Derniers analytiques, 1. I, ch. xiv

elle pas de déterminer avec précision un élément à Taide d'un ou plusieurs autres ? Les lois, les relations, qui possèdent déjà ce caractère de nécessité et d'intelligibilité idéale dont nous parlions, nous permettent en outre, de rendre compte de chaque être mathématique de la façon la plus rigoureuse, la plus exacte, la plus complètement déterminée, en fonction de divers éléments. La surface d'un cercle, le triangle équilatéral ou le carré inscrits dans ce cercle, et toutes les grandeurs qui s'y rattachent, sont entièrement conims, autant qu'ils peuvent l'être, dès que nous connaissons le rayon du cercle. Dans ce sens on peut dire que ce rayon est la cause de toute une infinité de choses qui non seulement dépendent de lui, varient avec lui, mais encore dont on connaît exactement tout l'être quand on sait ce qu'est le rayon. De même les deux axes d'une elHpse sont, si l'on veut, la cause intégrale de toute la série des faits géométriques relatifs à l'ellipse, en ce sens que, eux connus, chacun de ces faits se trouve rigoureusement déterminé. Dans cette sorte de causalité qu'est en somme la fonction mathématique, nous retrouvons réalisés au plus haut degré les caractères que cherche toute science dans l'expUcation des phénomènes. C'est déjà d'ailleurs la fonction que poursuivait le physicien ou le naturaliste qui construisait ses tables de présence, d'absence et de variations. Mais que nous étions loin de la fonction idéale ! Celle-ci, celle du géomètre,

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supprime de la notion concrète de cause jusqu'à l'intuition du temps qui permettait de parler d'antécédent et de conséquent, et définit A cause de B à la clarté d'une relation telle que B s'en trouve aussitôt défini cause de A. Bref, si le besoin de causalité est pour la connaissance une des formes de notre besoin de comprendre, en réalisant l'unité dans le multiple, en poursuivant sans cesse les liens qui peuvent rattacher les choses les unes aux autres, et les déterminent les unes par les autres, nulle part ce besoin n*est aussi pleinement satisfait que dans le domaine mathématique. Il faut s'attendre par conséquent à ce que l'esprit y devienne exigeant, à ce qu'il y contracte plus encore que dans tout autre ordre d'idées l'habitude de chercher, de demander la cause, la tendance à n'apprécier les faits qu'en raison de leurs causes générales, au point de négliger parfois ce qu'ils peuvent avoir d'intéressant par eux-mêmes.

Mais si la culture mathématique, loin d'être indifférente à la recherche de la cause, doit ainsi devenir un excitant parfois dangereux en raison de son intensité même, est-ce à dire qu'elle éloigne nécesssairement l'esprit de la finalité .^^ Oui, s'il était question de cette finahté primitive qui évoque la pensée d'une volonté intelligente extérieure aux choses et disposant chacune pour le mieux. Mais à côté de cette finalité, il en est une autre, d'ordre esthétique, si Ton veut, qui se traduit à

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nos yeux par Tordre, rélégance, la simplicité, la beauté, et qui exerce par elle-même une action sur notre intelligence. C'est de celle-là que Ton peut songer à rapprocher la connaissance mathémathique. Certes jamais le géomètre ne considérera comme rigoureux un raisonnement où une seule proposition serait justifiée par une préoccupation de beauté, d'ordre ou d'élégance. Jamais il ne dira : cela est parce que ♦ de la sorte les choses sont plus simples ; ou : cela est parce qu'ainsi se trouve réalisé l'ordre qui nous séduit le plus. Toute raison de finalité devra être exclue impitoyablement et laisser la place à la seule causalité intelligible, si l'on veut que les démonstrations soient d'une rigueur véritablement mathématique. Mais d'autre part il est bien vrai que le géomètre vit dans un monde d'images, dont la régularité, la pureté, l'ordre ont de quoi exercer sur lui un charme spécial. Les lignes d'une minceur achevée, les surfaces complètement dépourvues de rugosités, les figures circulaires, sphériques, les polygones et les polyèdres réguliers, donnent l'impression d'une beauté particulière, faite d'ordre et de régularité parfaite. En outre, comment n'être pas frappé de la simplicité de certains résultats, de la concordance parfois merveilleuse de certains autres ? 11 est naturel que le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle soit déterminé quand on connaît le rayon, mais quelle simplicité dan§ la formule qui fixera cette dépendance :

