L. HoiaiER

nombre tel que, ne fig-urant pas dans la classe des nombres entiers, ilsoit iaimédiatement supérieur à tout nombre entier, si élevé qu'en soit le rang^. Le principe existentiel de la limite permet d'affirmer a /jr/o/'i l'existence de ce nombre transfini, à partir duquel on peut former de nouveaux nombres par adjonction de 1 unité; mais on ne saurait prévoir a pn'o/'i les propriétés de ces nouveaux nombres, par une induction de fini à rinlini.

Voyons comment Gantor, se basant sur les deux premiers principes du réalisme analytique, introduit les nombres transfinis, cardinaux et ordinaux.

C'est en vertu du principe existentiel de la classe que Gantor prétend fonder l'existence des nombres cardinaux transfmis.

Considérons la suite illimitée des nombres entiers i, 2, 3... ; la totalité de ces nombres forme une classe G, qu'on dit dénombrable. Etant donnée une classe Gj, du reste quelconque, elle implique, en vertu du premier principe réaliste, l'existence d'une classe de classes K, ayant comme éléments toutes les classes possibles formées par les éléments de G. On démontre alors que K a une puissance supérieure k G, k savoir la puissance du continu. L'existence d un tel ensemble, formé par tous les nombres réels, ayant la puissance du continu, est admise a priori par les Gantoriens en vertu du principe existentiel de la classe ; elle est admise par les Pragmatistes en vertu d un postulat d'existence, fondé sur ce que l'on peut trouver une interprétation de cet ensemble dans le continu g-éométrique.

Mais le principe existentiel de la classe ne permet pas aux Gantoriens d'en rester Ik. On ne fait pas au réalisme sa part ; et voici où, engendrant l'antinomie, il court k sa propre perte.

En vertu du dit principe, il doit exister une classe de toutes les classes G, l'enfermant tous les objets possibles, et ayant une puissance supérieure ou égale k toute autre classe. Mais l'existence de cette classe est contradictoire, car les classes contenues en G formeraient les éléments d'une nouvelle classe K, dont la puissance serait supérieure à celle de G : cesl le paradoxe de la classe de toutes les classes, dont la découverte remonte k Gantor. Si, d'ailleurs, nous considérons les classes G qui ne sont pas renfermées parmi leurs éléments, l'ensemble de toutes ces classes forme une classe K,

dont on démontre quelle jouit en même temps de deux propriétés contradictoires : celle d'être renfermée parmi ses éléments et celle de ne pas l'être : c'est l'antinomie de Hussell.

Le principe existentiel de la classe eng-endre ainsi l'antinomie.

Voyons comment Gantor, en vertu du principe existentiel de la limite, introduit les nombres ordinaux translinis.

Considérons la série, bien ordonnée et dénorabrable, des nombres entiers. Elle implique l'existence d'un nombre nouveau, qui en est la limite, c'est-à-dire qui est immédiatement supérieur à tout nombre entier, si grand soit-il : c'est le premier nombre ordinal transfîni «. Invoquant alors le principe de formation des nombres finis, c'est-à-dire associant oi avec les unités primitives, Gantor obtient un premier ensemble de nombres ordinaux transfînis :

co, ro -h I , oj -f- 2 . . . (ù -\- n. La suite des nombres w implique elle-même l'existence d'un nombre limitifa o), à partir duquel on formera une nouvelle série de nombres transfînis ordinaux :

iro, 3oi, /jo)... noi.

Cette série implique à son tour l'existence du nombre limite co'^, à partir duquel on pourra former une nouvelle série:

On voit aisément comment se formeront successivement :

et ainsi de suite indéfiniment. *

La façon purement a priori dont procède Gantor est inacceptable pour un pragmatiste. Gelui-ci admettra les nombres co, en vertu d'un postulat d'existence justifié par la possibilité d'interpréter un nombre limite oi comme un point limite d'un ensemble borné de points sur une droite, ou comme la désignation de la place du rapport -^ dans la suite o,3 o^33... —•

Ces interprétations, géométrique et arithmétique, garantissent intuitivement la cohérence logique des nouveaux symboles introduits par Gantor.

