I. Cf. P. Tannery, Se. hellène, p. 2o

duire les sons indiqués avec une même longueur de corde, les poids suspendus devraient être proportionnels

non pas aux nombres 2, -' -» mais à leurs carrés,

9 16 4, 7' — Ce sont les longueurs des cordes difle-

^ 9 rentes, tendues par des poids égaux, qui sont proportionnelles aux nombres eux-mêmes. C'est probablement ce que dut vérifier Pythagore. Prenait-il les

I 2 3 nombres dans Tordre croissant-» -> -» i, pour

les sons de plus en plus bas, comme y conduisait naturellement la considération de la longueur des cordes ? ou bien prenait-il les nombres dans Tordre inverse des longueurs des cordes, comme nous le faisons aujourd'hui, par considération des nombres de vibrations? il est impossible de rien affirmer à ce sujet ; mais en tous cas le fait essentiel c'est que Pythagore le premier fit correspondre des nombres aux sons et constitua une théorie mathématique de la musique. Il posa la notion de l'intervalle musical de deux sons dans le rapport des nombres correspondant à ces sons. L'excès de l'intervalle de quinte sur celui de quarte représenta pour lui le ton, égal par conséquent au rapport de

-à-» c'est-à-dire à ^- — Remarquons en passant que

c'est là le ton majeur de notre gamme moderne. —

anciens ne sentirent pas le besoin de faire jouer un ) spécial à ce qui représente notre ton mineur, qui

['intervalle — i tel que celui de mi à ré da^s la gamme

ut. Enfin des insertions convenables de moyens nés donnaient aisément, pour les intervalles de la [que à chaque note de la gamme jusqu'à Toctave :

Remarquons que tous les intervalles de deux sons

sécutifs sont égaux à ^» sauf ceux du 3* au 4^

et du 7* au 8', qui sont égaux à —7-77' — au lieu

16 . . , . ^^^ la valeur -;: qui aujourd'hui représente le demimajeur.

In outre des témoignages des commentateurs lens, nous avons, pour nous éclairer sur tous ces its, le fameux passage du Timéeoù Platon veut que parties composantes de 1 ame du monde soient îisément proportionnelles aux nombres de la ime * : il n'y a pas à douter que la théorie musicale i exposée par ïiméc ne doive remonter aux Pythaciens.

>uant à leur méthode, si, comme le veulent Macrobe

Voir le commentaire du Timée de Th. Martin.

LES PYTHAGORICIENS lOI

et Jamblique, c'est bien vraiment rexpérience qui les conduisit aux premiers nombres, pour les intervalles de quarte, de quinte et d'octave, et quelques autres, les témoignages sont unanimes à représenter TEcole comme exclusivement attentive à Tétude des nombres eux-mêmes. Par là elle s'oppose dans l'antiquité à l'école empirique d'Aristoxène qui demande à l'oreille seule de déterminer les fractions de cordes donnant les différents sons, et n'admet même pas qu'elles soient mesurables par des nombres.

Ce résumé fort incomplet assurément suffit à donner une idée de l'œuvre gigantesque qui fut accomplie par les Pythagoriciens. La science rationnelle était délinivement fondée, et, par la mathématique, s'offrait à la pensée théorique et spéculative une ressource désormais inépuisable.

20 Les Concepts.

Une idée essentielle se détache de tout ce que l'antiquité nous dit des philosophes pythagoriciens : ils voient dans le nombre le principe des choses. Ol zaXovfievQi Il'jôayopetot iwv [ioLBr,(iiz(siv à^xiieyoi TrpwTot tavra 7:po>^yayov zai èvTpacfevieç h avzolç ràa TOUT0i)y «p/à; twv ovtcov

apyç^àç w/yôr/çav 5tvat TtxuToiv dit en particulier Aristote

(Met., I, 5). En vérité y-t-il lieu d'en être surpris.^

Comme géomètres d'abord ne furent-ils pas conduits

à noter cette chose merveilleuse que toutes les propriétés d'étendue et de forme pouvaient s'exprimer en propriétés de nombres ? Cela nous semble banal aujourd'hui, mais n'y avait-il pas là de quoi inspirer à ces hommes d'autrefois un étonnement et une admiration sans limite ? Songez à une figure formée de points, de droites et de courbes. Toutes les propriétés intuitives, le fait que tel point est intérieur ou extérieur à tel cercle, le fait que ce cercle coupe ou non cette droite, le fait que ces cercles se coupent, ou ne se coupent pas, ou se touchent, bref tout ce que l'imagination pourra énumérer de qualités concrètes offertes à l'intuition par cette figure, tout cela peut se remplacer, dans la pensée du géomètre, par des nombres qui représentent des distances. Soit encore cet exemple plus précis : la propriété générale des triangles rectangles. Voilà un fait relatif à l'écartement de deux côtés d'un triangle, celui qu'on exprime en disant qu'ils sont perpendiculaires l'un sur l'autre, ou qu'ils forment ensemble un angle droit. Comment le géomètre parvient-il à le traduire.^ 11 énonce simplement une relation entre les nombres qui représentent les trois côtés : le carré de l'un de ces nombres est égal à la somme des carrés des deux autres. Si le triangle est rectangle, cette relation existe : et réciproquement si elle existe, le triangle est rectangle. En d'autres termes, la relation arithmétique équivaut à la propriété intuitive qu'implique l'angle droit.

