III. — Critique d3 l'apriorisrae des idées de relation

Si l'on abandonne la théorie platonicienne, on peut adopter une théorie innéiste et dire que les notions de relation préexistent virtuellement dans notre esprit, qui ne saurait les abstraire, par les opérations discursives de la pensée, des données de l'intuition sensible. Celles-ci seraient seulement l'occasion pour nous d'en prendre conscience. Mais à l'aprio-

1 Lettre au P. .Mersenne, iG octobre 1O29: 11, 5()6.

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risme on ne fait pas plus sa part qu'au réalisme. Si 1 apriorisiiie est vrai pour la notion trégalité, il est vrai pour toutes les autres relations possibles. Si, pour déclarer que deux objets sont égaux, il faut savoir au préalable ce qu est 1 Egalité en soi. pour déclarer qu'un point est situé entre deux autres, il faut savoir a priori ce que c'est qu une relation d'ordre; pour déclarer que deux droites sont parallèles ou deux vecteurs équipoUents, il faut savoir ce que sont le Parallélisme et l'EquipoUence en soi ; pour déclarer qu'un individu est le père d'un autre, il faut savoir ce que c'est que la Paternité en soi. La science n étant que l'étude des divers systèmes de relation existant entre les diirérents types d'objets, la science entière sera innée. Tout comme avec le Réalisme, on sombrera dans l'absurde.

r^st-ce à dire (|ue rien ne soit à retenir de l'apriorisme? Gardons-nous de le penser, et, pour le mieux voir, examinons plutôt comment nous acquérons la notion d'égalité.

L'égalité que Platon a en vue, dans le passage cité du Phédon, est l'égalité métrique ou congruence, comme le prouvent les exemples de deux pierres ou de deux arbres. Nous disons que deux corps sont congruents si, en les superposant, ils coïncident en toutes leurs parties. Pour amener deux corps à superposition, il faut transporter l'un d'eux sur l'autre sans lui faire subir de déformation. Nous dirons qu'un corps subit un déplacement sans transformation si, moyennant un mouvement compensateur de notre propre corps, nous pouvons rétablir l'ensemble des sensationjj, initiales qu'il nous procurait au départ. Comme, du reste, nous n'avons aucun moyen de vérilier que notre corps, dans ce mouvement compensateur, ne s'est pas déforme suivant la même loi que le mobile, nous ne pouvons parler que d'une congruence relative, la seule qui nous soit accessible. Nous dirons donc que deux corps sont relativement congruents si, coïncidant dans une première position, ils coïncident encore après s'être déplacés tlans l'espace. Deux corps congruents, qui se ^déforment suivant la même loi dans leurs déplacements, demeurent congruents. Nous n'avons donc de la relation de congruence qu'une idée relative, et nous ne savons pas ce que c'est que l'Egalité absolue, l'Egalité en soi.

Nous appelons solide un corps dont les variations de forme, corrélatives aux déplacements qu'il subit, peuvent être cor-

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ridées moyennant une translation compensatrice de notre propre corps. L'homme primitif est amené à distinguer, parmi tous les corps extérieurs, les corps solides comme particulièrement remarquables à cause des multiples usages qu'il en tire pour assurer sa sauvegarde. C'est sur les corps solides que s'exerce et contre eux qu'achoppe son action. Ce sont les corps solides qu'il peut appréhender directement, porter à ses lèvres; eux, dont il fait des armes, des instruments, des récipients pour les liquides et pour les gaz. Enfin son propre corps, le plus intéressant pour lui de tous les coi'ps, se comporte comme un solide, caries variations de forme, qui accompagnent ses déplacements pour un témoin immobile, peuvent être corrigées par un déplacement corrélatif de ce témoin. Si donc il n'existait pas de corps solides dans la nature; ou si, des corps solides existant, notre corps était fixé au sol et dans l'incapacité de se mouvoir, nous n aurions pas la notion de congruence métrique ou d'égalité géométrique ; plus exactement, nous ne serions pas amenés à penser cette idée. La notion d'égalité métrique est donc bien d'origine empirique, et, comme l'a dit Poincaré, sans solides naturels il n'y aurait pas de géométrie.

Mais, dira-t-on, tout ce que l'expérience nous fournit, c'est la représentation de corps solides plus ou moins indéformables, plus ou moins congrucnts entre eux. Il faut bien avoir, par avance, les notions du solide idéal et de la congruence parfaite, pour juger combien les solides naturels et lescongruences physiques qu'ils réalisent en sont plus ou moins éloignés. A cela nous répondrons qu'il n'y a pas nécessité. Admettons que nous ayons distingué les corps solides kVaxdedxiciifcriuni empirique précédemment décrit. Notre corps se comportant seulement à peu près comme un solide idéal, ce critérium manque de précision, mais il est suffisant pour nous amener à distinguer la classe des solides naturels. Etant donné un solide naturel A, l'expérience nous apprend que A est congruent à sa propre image, à son propre reflet dans un miroir; que, si A est congruent à un second corps solide B, B est congruentà A; que, si A est congruent à B et B à G, A est congruent à G. Nous abstrayons alors de ces données les propriétés formelles (réflexivité, symétrie, transitivité) de l'égalité métrique, qui constituent la seule bonne définition logique de la congruence. De la définition logique de la congruence,

caractérisée par ses propriétés formelles, nous déduisons celle du solide idéal : un solide idéal est un corps qui est congruent à lui-même (réilexivité) ; qui est récipro(juement congruent. à tout autre corps qui lui est congruent (symétrie); qui est congruent à un corps si, étant congruent à un autre corps, ce dernier estcongruent au premier (transitivité). Grâce à cette délinition, nous sommes en possession dun crilcrium lor/ique, infiniment pr^'cis, pour reconnaître les corps solides. Le nouveau critérium nous permettra do contrôler et de corriger les indications de l'ancien.

