l.II,I
Disons d'abord en quoi consiste l'esprit de la méthode :
En adoptant une valeur 8", 5, par exemple, pour la parallaxe solaire moyenne, il en résulte, d'après la troisième loi de Kepler, une parallaxe moyenne pour Vénus. Il faut alors, à l'aide de ces deux parallaxes supposées, ramener les temps des contacts à ce qu'ils seraient s'ils avaient été pris du centre de la Terre. Les durées des passages relatives aux deux lieux devront alors se trouver identiques si la parallaxe solaire adoptée est la bonne. Dans le cas où ces deux durées ramenées ne sont pas égales, c'est que la parallaxe admise n'est pas la vraie. Alors on la modifie légèrement et par des essais successifs on trouve celle qui rend les deux durées égales.
Déterminons maintenant les éléments qui vont entrer dans le calcul.
En supposant la parallaxe solaire moyenne égale à S'', 5, celle du 3 juin 1769, relative à la distance à laquelle, ce jour-là, la
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Terre se trouvait du Soleil, était
Celle que l'on en déduit pour Vénus, d'après la distance de Vénus à la Terre, déduite des formules du mouvement elliptique, était
ag", 4a5 = n.
On déduit de là
n — P = ai*,o52.
Le demi-diamètre apparent du Soleil, conclu du passage même de Vénus, était
i5'43%7i = rf'
et celui de Vénus était
On a donc
r/-4-^=i6'ia»,3i.
D'après les Tables de La Caille, on avait pour io*i4"*io*T.v. de Paris, le 3 juin 1769, heure delà conjonction inférieure écliptique de Vénus,
Longitude du Soleil 73027' 27", 7
Variation en 6 heures i4'2i*
Déclinaison du Soleil aa® 26' 27"
Variation en 6 heures -h i '45*
Ascension droite du Soleil 72® 3' 21*, 7
Variation en 6 heures i5' 24", 7
Équation du temps +a"^ 1 5*, o
Variation en 6 heures - -2^,4
Soient
P (^- 34 ) le pôle de la voûte céleste ; S le centre du Soleil ; V celui de Vénus.
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Dans le triangle PVS, dans lequel, à Faide de la « Connaissance des Temps » de 1769, on peut connaître, à un moment
Fig. 34.
donné, les distances polaires PV et PS des centres des deux astres et Tangle VPS, différence de leurs ascensions droites, on peut calculer l'angle V pour une heure voisine d'un contact.
On trouve alors pour 7** Se", heure voisine du premier contact interne,
et pour i3''3o", heure voisine du deuxième contact externe
Ne considérons actuellement pour Vénus que la parallaxe relative, c'est-à-dire la différence des parallaxes de cette planète et du Soleil.
Soient
CC'C (fig. 35) le disque vrai du Soleil;
S son centre ;
V la position vraie du centre de Vénus, au moment où l'observateur de Cajanebourg, par exemple, aperçoit la planète enD, tangente intérieurement au disque du Soleil ;
VMV l'orbite relative de Vénus, eu égard à un observateur situé au centre de la Terre. (Nous pouvons considérer la portion VMV comme rectiligne.)
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Comme la parallaxe ne produit son efifet que dans le plan du vertical, les poinis V et D doivent se trouver sur la verticale VD. Menons SOE parallèle à VD.
En menant SM perpendiculaire à VV, SM représentera la plus courte distance des deux astres.
Menons enfin SP parallèle à la portion de cercle de déclinaison passant en Y.
Au moment où se fait le contact intérieur, pour Tobservateur de Cajanebourg, la distance apparente
SD = rf'-rf=i5'i5",ii.
Nous allons déterminer, pour ce moment, la distance vraie SV.
Par les calculs que nous avons indiqués, on a pu, après avoir déterminé l'inclinaison de Torbite relative et le mouvement horaire de Vénus sur cette orbite, obtenir approximativement l'heure du milieu du passage (toujours pour un observateur placé au centre de la Terre). Cette heure est, pour le passage de 1769,
io»»36™4o' T. V. de Paris,
et la plus courte distance SM est trouvée égale à
io'8".
La distance VM peut alors s'obtenir en multipliant le mouvement horaire de Vénus, sur son orbite relative, par l'intervalle de temps écoulé entre le moment du contact observe , c'est-à-dire où Vénus était en V, et le moment du milieu du passage que nous venons d'indiquer.