LES PYTHAGORICI

Et il faut bien comprendre ce quK^ans tout j^ôîa pouvait exciter Tadmiration des premiers géomètres. Que le nombre s'introduise aisément pour la mesure des quantités spécifiquement distinctes que découvre Tintuition spatiale, longueurs, angles, surfaces, volumes, etc., cela est intéressant, mais n'est certes pas pour confondre la pensée: les éléments géométriques, par leur simplicité, s'adaptent d'une façon particulière aux notions d'égalité et d'addition qui autorisent l'application du nombre à chacun d'eux. Mais il y a plus. Dès leurs premiers travaux, les Pythagoriciens se trouvent énoncer des propositions, qui ne gardent plus la trace de l'origine concrète des quantités spécifiquement diverses, d'où par conséquent la différenciation qualitative a tout à fait disparu, où l'hétérogénéité de l'intuition sensible s'est effacée devant le nombre pur. Voilà ce qui dut provoquer chez eux l'étonnement le plus profond, et leur suggérer déjà cette pensée que les déterminations des corps touchant la figure et la forme ont leur explication dernière dans le nombre.

La même impression se dégageait pour eux de cette remarque que l'arithmétique et la géométrie pouvaient se substituer l'une à l'autre dans leur marche parallèle. En fait, nous l'avons dit, l'arithmétique des Grecs ne s'est pas séparée dans ses démonstrations de l'intuition géométrique. C'est donc dans tout leur développement que marchant côte à côte, et se prêtant sans

n mutuel concours, la science des nombres et is figures et des formes rappelaient au mathén grec Tétroite parenté de leurs objets. Les hisde la mathématique grecque ont à un si haut e sentiment qu'elle ne séparait pas au fond ces Dmaines, qu'ils n'hésitent pas en général à lui îr la solution de certains problèmes arithméliuand elle correspond à des problèmes géoméconnus. Par exemple, les constructions aux-

donnait lieu le problème des aires peut nous îgitimement supposer que les Pythagoriciens t calculer deux nombres dont on connaît la

ou la différence en même temps que le produit.

leur science dépassait déjà les limites du monde rique pur. Elle s'étendait, nous l'avons vu, au Tient des astres et à la théorie des sons musi- >'une part donc ils entrevoyaient la possibilité de r à la géométrie, c'est-à-dire au nombre, les lènes de l'ordre immuable et divin, de trouver

nombre l'explication des mystères célestes.

I part, ils atteignaient par leur théorie mathé- B des intervalles et des accords jusqu'au plus l de l'ame humaine, jusqu'aux sensations d'harnusicale. Et partout où le nombre s'introduisait,

la lumière se faisait avec lui, les théories se laient, la science pénétrait jusqu'au fond le plus [es choses. Si les Pythagoriciens ont été confon-

LES PYTHAGORICIENS lOO

dus devant le pouvoir merveilleux de cet élément qu'est le nombre, s'ils y ont vu la raison suprême de tout ce qui nous apparaît dans ce monde, comment en serionsnous étonnés?

Mais ils ne se contentent pas de proclamer l'importance considérable qu'il faut attribuer au nombre dans la formation de la connaissance ; ils ne se contentent pas d'en parler comme d'une notion fondamentale pour la science de l'univers ; ils y voient une essence réalisée. Le témoignage d'Aristote sur ce point est en effet trop précis pour que le moindre doute subsiste. Nous pouvons même ajouter, que le nombre n'est pas pour les Pythagoriciens une réalité transcendante, extérieure aux choses qui se modèleraient sur lui; il est immanent. Ils parlent bien, à la vérité, d'imitation, |u.i|xr,(Jt;, mais l'affirmation, plusieurs fois répétée par Aristote, que le nombre n'est pas séparé (/(optcJToc), donne à cette imitation un sens spécial : c'est plutôt une sorte de reflet extérieur d'une réahté interne. Il est difficile d'ailleurs d'éclairer avec quelque précision le rapport où sont les choses à l'égard de leur premier principe. Au fond, sauf la cause motrice, il est facile d'y retrouver toutes les formes de la relation causale.

