I. La géoin. grecque, GsiuihiersWWairs

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naturel d'attribuer à Théétèle la classification des irrationnelles qui remplit le X® livre, d'après un passage du Théétète de Platon, où le jeune géomètre, parlant des travaux qui se poursuivent dans Tentourage de Théodore, s'élève à une conception générale des lignes racines carrées incommensurables d'aires rationnelles ; son maître Théodore avait personnellement étudié les racines de 3, 5... jusqu'à 17. Ces remarques se confirment donc et montrent qu'on peut considérer comme due à Théétète toute la partie qui a pour objet la classification des divers genres de Hgnes irrationnelles, et l'application qui en est faite aux polyèdres réguliers. Les Pythagoriciens avaient découvert, nous l'avons vu, l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré; en d'autres termes, si Ton veut, ils avaient constaté le caractère irrationnel de la ligne racine carrée de 2. Leurs travaux à cet égard n'étaient pas allés bien loin, puisque Théodore devait montrer l'irrationalité de y/ 3, et, c'est au temps de Platon seulement que les développements sur les irrationnelles en général devaient prendre l'importance d'un chapitre spécial de la Géométrie.

Mais la notion générale d'incommensurabilité n'estelle pas, en dehors des racines carrées, impliquée dans celle du rapport de deux grandeurs de même espèce, toute les fois que ce rapport n'est pas numériquement exprimables^ et n'est-elle pas dès lors enveloppée dans

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toute considération sur les rapports de longueurs, de surfaces ou de volumes, si seulement, en nommant ces rapports, on s'abstient de spécifier que les grandeurs sont commensurables? En particulier, quand on écrit que quatre longueurs forment une proportion, sans aucune restriction sur la nature des rapports qu'elles donnent deux à deux, n'implique-t-on pas consciemment ou non ridée d'incommensurabilité, dont l'irrationalité de la racine carrée n'est qu'un cas particulier? Si donc les Pythagoriciens maniaient depuis longtemps les médiétés, il est peut-être d'un intérêt médiocre que Théétète, au temps de Platon, soit venu donner quelques types particuliers (les irrationnelles de divers genres) de lignes incommensurables? — Eh bien, si étonnant que cela paraisse, nous avons les plus fortes raisons de croire que les Pythagoriciens n'avaient pas osé accepter, dans sa généralité, la notion des incommensurables ; qu'ils s'étaient bornés à noter le cas de la diagonale, comme une scandaleuse exception ; qu'ils n'avaient jamais manié dans leurs démonstrations que des rapports supposés exprimables numériquement ; et qu'enfin c'est seulement avec Eudoxe que la Géométrie allait décidément écarter cette restriction.

Des témoignages concordants permettent en effet d'attribuer au Gnidien le contenu du V° livre des. Éléments. Ge livre débute par les définitions tout à fait générales des notions de rapport et de proportion. G. MiLHAUD. — Philosophes-Géomètres. ii

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Etant données deux grandeurs de même espèce, ce qu'on nomme leur rapport, c'est, — avant toute préoccupation de savoir s'il sera ou non représentable par un nombre arithmétique, — une certaine manière d'être quantitative des grandeurs l'une par rapport a l'autre. Et, si A, B, — C, D sont deux couples de grandeurs, on dira que leurs rapports deux à deux sont égaux, ou qu'elles forment une proportion, si, quels que soient les nombres entiers m et p, l'une des relations

m A > joB mA</)B mA=/)B

entraîne l'égalité de même rang du tableau :

mOjoD mC</)D mC=pD\

Ces définitions une fois posées, le V® livre d'Euclide expose toutes les propriétés des proportions.