Connaissant VM, on peut, à l'aide du triangle VSM, avoir une valeur approchée de l'angle MSV et de la distance vraie SV, par les deux relations
* -KÊCIXT VM . c?ir SM
tangMbV = ëirr et SV = — rfêrr* * SM cosMSV
L'angle MSP, formé par la perpendiculaire à l'orbite relative et une parallèle au cercle de déclinaison de Vénus, est égal à l'inclinaison de l'orbite relative de cette planète sur l'équateur.
Cette inclinaison, calculée pour les heures de Paris correspondant aux instants des deux contacts considérés, pour chaque lieu, est donnée avec l'angle MSV dans le petit tableau suivant :
CaJAMEBOURG. SAinT-JoSEPH.
ELEMENTS. f — ■ ^ Il ^ ^ ^ « !■ ■ --
Entrée. Sortie. Entrée. Sortie.
Angle MSV... 49O24' i" bi^b^' kf ifi^i^'Z^" 47034' 8" Inclinaison de Torbite relative iSoSo'Se" i5o34'5o" i6<»3o'5o'' i5o34'35''
Pour avoir l'angle VSP, on voit, par la figure et pour le cas qui nous occupe, que l'on a
VSP = MSV -MSP.
On trouve ainsi, d'après les angles obtenus :
Cajanebourg. Saint-Joseph.
éléments. — *— ^ ■ ■ i 111^
Entrée. Sortie. Entrée. Sortie.
Angle VSP... 33*53' 5" 67034'3/ 32053'48'' 63o8'43''
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Menons VF perpendicalaire sur SP, le triangle YSP nous donne
SF = VScosVSP.
Cette quantité SF est évidemment la dififérence des déclinaisons vraies du centre du Soleil et du centre de Vénus, au moment du contact; en ajoutant cette différence à la déclinaison vraie du Soleil, pour le même instant, on a celle de Vénus, parce que, en 1769, Vénus traversait la partie nord du disque solaire. Le même triangle SVF donne aussi
VF-SVsinVSP,
et il est évident que la différence d'ascension droite de Vénus et du Soleil, au moment considéré, est égale à
VF
cos^'
s étant la déclinaison de Vénus.
Au moyen de cette différence d'ascension droite, et connaissant, pour les instants des contacts, Tangle horaire du Soleil, on pourra déterminer Tangle horaire de Vénus.
A Taide de cet angle horaire, de la latitude du lieu (Cajanebourg) et de la déclinaison de Vénus, on pourra calculer la hauteur vraie de cette planète, ainsi que son angle de position qui est égal à ESP.
D'après les éléments donnés plus haut, on aura donc
parall. en hauteur de Vénus = ag", 4^5 x cos haut, vraie de Vénus.
On trouve de cette manière une valeur approchée de la parai* laxe en hauteur de Tastre, valeur qui, par un nouveau calcul, permet de l'obtenir plus exactement. On trouve aussi pour Cajanebourg, maintenant qu'on connaît la hauteur apparente de la planète,
VD = ai ",05* X cos hauteur apparente de Vénus.
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On peut, maintenant, obtenir exactement la valeur de la distance vraie SV. Le triangle SVD, dans lequel nous connaissons actuellement VD, SD et l'angle SVD = VSE = VSP - ESP, donne
sinDSV=|5sinSVD.
Connaissant les angles DSV et SVD, on a, pour faire comme
DE LaLANDE,
^„ SDx sinSVD ~ sinDVS
La distance vraie SV devra être calculée aux millièmes de seconde.
Connaissant SM et SV, le triangle SVM permettra d'obtenir MV, c'est-à-dire la distance vraie du milieu du passage à la position de jVénus correspondant à celle où, à Cajanebourg, on a observé le contact. En convertissant MV en temps, d'après le mouvement horaire de Vénus sur son orbite relative, on obtient le temps que met la planète à aller de V en M.
Le môme triangle MVS nous donne aussi l'angle MVS.
Soit maintenant X le point de VM oti se trouverait le centre de Vénus, au moment où un observateur, situé au centre de la Terre, verrait le premier contact intérieur vrai.
Dans le triangle SVX, nous connaissons SX, VS et l'angle XVS ; nous pouvons alors calculer VX qui, réduit en temps, d'après le mouvement de la planète sur son orbite relative, donne la différence de temps qui doit exister pour que la planète aille de V en X, c'est-à-dire pour que le contact intérieur ait lieu pour un observateur qui serait placé au centre de la Terre ; MX = MV — VX donnera l'intervalle écoulé entre ce premier contact et le milieu de la phase.