Avant tout sans doute le nombre est la raison tVêlre, et c'est probablement en songeant aux Pythagoriciens qu'Aristote cite plusieurs fois le rapport de deux à un

)mme la cause de Foctave. D'une façon plus générale

plus complète, le nombre est cause formelle, et son >le se comprend mieux, si Ton envisage, comme dit ristote, le tout, la synthèse et la forme, tots ôXov xat y; vOs'jtç -/.où To erJo;, et si l'on y associe l'idée de la fin

du bien, to teXoç xat ToyaQov. Grâce au nombre en fet, l'ordre et l'accord sont réalisés dans les choses :

nombre est principe d'harmonie. C'était là d'ailleurs )ur les Pythagoriciens une façon de généraliser l'im- ^ession qui se dégageait de toutes les applications du Dmbre. S'il conduisait partout à une science plus irfaite, n'était-ce pas qu'il apportait avec lui l'unité, la militude, l'homogénéité, là où apparaissaient d'abord

multiple et le dissemblable ? En géométrie il faisait efiàcer l'hétérogénéité des formes devant sa pureté 3straite. En astronomie, il substituait l'ordre et la mplicité à toutes les irrégularités apparentes des Louvements des astres. En musique, il fondait l'accord 3s contraires, de l'aigu et du grave, du rapide et du nt, pour la plus grande joie de l'âme. Partout il créait iiarmonie, si, comme le dit Philolaiis, celle-ci est

l'unité du multiple et l'accord du discordant ».

Mais d'autre part le nombre est aussi cause matéelle. Que faut-il entendre par là? Tout d'abord nous îvons dire quelques mots d'une conception qui semble

oir joué un rôle important dans la pensée matliéla tique des Pythagoriciens, et qui permettrait peut-

être de comprendre comment le nombre pouvait être à leurs yeux cause matérielle.

Aristote dit (Met., II, 6) qu'il y a lieu de distinguer deux sortes d'unités, l'unité indivisible et sans position, aôerov, qui s'appelle monade, et l'unité indivisible également mais ayant une position, 9éatv e^^ov, le point. Puis, dans un certain nombre de passages, on voit clairement que cette deuxième façon de concevoir l'unité des nombres arithmétiques appartient aux Pythagoriciens. C'est ainsi, par exemple, qu'à propos des nombres dont les Pythagoriciens font la substance du ciel tout entier, Aristote insiste sur ce que ces nombres ne sont pas monadiques, leurs unités ont une grandeur \ycùLi ol ILjôayopstot S'ïvcf, tov ixoiOr.iioLXuôy (aptO/ULOv) ttWv oit Y.Vfiù^if5^ivov àlV èît toutou riç aic^Ytraç oùdtaç (îuveaTavat ^oLOiv* TOV yàp ôXov oùpavov x«Ta(JxeuaÇou(Jtv ïi àpS^thv^ tÙ.yjv où jutovajr/wv, aX/à zdç fxoyàJaç ijnokofii&divouaiv îyziv ^éyi^ç,.» MovaJtxoùç $k Toii; aptOfxoù; sfvat TravTe; TtGéadt, TrXyjv twv IluOayopetwy, ôaot tô 'àv Gzoïysloy y.ai olojtiV (SjoloIv zhixt tôjv ovTo>v S'Aslvoi J'syovTaç iiéysHoç^ /-aOaTTsp £l'py<Tat TTpOTepOV.

(Met., M, 6, 1080, h)].

Il faut évidemment voir dans l'unité qui a une grandeur, à l'opposé de la monade, c'est-à-dire de Y'kv aOérov, l'élément qui a une position, et qu'Aristote avait déjà nommé le point. Le fait d'avoir une position, et, par conséquent, d'occuper une place dans l'espace, équivaut pour Aristote à celui d'avoir une grandeur ;