On s'étonnera peut-être que quatre livres tout entiers où se trouvent déjà les principaux théorèmes de la Géométrie plane aient pu se dérouler sans que le géomètre fît jamais appel à la notion de similitude. Et il est curieux en effet de constater que, dans toutes les occasions oîi cette idée paraît être d'une application

I. Pour plus de clarté, nous employons les noiations modernes.

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naturelle, Euclîde fiait un détour pour s'en passer. Si nous observons que les quatre premiers livres des Eléments sont assurément les plus aneiens, et remontent à peu près complètement aux Pythagoriciens eux-mêmes nous trouverons là un indice significatif du trouble secret que leur causait la pensée des incommensurables et nous apprécierons à sa valeur l'initiative d'Eudoxe,

En même temps nous pouvons attribuer au même géomètre, d'après uii témoignage précis d'Archimède, avec la mesure de la pyramide et du cône la méthode qui sert à l'obtenir, qui sert aussi à démontrer que les aires de deux cercles sont proportionnelles aux carrés de leurs diamètres, les volumes de deux sphères proportionnels aux cubes de leurs diamètres, et qui servira d'une façon générale aux quadratures et aux cubatures d'Archimède, C'est la méthode infinitésimale des anciens. On la désigne souvent sous le nom de méthode d'exhaastion.

Elle repose au fond sur l'idée qu'on peut passer par continuité d'un polygone au contour variable au cercle qui en est la limite, — ou d'un polyèdre inscrit dans une sphère à la sphère elle-même, — ou d'une somme de prismes, intérieurs à une pyramide et dont le nombre va en augmentant, à la pyramide qui les contient, etc.. Mais cette idée toute naturelle qui est évidemment le fait d'une intuition immédiate ne s'exprime pas aussi simplement chez les géomètres grecs.

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Leur raisonnement s'appuie sur les deux principes suivants :

I** Si deux quantités sont inégales, la plus petite répétée un nombre de fois suffisant finira par dépasser l'autre ;

2° Si d'une quantité on retranche une partie plus grande que sa moitié, puis qu'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et ainsi de suile, on finira par obtenir un reste inférieur à toute quantité donnée.

Ce deuxième principe se déduit du premier (EucL. livre X, prop. I) et sert de fondement à la démonstration. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de la proportionnalité des aires de deux cercles et 0' aux carrés de leurs diamètres. On considère les polygones réguliers inscrits dans le cercle 0', dont on double indéfiniment le nombre des côtés à partir du carré, et l'on voit sans peine qu'en passant d'un polygone au suivant, on diminue de plus que de sa moitié la somme de segments qui forme la différence entre l'aire du polygone et celle du cercle. Il en résulte qu'elle finira par tomber au-dessous de toute valeur assignée. En particulier si l'on suppose les carrés des diamètres des deux cercles proportionnels à l'aire O et à une surface S plus grande ou plus petite que 0', la somme des segments, que l'on épuise indéfiniment en lui ôtant chaque fois plus que sa moitié, deviendra inférieure à

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la difiérence entre 0' et S, ce qui conduit très vite à une absurdité.

Telle est dans ses traits fondamentaux la méthode d'exhaustion que constitua Eudoxe, et à laquelle Archimède n'ajoutera rien d'essentiel.

L'œuvre d'Eudoxe marque un point culminant dans le développement de la géométrie. Il est vraisemblable qu'elle arrivait d'ailleurs à son heure, préparée par les recherches de ses prédécesseurs immédiats. La preuve en est dans le travail d'Hippocrate de Chios sur la quadrature de certaines lunules*, qui date du milieu du v*' siècle. La reconstitution assez récente d'un texte d'Eudème cité par Simplicius ^ a jeté quelque lumière sur ce travail, qu'il ne faut décidément confondre avec aucune tentative de quadrature du cercle, en dépit d'un mot d'Aristote, peut-être interpolé, et qui donne au contraire une assez haute idée du géomètre Hippocrate. Ses raisonnements s'appuient déjà sur la proportionnalité des aires de deux cercles aux carrés des diamètres, et des aires de deux segments semblables aux carrés des cordes. Sans attendre la méthode infinitésimale qu'Eudoxe devait fonder, avait-il donné de ces théorèmes une démonstration spéciale? ou avait-il admis comme évident que les relations connues pour

1 . On appelle ainsi la portion du plan comprise entre deux arcs de cercle qui sont sous-tendus par la même corde.