II. — Lignes courbes. — Lieux géométriques

C'est à peu près au temps de Platon qu'on fait commencer l'étude des sections du cône, ellipse, hyperbole, parabole. Mais ces mots eux-mêmes rappellent certains travaux que nous avons mentionnés déjà à propos des Pythagoriciens ; ils correspondaient, on se le rappelle, aux trois cas distincts d'une construction, où un rectangle d'aire dpnnée est en défaut (ellipse), ou en excès (hyperbole), sur un autre, d'un certain carré, ou enfin n'est ni en excès, ni en défaut (parabole). La théorie géométrique des sections du cône commença le jour où l'on s'aperçut que, suivant la position du plan sécant, selon qu'il coupe une seule nappe du cône, ou qu'il coupe les deux nappes, ou qu'il est parallèle à une génératrice de façon à couper une seule nappe suivant une courbe ouverte à l'infini, l'abscisse et l'ordonnée d'un point de la courbe se prêtent respectivement aux trois relations du problème de la parabole des aires. Citons comme exemple le cas de la section parabolique, en

empruntant à Apollonius les indications qu'il nous donne d'après les créateurs de la théorie.

Soit un cône de sommet A, dont la base soit te cercle BF, le plan ABF contenant Taxe ; coupons le cône par

un plan dont la trace sur le plan ABF soit ZH, parallèle à AF, et qui coupe le plan de base suivant la droite AE, perpendiculaire au diamètre ZH. Soit enfin une longueur Z0 qui soit à ZA comme ie carré construit sur BF est au rectangle de côtés AB, AF. — K étant un point quelconque de la section, et KA perpendiculaire à ZH, ZA, Vabscisse du point K, est justement la longueur à construire dans la parabole de Taire du carré de Y ordonnée KA faite sur la droite Z6. En d'autres termes on a ZA KA

KA~ze'

l68 LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GRÈCE

Lorsque ZH n'est plus parallèle à AF, Apollonius démontre que Tabscisse ZA est toujours la longueur à construire dans la parabole de Taire du carré de KA, — mais, suivant les cas, en hyberbole ou en ellipse d'un rectangle semblable à un rectangle donné, — faite sur une droite connue. D'où les noms d'hyperbole et d'ellipse aux sections correspondantes. Au fond, l'abscisse ZA étant désignée par x, et l'ordonnée KA par y, c'est la distinction des trois courbes faite d'après l'équation y^ =zpX'-\-qx^, oxiq est nul, positif ou négatif.

Jusqu'où les comtemporains de Platon allèrent-ils dans l'étude des sections coniques ? Il est difficile de l'indiquer avec précision. Apollonius nous dit lui-même, au ni® siècle, que les principales propriétés de ces courbes étaient connues avant lui. Et d'ailleurs cela se trouve confirmé par l'application qui en avait été faite, ainsi que nous le dirons dans un instant, au problème de la duplication du cube. Dès les premières recherches sur les coniques, c'est-k-dire en somme une fois posée leur définition mathématique, les propriétés géométriques durent apparaître en abondance.

En même temps que naissait cette théorie, d'autres courbes étaient imaginées pour servir à la solution de quelques problèmes spéciaux, quadrature du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube. Telle, par exemple, la quadratrice, qu'inventa peut-être Ilippias d'Elis, mais à laquelle pourtant la tradition a attaché

de préférence le nom de Dinostrate, frère de Ménechme. En voici la définition :

Soit AOB le quart d'un cercle. Imaginons que le rayon décrive d'un mouvement uniforme Tangle AOB

FiG. 10.

pendant le même temps qu'une parallèle a OA s'élève d'un mouvement uniforme de la position OA jusqu'à celle de la tangente BT. A chaque instant le rayon et la droite mobiles, OP, MQ, se coupent en un point M; la quadratrice est la trajectoire de ce point (fîg. lo).

Cette trajectoire supposée tracée, on divisera facilement l'angle AOB en autant de parties égales qu'on voudra, en trois, par exemple, comme le demandait le problème de la trisection de l'angle ; il suffit en effet de prendre le tiers de OB, — soit OD — et de mener par D la parallèle DQ à OA. Cette parallèle coupera la quadratrice en M tel que le rayon OM répond à la question.

Pourquoi ce nom de quadratrice (Terpaywvttouaa) ?

C'est que cette courbe peut encore servir (et c'était peut-être là son principal usage aux yeux de Tinventeur) à la quadrature du cercle. Ce problème (construire un carré équivalent à un cercle donné) exige seulement que Ton puisse construire deux lignes dont le rapport soit celui de la circonférence ou d une fraction de la circonférence au rayon. Or, si G est le point limite de la courbe situé sur OA^ on voit sans difficulté que les longueurs OA et OC sont dans le rapport du quadrant AB au rayon OA*.

Le problème de la duplication du cube, appelé encore problème de Délos (parce que la légende attribue à Apollon lui-même l'initiative de cette recherche par le désir qu'il aurait exprimé de voir doubler son temple de Délos), peut s'énoncer ainsi : Etant donné un cube dont le côté est A, construire le côté d'un cube double du précédent. Cette question avait pu paraître aux géomètres du V® siècle analogue à celle qui se trouvait résolue dans le plan : construire un carré double d'un

I. En langage moderne, nous pouvons représenter la quadralrice par l'équation :

Pourw = 0, p = OG=.

Il est bien entendu, d'ailleurs, que ce n'est pas une solution à proprement parler de la quadrature du cercle, puis que la longueur OG ne s'obtient pas à l'aide de la règle et du compas.

carré donné. Le côté du carré double est la diagonale du premier. Dans l'espace, quand on substitue le cube au carré, le problème est beaucoup plus compliqué; on pourrait même dire qu'il est insoluble si Ton exigeait que la construction du côté du cube double se fît à Taide de la règle et du compas.

Nous dirions aujourd'hui que, si A est le côté du cube donné, A^ est son volume, et par conséquent le côté inconnu est la racine cubique de 2A^ c'est-à-dire Av^2. Mais cela n'aurait rien signifié pour les géomètres anciens. Nous les voyons, à partir d'Hippocrate de Ghios, ramener le problème à la recherche de deux moyennes proportionnelles entre A et 2A, le côté cherché étant la première de ces moyennes. En d'autres termes A étant le côté du cube donné, X le côté inconnu du cube double, la question revenait pour eux a trouver deux longueurs X et Y satisfaisant à la double relation