et c'est alors cette propriété caractéristique dé l'unité non monadique qui fournit au Stagirite son principal argument contre les Pythagoriciens, [ôttwç Se zo Trpwrov £v fsvvéazri ïyov iiéye%ç^ aTTopstv eotkatjtv. (M. 6, 1080, b). "Zo êe zà ad^iioLza i'i aptOjJLWV thoci ayyysiyievoc^ yM zov àoi^fiby ToÛTOv efvat [ioL^Y,[ioLZLy.6vj àà\iViXz6v iazLV* ovzz yàp àT0|7.a fxeyéôr, Xsyetv àlrM^, (M, 8, io83, b)]. Ainsi le témoignage d'Aristote suffirait à révéler chez les Pythagoriciens une curieuse conception suivant laquelle les nombres sont des collections d'unités ayant une position, occupant une place dans l'espace. Le souvenir de leur méthode de démonstration arithmétique apporte à ce témoignage une confirmation très nette. Nous avons montré sur quelques exemples les caractères de l'intuition spatiale qui sert de fondement à leurs considérations mathématiques : les propriétés numériques se dégagent de certaines figures planes formées de lignes de points, du moins pour ce qui concerne les nombres plans, triangulaires, rectangles, carrés,... La fusion de l'arithmétique et de la géométrie semblait ainsi se réaliser au prix d'une dissociation, d'une décomposition de l'étendue en atomes d'espace. Les lignes étaient des suites de points, les surfaces des suites de lignes, les volumes des suites de surfaces. Toute figure géométrique consistait malériellemenl en un nombre, s il fallait entendre par là un ensemble de ces unités points.

Quant aux corps sensibles eux-mêmes, alfs^zc/i ouatât, sont-ils bien éloignés des formes géométriques dans la pensée des Pythagoriciens ? N'est-il pas permis de dire que la distance qui sépare la portion d'étendue du corps qui la remplit n'est rien près de celle qui semblait séparer l'étendue du nombre pur? Entre celui-ci et la matière visible et tangible, l'intuition sensible est l'intermédiaire naturel. C'est pourquoi il est peut-être aisé de comprendre que le nombre, étant l'élément constitutif du solide géométrique, le soit également du corps sensible. L'atomisme nouveau qu'exposera un jour Platon dans le Timée, et qui se rattache évidemment aux tendances pythagoriciennes, est fait pour justifier ces réflexions par son double caractère géométrique et physique.

Une objection toute naturelle pourrait se présenter au nom de l'incommensurabilité des longueurs. Il est clair que si chaque ligne est constituée par un nombre d'unités points, le rapport de deux lignes sera toujours celui de leurs nombres, et il est impossible qu'elles soient jamais incommensurables. Dès lors, comment les Pythagoriciens, qui ont démontré l'incommensurabilité du côté et de la diagonale du même carré, auraient-ils pu concevoir l'atomisme spatial que nous leur attribuons ? — Pour comprendre que ce ne fut pas là un obstacle sérieux, il faut tenir compte du caractère tout exceptionnel qu'offrit pour eux la relation qu'ils

IlO LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GRÈCE

avaient découverte. Certes ce dut être à leurs yeux une monstruosité, mais elle se présentait dans un cas tout particulier, absolument isolé ; et il est naturel d'admettre u'elle ne fut pas suffisante à ébranler leur croyance l'ordre universel. Car c'est bien d'ordre et de désordre u'il s'agit ici pour eux. L'ordre marqué par la présence u nombre est tout à coup détruit dans cette circontance étrange où il n'existe plus de rapport numéique entre deux grandeurs. Pour ne pas rendre compte l'un cas exceptionnel, les Pythagoriciens ne pouvaient énoncer à leurs postulats fondamentaux. L'idée ne eur vint certainement pas que les vitesses des astres, ►u les grandeurs de leurs trajectoires, ou plus généraement les circonstances mathématiques des mouvenents célestes risquaient de donner lieu elles aussi a [uelque incommensurabilité, à quelque absence de lombre ; ils ne mirent pas en doute que les longueurs les cordes vibrantes, qui intéressent le théoricien de harmonie, soient toujours dans des rapports numéiquement exprimables. Il ne faudra rien moins, pour ibranler les représentations naïves des premiers Pythagoriciens, que l'élaboration du concept du continu nathématiquc, élaboration qui se fera simultanément ;ous l'influence de la pensée éléatiquc, et par les progrès naturels de la géométrie.

Aristote d'ailleurs suggère une deuxième façon d'enendre le nombre comme constituant matériellement

les choses. Il dit que les éléments du nombre sont euxmêmes les éléments des choses [ri twv «ptGfjLwy azoïyeiy^ Twv ovTo>v arotj^era TTavToiy 'JTTsXaêov eTvai... M, A, 5, 986 a] ; et plus loin il nomme ces éléments le pair et Timpair, le fini etlinfini. [roO fîsapiOfxoO (vof/t'Çojrjt) fjToiyv.y. ri te àptiov zat ZQ TrsptTtov, Toyta)y Js to fisv 'KZiitpy.Gixévoy zo Sk aTretpov...] Ce sont laies premières oppositions qu'aurait formulées l'Ecole pour désigner les principes contraires dont les choses sont constituées. Nous devons nous arrêter sur la signification de ces éléments premiers des corps ; mais, autant pour jeter sur eux quelque lumière que pour éclaircir la fameuse question des oppositions pythagoriciennes, citons tout de suite la série de ces oppositions, telle que la donne Aristote, et telle qu'elle se rapporte vraisemblablement dans son ensemble aux adeptes du v® siècle, les deux premières seules appartenant à tous les Pythagoriciens : fini, infini ; impair, pair; unité, multiplicité; à droite, à gauche; mâle, femelle ; repos, mouvement ; droit, courbe ; lumière, obscurité; bon, mauvais; carré, hétéromèque^ .

