Cf. Gantor, Vorlesungen

signification complète, abstraction faite de savoir si les rapports sont ou non commensurables.

B. — En second lieu, avons-nous dit, les Pythagoriciens ont connu les irrationnelles. C'est là un fait capital . Eudème dit nettemen t (commentaire de Proclus) : (( C'est à Pythagore que Ton doit la découverte des irrationnelles. » Comment y fut-il amené? Peut-être, comme le pense M. Cantor, en s'excerçant simplement à calculer Thypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de Tangle droit étaient égaux à l'unité : il pouvait, après avoir essayé des nombres compris entre i et 2 soupçonner qu'il n'en existe aucun qui puisse mesurer l'hypoténuse. En tous cas, c'est ce qu'il démontra, et cela n'est plus seulement une hypothèse. Aristote nous dit que la démonstration pythagoricienne est fondée sur ce qu'un même nombre ne saurait être à la fois pair et impair. Or justement l'une des démonstrations d'Euclide repose sur le même fait ; c'est donc évidemment celle qui nous intéresse. La voici en substance :

Supposons que l'hypoténuse et le côté du triangle rectangle isocèle soient entre eux comme les nombres

entiers, premiers entre eux, a et b. Alors on a — 1=2,

ou n'^^m^l/; a^ et, par suite, a est donc un nombre pair, et dès lors h est impair. Mais soit a=:2a'; l'égalité /^a'^=I2fe^ ou 2a'^ = //, montre que 6^ et par suite b est un nombre pair : b serait ainsi à la fois pair

LES PYTHAGORICIENS gS

et impair, ce qui est absurde. Il n'existe donc pas de couple d'entiers dont le rapport, élevé au carré, reproduise 2.

Un passage du Théétète nous permet de dire que les Pythagoriciens ne s'occupèrent que de l'irrationnelle \/2. Théodore de Cyrène étudia y/3, y/5, jusqu'à

Le théorème du carré de l'hypoténuse, qui amena les Pythagoriciens à la découverte de l'irrationnalité, les conduisit aussi, d'après Proclus, à un problème arithmétique d'un genre spécial, à un problème indéterminé, qui peut ainsi s'énoncer : Quels sont les groupes de trois nombres entiers, tels que 3, 4» 5, qui peuvent être les côtés d'un triangle rectangle ? En langage moderne nous dirions simplement : trouver', en nombres entiers, les solutions de l'équation :

Les Pythagoriciens auraient ainsi résolu la question : prendre pour le plus petit côté un nombre impair quelconque ; puis en former le carré et diviser par deux les nombres obtenus en retranchant i à ce carré, et en l'augmentant de i : les résultats trouvés représenteront l'un le second côté de l'angle droit, l'autre l'hypoténuse.

Enfin cet exposé des questions d'arithmétique pythagoricienne sera à peu près complet, du moins dans la

lesure de nos connaissances, si nous ajoutons que les pythagoriciens étudièrent les nombres parfaits. Un ombre parfait est un nombre qui est égal à la somme e ses facteurs. 6, par exemple, est égal à la somme -f-2-f-3; 28=:i-f-2H-4-+-7-f-i4; 496 est ncore un nombre parfait, etc. — Un nombre supérieur

la somme de ses diviseurs se nomme déficient, un ombre inférieur abondant. Ces distinctions qui se trouent dans Euclide remontent certainement aux Pythaoriciens, puisque Aristole leur attribue le nombre arfait.

Mais ce qui importe, autant peut-être que leurs conaissances, c'est leur méthode en arithmétique. Euclide ous offre, au milieu de ses Eléments, un traité d'arithlétique en trois livres; mais, contrairement à ce que ous avons dit de la géométrie, ce traité ne nous donne as une idée suffisante du véritable esprit de Tarithmeque pythagoricienne. Les démonstrations s'y font,

est vrai, avec l'appareil géométrique: les nombres, ombres entiers, sont représentés par des longueurs, et est sur des figures que raisonne Euclide ; mais dans les léments, c'est la grandeur géométrique, la longueur )ntinue, la ligne proprement dite qui sert de support l'intuition. La tradition relative à l'arithmétique pylagoricienne nous montre au contraire des figures îométriques se présentant comme ensembles de points. es lignes sont ici des files d'unités-points ; une série

de ces lignes pourra former, par exemple, un triangle : une série de triangles superposés pourra former une pyramide, etc. C'est Vétendue qui se résout en unités, de façon à correspondre au nombre, et qui devient une sorte d'étendue nombre ; tandis que chez Euclide la pensée est essentiellement géométrique : on n'obtient des propositions d'arithmétique qu'en appliquant les résultats géométriques généraux des démonstrations au cas où les longueurs seraient mesurées par des nombres entiers ; les propriétés des nombres ne se voient qu'à travers des propriétés géométriques.

Astronomie. — La tradition fait remonter à Pythagore, nous l'avons dit, la constitution de la sphérique, comme science géométrique du ciel. Quels problèmes traitait la sphérique.^^ Il est difficile de s'en faire une idée exacte. Le pythagoricien Archytas, au début d'un écrit sur la mathématique', dit: « Les mathématiciens nous ont clairement enseignés sur la vitesse des astres, sur les levers et les couchers. » — Pythagore donnait au ciel la forme d'une surface sphérique ; il était tout naturel qu'il se servît de la sphère pour représenter les parallèles décrits chaque jour par les fixes, en même temps qu'il essayait de construire la trajectoire des astres errants, c'est-à-dire surtout du soleil et de la lune.

I. Porphyre, Sur les harmoniques de Ptolémée. G. MiLHAvp. — Philosophes-Géomètres.

Le recueil d'Aetius* dit à propos du pythagoricien Alcméon^ « Alcméon s'accorde avec les mathématiciens pour reconnaître aux planètes un mouvement d'occident en Orient opposé à celui des fixes. » — Cette distinction de plusieurs mouvements indépendants fut sans nul doute le point de départ de la sphérique pythagoricienne, et ce fut un de ses problèmes essentiels de tâcher d'expliquer la marche des planètes dans le ciel par une simple combinaison de mouvements circulaires. La question fondamentale de l'astronomie théorique était ainsi livrée aux mathématiciens, qui ne devaient cesser de la poursuivre jusqu'aux temps modernes.

Musique. — Jamblique raconte que Pythagore, entendant des forgerons frapper un morceau de fer sur une enclume, et reconnaissant dans les sons les intervalles de quarte, de quinte et d'octave, eut l'idée de peser les marteaux dont ils se servaient. Il aurait trouvé alors que celui qui rend l'octave en haut était la moitié du plus pesant ; que celui qui faisait la quinte en était les deux tiers et celui qui donnait la quarte, les trois quarts. Rentré chez lui, il aurait fixé une extrémité d'une corde et suspendu à l'autre des poids proportionnels à ces nombres, la corde aurait alors rendu des sons formant les mêmes intervalles. Ce récit est certainement inexact dans ses détails. Nous savons en effet que, pour pro-