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le côté de Thexagone est justement égal au rayon ; ou, en d'autres termes, partez d'un point quelconque de la circonférence, et, avec une ouverture de compas égale au rayon, appuyez alternativement les pointes du compas sur le contour du cercle, vous reviendrez exactement au point de départ, après avoir tracé un hexagone. — Le plus court chemin entre deux points est la droite qui les joint. — Le plus grand quadrilatère dont le périmètre ait une longueur donnée, c'est le carré. — Ajoutez les nombres impairs successifs, i, 3, 5,... les résultats des additions forment la suite des carrés des nombres entiers. — Il est d'ailleurs merveilleux de voir comme, à chaque instant, les recherches mathématiques dirigées dans des voies toutes différentes, géométrie, science du calcul, optique, etc., jettent tout à coup les unes sur les autres un jour inattendu. La loi de la réflexion de la lumière que connaissaient bien les Grecs était précisément celle qui donnait le plus petit chemin à parcourir au rayon qui va de l'objet lumineux à notre œil. Et, détail curieux, c'est par une exigence du même ordre, en voulant que la lumière qui passe d'un milieu dans un autre y parvînt dans le temps minimum, que Fermât a retrouvé la loi des sinus. — Les rapports simples correspondent seuls en musique aux accords agréables... Bref il semble bien qu'un mathématicien ne doive pas rester insensible à toute préoccupation de simplicité, d'élégance, de

Ixl LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GREGE

régularité, d'ordre, et il est naturel que, sans jamais donner à de tels soucis une valeur démonstrative, il se laisse parfois instinctivement guider par eux dans ses recherches. Pour peu que son tempérament l'y pousse, pour peu qu'il ait en lui l'étoffe d'un artiste, il s'habituera même à cette idée que la vérité ne va pas sans quelque simpUcité, qu'on peut rejeter apriori les solutions compliquées et dissymétriques, et enfin que les conceptions les plus harmonieuses ont le plus de chances de saisir la réalité, — l'harmonie, la simpUcité, l'unité, étant sans doute des conditions de l'être.

Du mécanisme, qui fait correspondre à la série des phénomènes l'image d'un mouvement continu se prolongeant à l'infini dans les deux sens, et de la causalité, dont l'application veut être indéfinie et repousse toute Umite, il est permis de rapprocher ce qu'on pourrait ixommQvYinjinitisme, c'est-à-dire l'acceptation de l'infini dans les conceptions qu'on se forme de la réalité. Au contraire, du dynanisme, qui autorise l'idée de véritables créations, de commencements absolus des choses, il est permis de rapprocher Icjînitisme,

11 suffit de songer aux antinomies cosmogoniques relatives aux grandes questions du commencement du monde, de la limitation de l'univers, de

la continuité de la matière, pour saisir l'opposition des deux tendances finitiste et infini tiste. Depuis que ces questions sont débattues, c'est-à-dire depuis les origines de la réflexion philosophique, on peut diviser les penseurs en plusieurs catégories suivant la répugnance plus ou moins obstinée que leur inspire l'idée de l'infini réalisé, ou au contraire l'aisance avec laquelle ils le font entrer dans leurs conceptions. Les uns, comme aujourd'hui l'école néocriticiste, n'admettent pas qu'il puisse être question, dans un sens seulement intelligible, d'un passé infini, d'un univers illimité, d'une matière indéfiniment divisible ; les autres repoussent au contraire toute limitation dans le temps ou dans l'espace, tout commencement absolu, toute limite à la divisibilité de la matière, comme étant choses incompréhensibles. D'autres, comme Kant, déclarent que la raison théôrétique est impuissante à décider ; et d'autres enfin, comme la plupart des penseurs grecs, ne croient pas devoir donner à ces problèmes une solution identique, acceptant tous sans hésitation l'infini du passé, mais proclamant ou condamnant suivant les cas l'infini spatial et le continu de la matière. Les études spéciales du géomètre sont-elles capables de dirigersa pensée philosophique d'un côté plutôt que de l'autre ?