11 n'y a pas lieu d'insister sur l'opposition pair-impair. On peut d'ailleurs donner un sens concret à cette distinction en voyant dans le nombre pair les unités

I. êtêpoi 81 T(ov auTwv toutcov tàç apyà; oi'xa /«ayouaiv sTvai t«; xaia aïKJTOi'/îav XsYOjjLSva;, TUcpaçxai aTCstpov, TiepiTTÔv /.ai àp-ciov, s'v /«•. tuXtjOo;, SsÇiov xal âpt(jT£pdv, appev xai OfjXu, rjp£|jLOuv xai xivoufxsvouv, su6'j xal xajATTjXov, çûç x«i (JxoTOç, àyaOôv xai xaxdv, TSipaY^ovov xai âT£po{jL7Îx£?. [M, A, 5, 986 «].

rangées deux à deux, tandis qu'il ne peut en être ainsi dans le nombre impair ; ou encore en partageant la file des unités du premier nombre en deux moitiés exactement symétriques, tandis que le nombre impair offrira deux files semblables mais séparées par une unité centrale. De quelque façon qu'elle se reflète dans l'image fournie par l'ensemble des unités, la parité des nombres est la propriété la plus manifeste par laquelle ils se distinguent les uns des autres.

De cette opposition se trouve toujours rapprochée celle du Trépaç et de l'aTretpov. D'abord quel est le sens de ces mots? Le premier désigne la limite, le second l'absence de limite ; ils se correspondent donc comme limité, fini, et illimité, infini. Mais la limite est le terme d'une variation ; ces mots désignent donc aussi le déterminé, le fixe, le constant, opposé à l'indéterminé, au variable. Ces significations qui sont séparées par des nuances s'ajoutent d'ailleurs tout naturellement. Le TTÉpaç sera le principe de limitation, de détermination, de fixité; l'aTrscpov au contraire sera le principe de variation sans limite. Ces distinctions sont d'une application constante en mathématique, suivant la nature des conditions par lesquelles on essaie de définir un nombre. Un nombre qui doit seulement satisfaire à la condition de surpasser lo n'est pas déterminé, puisque la suite infinie des nombres à partir de 1 1 répond à la question. Le nombre considéré n'a pas de limite, sa

LES PYTHAGORICIENS IlS

valeur pourra varier à T infini. Que Ton envisage au contraire le nombre qui augmenté de lo doit reproduire 25 ; il est clair que la définition est précise et ne comporte aucune variation. De même nous reconnaîtrons les caractères du Ticpaç à un triangle dont on donne les angles et un côté, ou à un rectangle dont Taire est connue en même temps que son périmètre ; et au contraire nous déclarerons indéterminé et variable à rînfini un système de trois nombres entiers pouvant servir de côtés à un triangle rectangle.....

Mais dans quel sens les Pythagoriciens rapprochaient-ils la distinction Trépaç-xTrstpov, de l'autre TreptTTovccftzLov? Tout d'abord il importe de remarquer que, suivant Aristote lui-même (Phys., III, 4), c'est le Trspaç qui correspond au TreptTTOv, et raTTsipov à Tàpitov. Quel rapport pouvait-il donc y avoir entre le principe de détermination et le fait pour un nombre d'être impair, — ou d'autre part entre le pair et Tàbsencc de fixité et de limite?

La plupart des commentateurs, Alexandre d'Aphrodisias, Simpjicius, Philopon, Thémistius, font remarquer que le nombre pair est divisible exactement en deux moitiés tandis que le nombre impair ne l'est pas. La division est immédiatement impossible dans le cas du nombre impair, tandis qu'elle est possible une première fois et a des chances de se continuer ensuite, si le nombre est pair. Zeller, qui semble adopter cçtte G. MiLHAUD. — PhilosopheS'Géomètres , S

l4 LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GREGE

irange explication, dit lui-même : « Ils (les Pythagoriens) identifiaient l'impair avec le limité, le pair avec Illimité, parce que Timpair met un terme à la divion par deux, ce que ne fait pas le pair. » On imagierâit difficilement une affirmation plus incompréhenble. Le nombre pair se prête à une division par deux, lais nullement à une suite illimitée de pareilles divions.

