I. Procli commentarii, p. 3o

a. Id.y p. 426.

G. MiLHAUD. — Philosophes- Géomètres. 6

y terminiez l'aire donnée, on dit que vous failes la parabole de cette aire ; si vous lui donnez une longueur qui dépasse la droite, c'est Thyperbole ; si une longueur qui lui soit inférieure, c'est l'ellipse, une partie de la droite restant en dehors de l'aire construite * . »

Ce passage est d'une extrême importance. Les problèmes dont il est ici question, et dont Euclide achève de nous donner le sens précis, reviennent en somme à la construction de longueurs dont on connaît d'une part le produit (l'aire du rectangle construit sur ces longueurs), et d'autre part la somme ou la différence. En langage moderne, S désignant l'aire donnée, p la droite donnée, la question revient à déterminer une longueur x satisfaisant à Tune des trois équations :

S =ipx — x^

et le problème peut s'énoncer ainsi dans les 3 cas :

1° Trouver une longueur X telle que le rectangle construit sur AB et X ait une aire égale à S (fig. i).

4, Procli commentarii, p. 4 19, 4 20.

LES PYTHAGORICIE\S

2" Trouver une longueur BC = X telle que le rectangle construit sur les deux longueurs AC ou (p -h- X) et X, c'est-à-dire le rectangle ACDE (fig. 2) ait une aire égale à S.

Fig. 2.

3** Trouver une longueur 60 = X telle que le rectangle construit sur AC ou (p — X) et X, c'est-à-dire le rectangle ACDE ait une aire égale à S (fig. 3).

Fig. 3.

Plus généralement Euclide dans le livre II (28 et 29) substitue au rectangle à construire un parallélogramme tel que le parallélogramme qu'il faut ajouter ou retrancher (à la place du carré du cas précédent) soit semblable à un parallélogramme donné. Le problème revient alors à celui que définit l'équation S =^px zt Ka?^ La suite de la citation de Proclus, dont nous donnions ci-dessus les premières lignes seulement, fait allusion aux pro-

blêmes traités par Euclide, et se termine ainsi : « Voilà ce qu'est la parabole d'après l'antique tradition venue des Pythagoriciens. » On ne saurait plus nettement leur attribuer la solution du problème général tel qu'il a été traité par Euclide.

Cette solution suppose la connaissance du rapport des aires de deux polygones semblables. Du reste, en dehors de Proclus, Plutarque attribue cette connaissance à Pythagore : il ajoute même que le sacrifice dbnt parle la tradition doit avoir eu pour occasion ce problème : construire une figure équivalente à une figure donnée et semblable à une figure donnée, bien plutôt que le théorème du carré de l'hypoténuse. D'un autre côté Hippocrate de Chios, dans son fameux travail sur les lunules, prouvera, vers le milieu du v^ siècle, qu'il connaît le rapport des aires de deux figures semblables déjà étendu à des segments de cercle * .

On peut enfin faire remonter aux Pythagoriciens la construction des polyèdres réguliers. Le Timée sur ce dernier point apporte une confirmation sérieuse. D'après l'exposé que Platon met dans la bouche du savant pythagoricien, le feu, l'air, l'eau et la terre ont les formes du tétraèdre, de l'octaèdre, de l'icosaèdre et du

I. Cf. outre la Géom. grecque de P. Tannery, 1 étude du même auteur, De la solution des problèmes du second degré avant Euclide, dans les Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles do Bordeaux, t. IV. — Les traductions des fragments de Proclus sont empruntées à M. P. Tannery.

cube, et le démiurge utilise le dodécaèdre pentagonal pour tracer le plan de Tunivers dans son ensemble. L'origine pythagoricienne de la théorie des polyèdres réguliers est d'ailleurs suffisamment prouvée encore par un passage de Philolaûs faisant une allusion très claire aux cinq polyèdres réguliers inscrits dans la sphère. Quant au dodécaèdre régulier, le problème de sa construction revient à celle du pentagone régulier. La légende du pythagoricien Hippasus, précipité dans la mer pour avoir publié cette construction ; puis la légende suivant laquelle le pentagone étoile servait de signe de ralliement aux Pythagoriciens, — donnent une dernière confirmation à cette opinion que les Pythagoriciens ont non seulement étudié les cinq polyèdres réguliers, mais encore ont su construire le pentagone régulier, ce qui exige la division d'une droite en moyenne et extrême raison.

En résumé, il est une façon assez simple de se faire une idée du contenu de la géométrie pythagoricienne. Prenons les Eléments d'Euclide, faisons abstraction pour le moment des livres arithmétiques (VII, VIII, IX). Supprimons le livre V sur la proportionnalité, le livre X sur les incommensurables, ainsi que ce qui concerne les volumes dérivant de la mesure de la pyramide : ce qui reste représente à peu près le fonds qui appartenait déjà à Fécole de Pythagore. — Ces remarques trouveront d'ailleurs leur confirmation dans la suite,

car nous verrons précisément avec Eudoxe et Théétète se compléter les théories de la proportionnalité, des incommensurables et de la mesure des volumes.

Quant à la forme, elle était déjà semblable à celle d'Euclide. La méthode démonstrative est suffisamment caractérisée par Eudème, quand il déclare que Pythagore remontait aux principes supérieurs et s'adressait à l'intelligence pure. Nous en avons eu un exemple dans la démonstration du théorème relatif à la somme des angles d'un triangle ; nous en avons d'autres. Ainsi un mot d'Aristote nous permettra d'attribuer aux Pythagoriciens une autre démonstration d'Euclide, celle par laquelle se trouve établie l'incommensurabilité du côté d'un carré et de sa diagonale. Sans doute il y eut une longue période, de Pythagore à Euclide, pendant laquelle les définitions se simplifièrent et se perfectionnèrent, tandis que le nombre des postulats et des axiomes devait aller sans cesse en diminuant. Nous savons que la forme parfaite du livre d'Euclide n'a pas été atteinte du premier coup. Dans son commentaire, Proclus cite plusieurs géomètres antérieurs qui avaient déjà publié des Eléments. Il nomme ainsi Hermotinede Colophon ; avant lui, Theudios de Magnésie ; en remontant encore, Léon, le disciple de Néoclide; et enfin, au milieu du v siècle, Hippocrate de Chios^ Les Eléments sont