unité. Mais il peut se faire qu'il existe un

' Discorzi e Demonslruzioni. première journée, éd. nat., t. A'III, 1898, p. 78. * Cité par M. Brunschvicg'. les Etapes de la philosophie mathématique, p. 346.