Théon de Smyrne qui se rattache, comme on sait, à i tradition pythagoricienne, observe que la première lée de Timpair est dans Tunité, comme celle du pair est ans la dyade indéfinie, et que d'ailleurs on rattache impair, dans le monde, à ce qui est défini et ordonné (0 wpiâfxÉvco y.r/\ zexotyiJÂvtày, tandis qu'on rattache le pair ce qui est indéfini, inconnu et désordonné (tô «optorw ri orjvtiicti^ y,al aràzTc»)) * . Mais pourquoi ce rapprochelent ? pourquoi le nombre deux est-il appelé dyade indénie et est-il principe de multiphcité et de désordre ? i Théon ne sent pas le besoin de l'expliquer, c'est qu'il ; souvient de Platon, et, sans aller jusqu'à Platon, les ppositions qui suivent les deux premières sur la liste Aristote feront correspondre à l'impair l'un, et aussi le îen, tandis qu'elles mettront le multiple et le mal du )té du pair. Mais n'oublions pas que les deux prelières oppositions sont les plus anciennes et qu'elles

I, Édition Dupuis, Hachette, p. 34.

LES PYTHAGORICIENS i l6

semblent avoir été inséparables avant que les autres fussent formulées. La difficulté reste donc entière; il faut trouver le lien direct qui fit rapprocher les termes d'impair et de déterminé, comme ceux de pair et d'infini. On peut pour cela se laisser guider par Aristote luimême. Après avoir dit (Phys., III, 4) que les Pythagoriciens assimilent le pair à Finfini, parce que le pair communique le caractère d'infini aux choses où il a pénétré, il ajoute ces mots significatifs : a a%fieïov 5'efv«t TovTou To (jufxêatvoy im rwv ocpSiirâv 7reptTt9efxéva)y yàp rwv ' yv(ji)[i6v(ùy Trept zb ïv xaî /wpt; ôre fzev àXXo àsi ytyveaOatto etîoç, 6t€ $e s'y. )) Ainsi, à propos de l'identification du pair et de l'infini, c'est-à-dire à propos de la question qui nous préoccupe, Aristote demande des éclaircissements h. des considérations arithmétiques : on reconnaît qu'il s'agit de formations de nombres à l'aidé de gnomons successifs, formations conduisant tantôt à une figure qui reste une, tantôt à une figure qui varie toujours. Enfin ne fautil pas voir dans les mots TrsptTtQefjiévwv 7:ep( to s'y y.oÙ ywpk l'indication de deux procédés dont l'un au moins est donné avec précision (les gnomons entourant l'unité) .^^ Les mots /^xt /wpt; nous semblent signifier: « et autrement », c'est-à-dire « autrement qu'autour de l'unité ». La fin de la phrase exige, pour être claire, qu'il s'agisse de deux constructions distinctes. L'une est celle qui consiste à disposer les gnomons autour de l'unité, et l'autre s'obtient par une disposition différente

Il6 LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GRECE

de ghomons** En tous cas, Tidéé d'Aristote n'est pas douteuse. Il a en vue deux constructions : la première (fig. 7) qui fournit une figure une, c'est la formation

FiG. 7.

FiG. 8.

de carrés par la disposition en gnomons des impairs

' I . Les mots xal ywpi; ont fort embarrassé les anciens commentateurs. Quelques-uns comprennent .: « avec disposition de gnomons et sans gnomons. » Certains même, comme Alexandre, précisent davantage, en distinguant la méthode géométrique par description de figure, et la méthode arithmétique. Zellcr se range à une explication de . ce genre, elle nous parait invraisemblable, car la fin de la phrase, ôtà [xàv, ... bû Sa..., indique qu'il s'agit de deux constructions de figures. — Un Scholiaste (cf. Brandis, Cod. Beg., 10/47) Propose de voir dans les expressions d'Aristote une sorte de formule d'abréviation, résumant renonciation distincte de deux procédés : ywp'tç Jîêpl Ôc|x£vwv twv 7:epiTTwv yvwixdvtov iv • toi; TîTpaYoSvoi; xal /^ojpl; tc5v apTitov Yvwjxovtov èv toi; §T£pou,y[xeaiv. Cette explication est très vraisemblable si l'on songe que souvent, à la lecture d'Aristote, on a l'impression qu'on se trouve devant des notes de quelque auditeur résumant d'un mot un développement connu. Elle a au moins l'avantage d'être claire, et est tout à fait d'accord pour le fond avec notre interprétation.

successifs ; — la seconde (fig. 8), qui conduit à Une figure toujours autre, est la formation des hétéromèques par l'addition des nombres pairs.