Il nous permettra de perfectionner nos méthodes de mesure, en substituant à notre propre corps, employé primitivement comme instrument de mesure, des étalons de plus en plus invariables, conduisant à discerner dos congruences [)hysiques de plus en plus exactes. Ainsi, pour juger du degré d'invariabilité des solides naturels, pour évaluer la plus ou moins grande perfection des congruences qu'ils réalisent, il n'est pas nécessaire de posséder avant toute expérience la noliou du solide idéal ou de légalité parfaite; il suffit d'abstraire, des données de l'expérience qui les contiennent, les propriétés formelles de la congruence physique des solides naturels.

On peut envisager les choses dun autre biais, d ailleurs équivalent. Parmi tous les déplacements de l'Univers, nous en distinguons de particulièrement remarquables qui jouissent de la propriété suivante : ils peuvent être corrigés par un mouvement compensateur de notre propre corps. Appelons déplacements les changements de cette espèce. L'expérience nous apprend qu'un déplacement nul fait correspondre un corps solide à lui-même (réilexivité); que si un déplacement change un corps F en un corps F', il existe un déplacement inverse transformant F' en F (symétrie) ; que si deux déplacements successifs transforment la figure F en F' et F' en F", il existe un déplacement unique qui transforme F en F" (transitivité) : c'est ce que les mathématiciens expriment en disant que les déplacements forment un groupe. On dispose alors d'un critère logique, infiniment précis, pour reconnaître, parmi les changements naturels, ceux qui doivent être tenus pour des déplacements : ce sont ceux qui forment un groupe. On peut encore, partant de la notion d'égalité géométrique caractérisée par ses propriétés formelles, déclarer qu'un déplacement est une transformation ponctuelle qui change une figure en une

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autre figure égale. C'est donc l'expérience qui nous conduit à découvrir les propriétés formelles qui permettent de définir, d'une façon rigoureuse, les notions de solide et de déplacement, de congruence et de groupe.

Des corps géométriquement égaux sont équivalents ou interchangeables sous le rapport de la forme seide, qui est l'invariant du groupe des déplacements, et abstraction faite de leurs autres propriétés. On peut concevoir que certains d'entre eux puissent être tenus pour égaux sous le rapport d'une autre propriété. Gela veut dire que, partant de la relation de congruence qui est une espèce d'égalité, celle de la forme, l'esprit, faisant abstraction de toute représentation intuitive, s'élève à la notion absolument générale. de légalité logique, caractérisée par les trois propriétés formelles précédemment énumérées. L'égalité logique est une notion de classe ; c'est la classe de toutes les relations spéciales qui jouissent de la réflexivité, de la symétrie et de la transitivité, telles que les relations de similitude des figures, de parallélisme des droites, d'équipollence des vecteurs, d'équilibre des poids sur une balance, etc. Toute relation de cette espèce, entre des objets quelconques, définit une ég-alité, parce qu'elle implique en eux la présence d'un élément commun dont on peut former le concept abstrait, d'où la possibilité de ranger ces objets dans une seule et même classe. Autrement dit, l'affirmation qu'il existe une relation d'égalité entre des objets équivaut à la découverte d'un élément identique en tous ces objets et à l'existence de la classe des objets qui possèdent cet élément. Pour prendre un exemple, considérons l'ensemble des droites, et la relation de parallélisme entre les droites, qui jouit des propriétés formelles de légalité. La découverte d'une telle relation entre les droites équivaut à l'affirmation qu'elles possèdent un élément commun, qui est la direction. On en déduit l'existence de la classe des droites parallèles ou points à l'infini. On définit de même, en partant d'objets et de relations convenablement choisis, les longueurs, les poids, les masses, les températures, les quantités de chaleur, le sens dune succession de 2, 3, 4 points, etc. Réciproquement, étant donnée une notion abstraite de classe, il existe un élément commun à tous les individus de cette classe, par rapport auquel ils peuvent tous être tenus pour égaux. Il suit de là que l'égalité de deux ou plusieurs objets est toujours rela-

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tive au concept abstrait de la classe dans laquelle on les considère, ou d'un certain groupe (Jfi transformations qui permettent de passer d un de ces objets aux autres, en laissant invariant leur élément commun.

La puissance que possède l'esprit, suivant Poincaré, de former la notion dég-alité ou de g-roupe, se ramène alors à la faculté qu'il a d'abstraire, grâce à l'attention sélective, un élément possédé en commun par un ensemble d'objets, et d'associer les objets, qui possèdent cet élément commun, en une classe unique. Ce qui existe a priori^ oe n'est ni la notion d'égalité, ni celle de groupe, ce sont simplement les fonctions d'association et d'abstraction de la pensée. En ce sens, l'apriorisme est parfaitement légitime ;mais tout ce qu'il comporte, c'est l'abandon d'u sensualisme naïf de Cundilkic, qui prétend dériver les fonctions de l'esprit de sensations transformées, sans se rendre compte que cette transformation nécessite l'intervention de ces fonctions.

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