Il est peu de mots qui reviennent aussi souvent, en mathématiques, que celui d'infini. Dès les premières

notions d'arithmétique, à propos de la formation des nombres entiers, on est amené à déclarer que la suite de ces nombres est infinie. Dès les débuts de la géométrie la droite est posée comme se prolongeant à Tinfini dans les deux sens, et cette propriété est utilisée bientôt d'une façon spéciale dans la définition des parallèles ; on peut dire d'ailleurs qu'avant la droite elle-même l'espace était donné comme infini dans tous les sens. C'est l'infiniment grand dont il s'agit ici. Quant à l'infiniment petit, il se trouve déjà impliqué dans la formation des fractions dont le dénominateur dépasse toute limite, ou plus simplement encore dans l'intuition de la longueur qui apparaît comme divisible à l'infini. Le maniement de tels concepts vat-il nécessairement conduire le géomètre aux tendances infinitistes ?

Non, répondront quelques-uns, car ce n'est pas l'infini, mais l'indéfini que manie le mathématicien. Quand il déclare infinie la suite des nombres entiers, cela signifie qu'après chaque nombre il peut en former lin autre ; s'il déclare infinie la droite, cela veut dire qu'il n'est pas sur cette droite de points si éloignés qu'on n'en puisse trouver de plus éloignés encore ; s'il parle de la divisibilité infinie de l'espace, cela veut dire qu'il n'est pas de segment de droite si petit qu'on ne puisse le diviser encore, ou, si l'on veut, qu'il n'est pas sur une droite de points si voisins qu'on ne puisse

en trouver d'autres entre eux. C'est en réalité le fini que considère toujours le mathématicien, sauf que ce fini peut devenir aussi petit ou aussi grand qu'on veut : c'est un fini auquel nulle limite restrictive n'est assignée : c'est rinfini en puissance, comme disait déjà Aristote, mais non pas l'infini en acte, celui que l'esprit pourrait songer à projeter dans ses conceptions sur le monde réel.

Tout cela est fort judicieux, et, en fait, si l'on ne tient compte que du sens précis des mots, en vue de la rigueur des raisonnements, si l'on ne se préoccupe que de la valeur logique des notions que manie le géomètre, tout cela est exact ; l'infini du mathématicien n'est, croyons-nous, qu'un mode de variabilité du fini. Mais il faut faire ici une distinction analogue à celle qui a été présentée à propos de la finalité : il faut songer à voir aussi chez le géomètre, à côté du logicien implacable, l'homme doué d'une certaine imagination. Pour celui-là la séparation que l'on fait de l'infini en acte et de l'infini en puissance est par trop radicale ; l'infini idéal ne reste pas toujours également éloigné de l'infini concret, il s'en rapproche plus ou moins, c'est ce qu'il est aisé de comprendre.

La formation des nombres entiers successifs nous met en présence d'un infini de pensée pure : nous avons fixé par une loi générale de construction un certain mouvement de la pensée (l'addition d'une unité

au dernier nombre formé), et ce mouvement, toujours le même, pourra se répéter indéfiniment, à chaque fois nous donnerons T existence à un nombre nouveau qui était en puissancedans la formule première. Celle-ci contenait donc en puissance l'infinité des nombres : c'est là le type le plus clair de l'infinité idéale. Mais passons à un exemple tiré de la géométrie. Autour du sommet A d'un triangle ABC on fait tourner une droite qui dans une quelconque de ses positions rencontre BC en un point D, et on considère la longueur AD. Quand la droite mobile passe par la position où elle est parallèle à BG, la longueur AD devient infinie. Cet infini est-il aussi idéal que le précédent .►^ — On peut dire : la longueur AD a cessé d'exister, parce que son extrémité D a disparu. Mais l'intuition que nous avons de la droite AD et du mouvement continu de rotation auquel nous la supposons assujettie peut-elle s'accommoder de semblables affirmations ? Disparue, la droite qu'on ne cesse de voir dans toutes ses positions ? disparue, cette image si claire d'une longueur dont une extrémité reste fixe et dont l'autre s'est éloignée sans cesse davantage ? — On répondra que l'image de la droite est toujours là, mais qu'elle ne fournit plus de quantité déterminée par sa longueur, en ce sens que, si grand que fût un nombre par lequel on essaierait de l'exprimer, le point D est plus loin encore que ne l'indiquerait ce nombre. En d'autres termes, on peut appliquer à