En agissant de la môme manière que nous venons de l'indiquer pour le deuxième contact, la somme des deux résultats obtenus donnera la durée totale du passage pour un observateur placé au centre de la Terre,
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En appliquant cette méthode aux deux contacts obtenus par Chappe, à Saint-Joseph, on trouve 5**4i"'48',4 pour durée du
Comme à Cajanebourg, Planmann a observé le premier contact intérieur et le deuxième contact extérieur; il y a une correction à faire pour obtenir l'intervalle relatif aux contacts intérieurs.
Soient X et X' (Jig, 36 ) les positions vraies des centres de Vénus, déduites, ainsi que nous venons de le dire, pour les deux
Fig. 36.
contacts vrais intérieur et extérieur. On trouve, en faisant le calcul pour Cajanebourg,
XX'=:i44îi",87i.
Dans le triangle XSX', on connaît les trois côtés; on peut donc calculer l'angle X et par suite, à l'aide du triangle XSM, dans lequel on a, par un calcul antérieur, déterminé SM, on peut connaître XM, qui, réduit en temps, eu égard à la vitesse de Fénus sur son orbite relative, fait connaître la demi-durée du passage. Le calcul donne
Les observations de Planmann donnent, par suite,
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pour durée totale, relativement à un observateur situé au centre de la Terre.
Cette durée est plus grande de 2% 4 ^ue celle déduite des observations de Chappe.
Voyons maintenant quelle est Tinfluence de la parallaxe sur la (lurécy dans les deux lieux considérés. On a
[ Durée observée 6^» 1 1 ™ 4 1 «, 5 Différence.
K Cajanehourg, < Durée calculée pour le -t-ii™, 8', 4
' centre de la Terre. , 6^ 0™ 32^,7
. „ . r L ( Durée observée 5^ 37™ 23», 4 ,„ ..
k Saint-Joseph, \ ^ . , ,. ri, / ™ ,«. . — 4"*, 25*
^ \ Durée calculée 5»»4i™48»,4 ^ '
La parallaxe a donc augmenté la durée à Cajanebourg de 11^ 8» 4 et Ta diminuée de 4"a5* à Saint-Josepb.
Or nous savons que la grandeur des durées est proportionnelle à la parallaxe solaire; donc la différence des durées est aussi proportionnelle à cette parallaxe. Si donc, pour 8", 5 de parallaxe solaire adoptée, les deux durées à Cajanebourg et à Saint-Josepb diffèrent de i5™33',4, il faudra faire varier cette parallaxe de x" pour que les deux durées varient de
Par cette simple proportion, on trouve x''= 0,02, et la parallaxe se trouve être alors égale à
L'erreur que Ton peut commettre, fait remarquer de Lalande, sur les valeurs de SM et de SD influe très-peu sur les valeurs de VX, et l'on peut remarquer que, si la parallaxe supposée 8",5 augmente ou diminue, la valeur XV, en temps, augmente dans le même rapport.
En comparant de cette manière, deux à deux, cinq des du-
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rées qui ont été observées en 1769, de Lalande a obtenu des valeurs assez dififérentes, ainsi que le fait voir le tableau suivant : .
Parallaxe solaire.
Lieux Ayec Gajanebourg Atec Wàrdhvs
de oomparaison. (PUDmann). (P. Hell).
Baie d'Hndson (DymondetWales) 8', 49 9^08
Saint- Joseph (Ghappe) S'', 48 8', 81
O'Taïti (Green et Gook) 8^ Sa 8", 72
Ce tableau montre combien les observations du P. Hell à Wardhuus fournirent une parallaxe relativement considérable. De Laland^ adopta pourtant 8', 5.
Ces résultats divergents obtenus pour la parallaxe solaire, à la suite des observations de 1769, ne découragèrent pas les calculateurs.
Dans le xix' siècle, de nouvelles discussions des observations de ce dernier passage ont été reprises.
Delambre a trouvé, d'après ses propres recherches, 8", 56 pour la pairallaxe solaire moyenne.
De Ferrer, dans un travail publié après sa mort, en i832, dans les Mémoires de la Société astronomique de Londres, a trouvé 8", 58, valeur qui ne comporte pas, d'après lui, plus de o*,o3 d'erreur.
Enûn Engke, en 1824, a publié, sur le passage de 1769, un Mémoire analogue à celui dont nous avons parlé relativement au passage de 1761.
Nous allons donner un aperçu de ce travail dans lequel l'astronome allemand a fait ifôage des méthodes employées par lui dans son Mémoire de 1822. Voici d'abord les éléments qu'il a trouvés, relativement à un observateur situé au centre de la Terre :
Passage de 1769.
