I. Procii commentarii, Teubner, p

chaque fois, au dire de Proclus, supérieurs aux précédents, tantôt par le nombre et limportance des démonstrations, tantôt par une plus grande généralité des propositions. — Enfin M. ïanncry, se fondant sur un mot de Jamblique jusqu'ici mal interprété, a rendu très vraisemblable Thypo thèse de la publication, par les Pythagoriciens eux-mêmes, d'un traité de Géométrie appelé (( tradition suivant Pythagore » Trpo; IIuGayopov lOToptV.. Ce fut là sans doute le modèle le plus ancien sur lequel devaient être composés plus tard les Eléments d'Euclide.

Arithmétique. — Quelques allusions d'Aristote, certains passages du Timée de Platon, le petit traité de Nicomaque (rifilroduction arithmétique), l'ouvrage de Théon de Smyriie (ce qui en mathématiques est utile pour la lecture de Platon^), enfin un fragment de Speusippe, neveu de Platon, telles sont les sources qui peuvent servir à donner une idée, bien sommaire d'ailleurs, de l'arithmétique pythagoricienne, dans son contenu et dans ses méthodes.

Les Pythagoriciens ont étudié les séries formées : I** par les nombres entiers consécutifs ; 2° par les nombres impairs ; 3° par les nombres pairs, et ils ont établi que l'on a

|. M. Dupuis en a publié une traduction française. Hachette, 1892.

1 nombres obtenus par sommation des nombres

s consécutifs ( — ) étaient appelés nombres

ulaires ; les sommes des nombres impairs étaient naturellement appelées carrés ; les sommes des Tes pairs (n(/i-i- i)) formaient les nombres hétémes.

deliors des témoignages que fournissent à ce sujet lippe et Théon de Smyrne, quelques passages >tote sont assez significatifs. D'une part dans la les oppositions (dont il sera question plus loin), correspondre à l'impair et au pair le carré et Thétéjue. D'autre part il fait clairement allusion à la ation des carrés par Taddition de nombres impairs ssifs sous forme de gnomons. Le gnomon* pythaen est la figure coudée à angle droit telle que ABC, este d'un carré quand on supprime un carré plus

■ (Fig. 4).

;n n'est plus simple que de comprendre comment

f. dans Cantor, Vorlesungen^ le chapitre relatif aux Pythagoriciens, a forme du gnomon indique suffisamment que le mot a été pri-. lent emprunté à l'astronomie. On trouve d'ailleurs l'expression w;xova (suivant le gnomon), au lieu de perpendiculaire, chez Œnoroclus, Commentaire sur Euclide). — Le sens géométrique du l'a pas tardé à se généraliser. Chez Euclide, le gnomon est ce qui

les Pythagoriciens formaient les carrés successifs par addition de gnomons impairs. Un point représente le premier carré, Tunité, en même temps d'ailleurs

FiG. d.

que le premier nombre impair. Le carre suivant, 3" ou 4, s'obtient en entourant ce point d'un gnomon formé de trois points. Le carré 9 s'obtient ensuite en entourant le précédent d'un gnomon formé de cinq points, et ainsi de suite.. (Fig. 5).

FiG. 5.

Quant à la formation des nombres triangulaires et des nombres hétéromèques, elle est évidemment expliquée

reste d'un parallélogramme quand on en a supprimé un parallélogramme semblable ; Héron d'Alexandrie définit le gnomon : tout ce qui, ajouté à un nombre ou à une figure, donne un tout semblable à ce â quoi il a été ajouté. — Cf. Cantor, Vorlesungen.

go LKS PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GRÈCE

parles figures suivantes (fig. 6), où d'une pari les triangles

représentent les sommes i, i-f-2, i-f-2-l-3,

et où, d'autre part, le triangle dont la base est/i apparaît manifestement comme la moitié du rectangle de n (/i -h i ) points :

Fig. 6.

Les Pythagoriciens ont très probablement aussi considéré les nombres pyramidaux, sommes de nombres triangulaires successifs, et par conséquent nombres de points contenus dans des figures pyramidales. Mais nous n'avons pas à cet égard de renseignements assez précis. Ce que l'on peut citer de plus net est ce mot de Speusippe, que !\ est le premier nombre pyramidal : c'est la somme des deux premiers nombres triangulaires i et 3.

Les Pythagoriciens distinguaient déjà les nombres plans et les nombres solides. Ces expressions reviennent assez souvent chez les auteurs qui reproduisent la tradition pythagoricienne ; Euclide en donne la définition au commencement du VIP Kvre. (( Quand deux nombres,

dit-il, se multipliant, font un nombre, celui-ci se nomme plan (eTTtWo;). — Quand trois nombres se multipliant font un nombre, celui-ci se nomme solide (çrepeo;). » Que ces distinctions remontent aux Pythagoriciens, c'est ce qui semble résulter du passage du Timée où il est dit qu'avec deux plans on peut former une progression géométrique dont ils soient les termes extrêmes, en introduisant simplement un troisième plan comme moyen géométrique ; tandis que, pour former avec deux solides une progression géométrique, il faut introduire deux moyens : avec un seul ce serait impossible. Ge passage qui a exercé la sagacité de pas mal de commentateurs n'a de sens que si Ton voit dans ces plans et ces solides des nombres plans et des nombres solides répondant à la définition qu'en donne Euclide. Et avec cette intei'prétation, tout devient très clair: on se trouve en présence de deux propositions d'arithmétique*. S'il faut penser que Platon, en faisant énoncer ces propositions par Timée de Locres, en attribue la connaissance aux Pythagoriciens, on est amené à des conséquences fort importantes : d'une part A) les Pythagoriciens ont donc étudié les proportions, d'autre part B) ils ont connu l'existence des irrationnelles.

A. — Les arithméticiens grecs dont il nous reste quelques écrits s'occupent tous de ce qu'ils appellent analogies ou médiétés. Ce sont des groupes de trois

l. Voir plus loin 1. II, ch, IV, .

nombres a, b, m, tels que le rapport de deux différences formées avec eux soit égal au rapport de deux d'entre ^ a-^m a

eux. hiX. rl=3 —

m — 6 m En choisissant diversement les différences qui forment les termes du premier rapport et les termes du second, les anciens étaient amenés à étudier un certain nombre de médiétés ; ainsi Théon de Smyrne en nomme dix. Trois d'entre elles étaient certainement connues des Pythagoriciens : un fragment d'Archylas, conservé par Porphyre, en fait foi*. Ce sont les médiétés arithmétique, géométrique et harmonique, définies par les égalités suivantes

La première donne 2m ==«-!-/>; m est moyen arithmétique entre a et />.

La deuxième peut encore se définir : — =z — ; m est

moyen géométrique.

La troisième donne — = — '^-\ m est moyen liarm a b "^

monique.

Le nom d'harmonique donné à cette dernière médiété est à lui seul une marque de son origine pythagoricienne. Un passage de Philolaûs lui-même nous éclaire sur ce