D'une part, quelle que soit la grandeur de la figure, elle demeure un carré ; d'autre part, chaque rectangle nouveau a une unité de plus pour chacun de ses côtés ; ceux-ci continuent à différer de un ; autrement dit, si l'un est riy l'autre est /i -h i. Or le rapport de ces deux

côtés varie constamment, de sorte que le rec-

tangle ne reste pas semblable à lui-même : il devient toujours autre. Ainsi les nombres impairs donnent une forme invariable, déterminée, fixe, le carré; les nombres pairs donnent des formes qui changent indéfiniment. Et c'est si bien là le rapport que les Pythagoriciens ont tout d'abord saisi entre l'ocpriov et ràTiecpov, le TreptTTov et le Trepac, que la dixième opposition citée par Aristote ne sera autre chose que celle du carré et de l'hétéromèque ; le carré répondant au Ttép^fç et au TTÊptTTov, l'hétéromèque à TàTretpov et à l'àpTtov.

Une fois comprise l'identification des premiers termes, ce n'est pas seulement la dixième opposition qui se trouve par là expliquée ; chacune des autres apparaît avec plus de clarté. Quelque chose les dominera désormais, c'est la distinction si nette de ce qui reste le même, comme le carré, et de ce qui devient autre, comme l'hétéromèque. Le même et Vautre, ces

Il8 LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GRÈCE

sortes de catégories fondamentales de la pensée platonicienne sont à quelque degré déjà dans la plupart des catégories pythagoriciennes, et déjà avec les caractères essentiels qu'ils auront chez Platon.

Qu'est-ce en effet d'abord que l'opposition de Van et du multiple ? Il faut entendre, en se reportant aux figures qui éclairent les premiers termes, « un dans sa forme », et (( multiple dans sa forme ». D'un côté c'est la similitude, l'accord, l'harmonie de l'unité; de l'autre, le divers, le discordant, le variable de la multiplicité. Et par là nous voyons ce qu'il y avait de préoccupations esthétiques dans les catégories pythagoriciennes, même sans le témoignage de Théon de Smyrne, qui rattache, dans le monde, l'impair à l'ordre, et le pair au désordre.

Le droit et lé courbe reproduisent sous une forme spéciale les idées du même et de l'autre. La ligne droite, écrira Euclide, est celle qui est située semblablement par rapport à tous ses points. On pourrait dire, sauf à énoncer une tautologie, que c'est la ligne de direction unique, tandis qu'en chaque point d'une courbe la direction change.

L' (( adroite » et 1' (( à gauche » se ramènent sans doute encore à l'opposition du même et de l'autre par la considération des mouvements célestes. Les Pythagoriciens, nous l'avons vu, distinguaient de la rotation de la sphère des fixes le mouvement propre des planètes. Or le premier mouvement était régulier et uniforme,

LES PYTHAGORICIENS I I g

le second irrégulier; et enfin ils étaient de sens con-, traire, de sorte qu'ils correspondaient respectivement aux deux directions marquées par Seiiov et apt-irepov. Un observateur couché sur Taxe du monde, la tête vers le pôle nord, verrait tourner de gauche à droite, vers la droite, la sphère céleste; tandis que le déplacement des astres errants se ferait vers sa gauche. Platon, dans le Timée, se conformera à la tradition pythagoricienne, quand il déclarera que le cercle de la nature du même (celui qui correspond à la sphère des fixes) tourne èm ôeHia, tandis que le cercle de la nature de Vautre (celui qui correspond au mouvement non régulier des pla^ nètes) tourne TTÊpi aptirepa [Timée, 36, C.].

Ces remarques nous conduisent tout naturellement à l'opposition du repos et du mouvement. Si nous prenions ces termes dans leur sens précis, nous n'aurions peut-être pas grand'peine à les rapprocher des premiers. On peut bien appeler immobile ce qui est déterminé, fixe, arrêté, limité, invariable; et au contraire l'indétermination, la variation sont l'image naturelle du mouvement. La figure qui reste indéfiniment un carré donne l'impression de l'immobilité, par l'identité de la forme; celle qui change constamment de forme, comme Thétéromèque, donne l'impression d'un mouvement indéfini. Cela est tellement vrai que chez les Grecs, chez Platon notamment, nous voyons le même mot y-eWiCtç employé pour le mouvement, au sens unique

OÙ nous l'entendons aujourd'hui, c'est-à-dire déplacement dans l'espace, et aussi plus généralement pour toute espèce de changement d'état.