cette chose relativement concrète qu'est la droite AD Téchelle des valeurs abstraites : on n'épuisera jamais la droite. Mais précisément cette application d'une échelle d'abstraits à une droite, matérialisée au moins par son image, ne fait-elle pas sentir qu'il y a là deux infinis distincts, l'un tout en puissance, sortant à notre gré d'une règle générale de formation numérique, l'autre qui se pose dans l'intuition spatiale, et que le premier ne peut épuiser ? Le géomètre qui après avoir parlé de la suite infinie des nombres parle sur le même ton, avec la même aisance, sans plus d'hésitation, de la longueur infinie de la droite AD, a par là même accepté d'actualiser jusqu'à un certain point son infini. Et enfin est-il alors si éloigné de l'un de ces cas où l'infini semble le plus réalisé ? Supposons qu'il s'agisse de la grandeur infinie de l'univers matériel actuellement existant. Les difficultés qu'on tirerait de la nécessité de nombres infinis, pour exprimer les diverses mesures relatives à ce tout (volume, poids, distances, nombre des astres, etc.) tombent le plus facilement du monde, si nous entendons qu'aucune dimension ne sera épuisée par la quantité abstraite, que nous ne parvenons pas à voir dans l'univers, sans limite, un tout, une somme, un nombre, et qu'il n'est pour notre pensée qu'une occasion de compter indéfiniment. — En vain objectera-t-on que dans toutes les circonstances où l'esprit se met à compter, il y a nécessairement un

nombre ; le géomètre sera particulièrement disposé à rejeter un pareil postulat : n'a-t-il pas considéré luimême à chaque instant des éléments relativement couperets auxquels il a renoncé à faire correspondre un nombre, — à moins, bien entendu, que Ton appelle de ce nom tel symbole dont la signification rappellera justement l'absence de tout nombre fini?

Ainsi les circonstances plus ou moins réelles où il peut être question d'infini ne semblent pas constituer deux domaines radicalement distincts, l'un idéal, l'autre concret, auxquels doivent nécessairement correspondre des attitudes opposées. L'habitude que le mathématicien acquiert de manier l'infini à divers degrés de réalité concrète, et les tendances qu'elle fait naître pourront le conduire tout naturellement à apporter le même état d'esprit dans ses vues générales sur le monde qui nous entoure : le plus ordinairement, il sera infinitiste, et optera pour les antithèses des antinomies kantiennes.

Nous avons passé en revue un certain nombre de dispositions ou tendances générales capables d'orienter la réflexion philosophique dans telles directions de préférence à telles autres : nous n'avons certainement pas épuisé la liste des courants de quelque importance qui peuvent se manifester dans la pensée humaine.

D'autre part, Faction exercée sur une âme par la culture mathématique peut dépendre elle-même de conditions dont nous n'avons pas parlé et que d'ailleurs il serait impossible d'énumérer complètement : le tempérament personnel de l'homme, le milieu où il a vécu, la religion où il a été élevé, etc. Il n'y a dans ces sortes de catégories que nous avons examinées que des cadres pourvus de fort peu de matière : une foule de penseurs idéalistes présenteront des nuances infiniment variées ; les conceptions dynamistes de Kant, dans sa philosophie de la nature, ne ressemblent pas à celles d'Aristote, et ainsi de suite. Le résultat de cette étude est donc avant tout de nous guider à travers les recherches complexes que nous entreprenons en nous donnant d'avance, avec un programme commode, des indications capables non point de déterminer toutes nos conclusions, mais de jeter sur elles quelque lumière.

G. MiLHAUD. — Philosophes-Géomètres.