Entrée du centre de Vénus sur le
bord est du Soleil à 7'»36" i6« t. ▼. de Paris.
Milieu du passage à io^36"42*»3
Distance minimum des centres. . . 10' 8"^ i
Sortie du centre de Vénus à i3h 37*" la», 8
Durée du passage 6h o°> 56«, 8
La formule donnant les heures des phases d'entrée, pour un lieu distant de Ç des pôles d'entrée accélérée ou retardée, est
T^= 7»»36"»i6*,o zp (7°*a*;4)cosÇ (Temps vrai de Paris),
et la situation des pôles d'entrée était :
Pôle des entrées ( Latitude 490 3!i'48'' N.
accélérées, \ Longitude 5. 3. 16 E. de Paris.
Pôle des entrées ( Latitude 49-3a.4S S*
retardées, \ Longitude 174 '56.44 O. de Paris.
Le pôle des entrées accélérées se trouvait donc dans les environs de Manheim, dans le grand-duché de Bade, et le pôle des entrées retardées se trouvait non loin de la Nouvelle-Zélande, dans le sud-est de Tîle de Chatham.
Le maximum de différence des heures d'entrées accélérées et retardées atteignait environ quatorze minutes.
La formule donnant les heures des phases de sortie, pour un lieu distant de XJ des pôles des sorties accélérées ou retardées, était
T,= i3'»37°»I2%8=f(7"2',8)cosÇ',
et la situation des pôles de sortie était :
Pôle des sorties ( Latitude aa® ag' 40" S.
accélérées, \ Longitude ia5. 54* 5 O. de Paris.
Pôle des sorties ( Latitude 22. 39.40 N.
retardées, ( Longitude 54. 54. 1 5 E. de Paris.
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Le pôle des sorties accélérées se trouvait donc dans la mer du Sud, non loin de l'île de Pâques, et le pôle des sorties retardées dans les environs de Mascate.
La formule donnant la durée, pour un lieu distant de Ç* des pôles de durée minimum ou maximum, était
D = 6''o"56',8 zF (i2"54% i) cosÇ", et pour la situation de ces pôles on avait :
Pôle des durées j Latitude 38® 3;' iS" S.
raccourcies, { Longitude 1 45. ai ,36 O. de Paris.
Pôle des durées ( Latitude 38. 37. 1 8 N.
augmentées. (Longitude. ... 3/|. 38.24 E. de Paris.
Le premier pôle se trouvait placé dans les mers du Sud, non loin des îles de la Société, et le second au nord de FArabie; et Ton voit que la différence des durées pouvait aller à près de vingt-six minutes*
D'après les indications que nous venons de donner et les lieux de stations contenus dans le tableau ci-dessus, les stations auraient pu être choisies un peu différemment qu'elles ne l'ont été; mais la détermination des longitudes ne s'effectuait pas, en 1769, avec cette exactitude relative que Ton obtient aujourd'hui, et les stations éloignées ne présentaient pas non plus la sécurité et les ressources qu'elles peuvent offrir de nos jours, grâce au développement de la navigation et du commerce dans les mers lointaines.
Après avoir discuté les lieux d'observation, les observations elles-mêmes et les résultats qu'en ont déduits certains calculateurs, Encke donne les observations de l'éclipsé de Soleil qui suivit de quelques heures le passage de Vénus, et qui fut observée par plusieurs observateurs de ce passage. Cette éclipse de Soleil lui sert à discuter les longitudes d'un certain nombre de stations.
Il corrige certaines longitudes à l'aide d'observations d'occul-
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talions d'étoiles et indique ensuite les documents dans lesquels il a puisé les longitudes des autres stations. . Après avoir dressé le tableau de toutes les observations publiées, en indiquant leur source, il forme, à l'aide de la méthode qu'il a employée pour le passage de 1761, ses équations de condition.
Ces équations se divisent en 83 de première classe dont 76 sont relatives à l'entrée et 8 à la sortie , et 23 équations de seconde classe dont 19 relatives à l'entrée et 4 à la sortie.
Voici le tableau des stations relatives aux observations qui ont servi à Encke à établir ses 106 équations de condition.
Stations relatives aux équations de i^ classe.
STATIONS
LONGITUDE
de Paris.
STATIONS
LONGITUDE
de Ptris.
"Wardhuus
Colombes
Cajanebourg
Baie d'Hudson...
Saron
Rouen
Saint-Joseph