Mais d'ailleurs les mouvements célestes auxquels nous avons déjà fait allusion, et qui avaient certainement frappé les Pythagoriciens par leur opposition, suffiraient peut-être à expliquer la présence des termes repos et mouvement, comme correspondant à ceux de 5elioy et d'aptoTspov. La sphère des fixes ne se déplace pas, car elle a son centre immobile; et de plus sa rotation est uniforme. Or le mouvement circulaire uniforme d'une sphère autour d'un de ses diamètres pouvait réaliser un idéal de régularité, de stabilité, d'identité, qui, par opposition au déplacement irrégulier des planètes, peut relativement désigner le repos. Cela deviendra très frappant chez Platon qui, tout en attribuant le repos et l'immutabilité aux idées, reconnaîtra cependant le mouvement de l'intelligence précisément dans la rotation uniforme, dont il dit dans les lois (898) : To xarà zy-vra §y,t:o\j y.<yi onaaiziàç xai ev tw aùzth /m\ Tispl xi. ocitzà X5?( TTpo; rà otvzi Y.oà Ïvol Xoyov v.v.i rd'iiv [iiy.v

On est peu surpris de voir la lumière et l'obscurité rangées l'une du côté du stable, de l'un, de l'uniforme, de l'harmonieux ; l'autre du côté de la variabilité infinie, delà multipUcité, du mouvement désordonné

Et enfin la gradation qui va de l'unité, de l'uniformité, de la régularité, du bien logique, intelligible, au bien

esthétique, à Tharmonie, aboutit au bien moral qui se trouve tout naturellement opposé au mal.

Ce rapide commentaire n'a laissé de côté que les termes mâle, femelle. Il y a certainement dans les idées qu'ils expriment et qu'il faut rapprocher respectivement du Tuépaç et de l'aTretpov un souvenir de la pensée ionienne. Le sens que nous avons donné jusqu'ici à l'aTretpov pythagoricien ne rappelait pas assez ce qu'il y avait de qualitatif dans ce même concept chez Anaximandre et Anaximène. Et pourtant l'évolution de ce concept avait dû être continue depuis les premiers Milésiens jusqu'aux Pythagoriciens qui formulèrent les dix oppositions. Cet élément plus ou moins vague, fluide, source de toutes qualités était destiné à devenir la matière indéterminée de Platon, et même jusqu'à un certain point celle d'Aristote ; mais bien avant eux il se complétait par un principe de spécification, de limitation, deconsoUdation, le Trépaç. Et les choses en général, l'univers dans son ensemble en particulier, devaient résulter de la pénétration du premier élément par le second. De là la dénomination naturelle de mâle et de femelle, qui du reste se retrouvera chez Platon : zat Sin Trpoaei/aaat TipsTiet To uiv Se^rofzeyov p/Tpt', t6 ô'ô9ev Ti^JTpe',.. (Timée, 5o, D.).

Si nous avons retrouvé chez les Pythagoriciens un écho de la physique milésienne, ce qui se dégage surtout peut-être des considérations qui précèdent, c'est

à quel point ils préparent la pensée platonicienne. Us ont soulevé déjà ce problème, qui dominera la philosophie de Platon, de Tun et du multiple. Mais, ne nous y trompons pas, c'a été au fond pour sacrifier l'un au multiple, et ne voir dans le premier qu'une sorte de résultante du second . Le nombre est principe d'ordre et d'harmonie; mais par lui-même il est essentiellement pluralité, multiplicité. Les Eleates vont par une thèse hardie et une habile dialectique obliger l'esprit à réfléchir sur l'insuffisance d'une pareille conception : ils seront puissamment aidés par l'évolution naturelle de la mathématique, sur laquelle peut-être leur attachement au continu n'aura pas été sans influence ; et, après eux, nous nous sentirons décidément plus près de comprendre Platon*.

I. La pensée philosophique des Pythagoriciens, qui s'est dégagée delà considération du nombre et de son rôle dans le monde, n'a-t-elle ainsi abouti qu'à des concepts dont nous puissions raisonnablement rendre compte ? — Non, sans doute. Il est impossible de nier qu'ils ont formulé sur la signification de certains nombres des assertions tout à fait étranges. La décade semble avoir eu à leurs yeux une importance spéciale, qui les amena en particulier à affirmer l'existence d'un dixième corps céleste, l'antichtone, en outre du feu central, de la terre, et des sept astres errants. Sans entrer dans les détails de celte sorte de mysticisme arithmétique, remarquons d'une part la difficulté qu'il y a pour nous à distinguer, sur de pareilles questions, ce qui fut la pensée des vrais savants, des chefs de l'École, et ce qui ne fut au contraire que Iccho de cette pensée dans un public plus accessible aux extravagances de l'imagination. Observons ensuite la facilité avec laquelle l'esprit humain d'une façon générale est disposé à donner une mystérieuse signification aux nombres. Nous en avons des témoignages pour les peuples les plus anciens ; et de nos jours, dans notre temps de science et de critique, qui oserait affirmer que nous sorpmes complètement affranchis de la superstition du nombre ?