LIVRE II PLATON

INTRODUCTION

Les écrits de Platon sont pleins d'allusions à la Géométrie, à r Arithmétique, à la Musique, à l'Astronomie, et les Ancieiis ont écrit un certain nombre de livres pour exposer les connaissances mathématiques nécessaires à la lecture des dialogues. D'ailleurs, une tradition qui remonte probablement à Eudème, et qui en tous cas s'est formée et conservée dans toute l'Antiquité, nous présente Platon comme ayant déployé un zèle infatigable pour la Géométrie et comme lui ayant fait prendre un très grand essor. Il se serait particulièrement occupé d'une méthode nouvelle de démonstration, V analyse, du problème de la duplication du cube et aurait donné un puissant élan à la théorie naissante des sections coniques. Ce qui est sûr, en tout cas, c'est qu'il a connu un certain nombre d'hommes qui tous ont leur nom inscrit dans l'histoire de la Géométrie. C'est Théodore de Cyrène, dont il suivit probablement les

l58 LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GRECE

leçons; c'est Théétète, qu'il a mis en scène dans le dialogue de ce nom; c'est Eudoxe de Cnide, dont nous dirons le très grand rôle dans la constitution des Eléments ; c'est Ménechme, qui passe pour avoir le premier étudié les sections du cône ; c'est le pythagoricien Archytas, avec qui Platon semble s'être lié d'amitié en i Sicile; c'est Amyclas d'Héraclée; c'est Dinostrate, frère de Ménechme, c'est Theudios de Magnésie, c'est Athénée de Cyzique et d'autres, dont Proclus nous dit qu'ils ont contribué chacun pour sa part aux progrès dé la Géométrie. Si nous ne pouvons assigner avec précision l'œuvre personnelle de Platon, nous avons du moins la certitude que, de son temps, près de lui, souvent peut-être, comme l'indique Proclus, sous sa direction, un travail énorme s'est accompli. L'admiration de Platon pour les Mathématiques, qui déborde de ses œuvres et qui se dégage de tout ce que la tradition nous dit de lui, n'a donc rien d'extérieur ni de superficiel. Il les a connues, cultivées avec passion ; et, quand il demande, dans la République, aux futurs philosophes de s'enfermer longtemps dans l'étude et dans la méditation de ces sciences, c'est qu'il en a subi le charme puissant, et qu'il a le sentiment de puiser à leur source même ce qui peut le mieux justifier l'élévation de ses doctrines.

Mais il importe de connaître, au moins dans leurs grandes lignes, les progrès de la Géométrie au v® et

LA GÉOMÉTRIE AU TEMPS DE PLATON l^Q

au iv^ siècle. Nous constaterons ensuite que Toeiivre accomplie par les contemporains de Platon n'ajoutait pas seulement à une liste déjà longue un certain nombre de vérités nouvelles, mais qu'elle était de nature à appeler tout particulièrement la pensée du géomètre sur des conceptions qui, si elles n'étaient pas tout à fait neuves, prenaient désormais une signification plus profonde.

I, — Les Incommensurables. — La Méthode infinitésimale

Proclus, dans son résumé historique, signale particulièrement Eudoxe et Théétète comme ayant fait progresser la Géométrie. On peut se rendre compte, en prenant pour guide M. P. Tannery \ de Timportance de leurs travaux,

D'une part, un passage de Suidas attribue à Théétète la rédaction d'une étude sur les cinq solides, c'est-àdire sur les polyèdres réguliers, qui font l'objet du livre XIII des Eléments. Ce qui intéresse d'ailleurs dans l'étude de ces polyèdres, telle que la présente Euclide, c'est la construction du côté de chacun d'eux, étant connu le rayon de la sphère circonscrite, et l'auteur des Eléments fait intervenir pour cela des lignes irrationnelles de genres spéciaux. Or d'autre part il est