Mais voici où le réalisme, pour s'être voué à une méthode transcendante, engendre l'antinomie et se ruine lui-même.

Tous les nombres ordinaux translinis de Cantor forment un ensemble bien ordonné, c'est-à-dire tel que toute série qui y est contenue possède un premier élément. En vertu du principe existentiel de la limite, la suite des nombres ordinaux transfînis implique alors l'existence d'un nouveau nombre transfini O, qui représente leur totalité absolue et qui doit être le dernier élément de leur série. Mais l'existence de ce nombre transfîni, plus grand que tous les autres, est une absurdité, puisqu'on peut toujours en obtenir un plus grand en y ajoutant l'unité : cest V antinomie de Burali-Foj'ti.

Nombreux sont les auteurs qui ont recherché l'origine et là signification des antinomies cantoriennes. Elles dérivent, en fin de compte, de la fausseté des deux principes existentiels du Gantorisme : celui de la classe et celui de la limite. Ces principes reviennent à dire quun objet peut exister en vertu des conventions qui servent à le définir, contrairement à l'adage aristotélicien. C'est faute d'avoir fait suivre les notions dont ils se servent, de théorèmes ou de postulats d'existence, que les Cantoriciens ont sombré dans l'antinomie. « Les antinomies cantoriennes, déclare Couturat, dérivent de cette illusion, très fréquente chez les mathématiciens, de croire que les définitions sont créatrices, et qu'un objet existe par définition, par le seul fait qu'on l'a défini. Il suffît, pour la dissiper, de rappeler'que l'on peut définir les notions les plus absurdes et raisonner ensuite sur elles pour montrer leur absurdité ou ïa non-existence de leur objet*. » C'est à la même conclusion qu'aboutit Schoenflies, lorsqu'il déclare que la mathématique doit se borner à étudier des concepts dont l'existence logique a été établie "2. Dans le mémoire qu'il a consacré aux antinomies cantoriennes, Hugo Dingler s'exprime en termes encore plus explicites : « La définition d'une classe comme totalité des éléments satisfaisant à des conditions données, doit être accompagnée de la démonstration de l'existence logique du nouveau concept ainsi introduit ■^. » Telle est encore l'opinion de Federigo Enriques, qui y joint cette remarque : « Une

' Gouturat, les Définilions mathématiques, ap. fins, math., igoS, p. 87.

- Schoenflies, Ueber die Slellung der Définition in der A.riomniil,-, an. Schriflcn d. phi/sik-okonom. Gess. zn Kunigsberg i. Pr., 1910, t. LI, p. 260-293.

3 Hugo Dinf^lcr, L'eber die logisçhen Paradoxien der Mengenlehre ii. eine paradoxienf'reie Mengendefinition, ap. Jahr. d. d. math.-Vergg., igiS, t. XXII, p. 3o7-3i5.

démonstration de ce g-enie ne saurait être fournie généralement par des arg-uments logiques, mais devra faire appel à des postulats empruntés a une rationalisation de l'expérience. Ainsi donc, les constructions des réalistes ne seront autorisées qu'autant qu'elles restent dans le domaine des êtres que l'intuition expérimentale nous a déjà fait connaître ou peut nous faire connaître'. »

Allons-nous conclure que les Cantoriens sont simplement tombés dans le paralogisme ontologique : quils ont dissimulé des postulats d existence sous des définitions nominales? Ils mériteraient bien pour cela le nom de réalistes, mais non celui de réalistes hyperboliques. C'est qu'en effet, ils sont allés plus loin : ils ont admis l'existence d'êtres mathématiques qu'ils sont incapables de définir et ils ont raisonné sur eux, ce qui passe les bornes de l'intelligible. Ils ont méconnu ces deux conditions que doit respecter quiconque ne veut pas courir le risque de tomber dans 1 antinomie : ne jamais raisonner que sur des objets définissables ; faire toujours suivre la définition nominale de ces objets de la preuve de leur existence.

' F. Enriqucs, art. cil., p. i33.