PQ = PR = T

Eudoxe aurait construit pour le même problème.

d'après Eutocius, certaine courbe de son invention; nous ne la connaissons pas. Archytas imaginait une ligne définie sur un cylindre droit par son intersection, avec un tore*, et déterminait ensuite les moyennes en coupant cette ligne par un certain cône. Platon enfin se serait occupé de la question, et Eutocius nous dit quelle aurait été sa solution. Le caractère pratique de ce procédé est fait pour nous inspirer les doutes les plus sérieux sur son attribution à Platon lui-même^.

I. Surface de révolution engendrée par un cercle qui tourne autour d'un axe silué dans son plan.

a. Imaginons un instrument tel que ABGD formé d'une règle fixe AB et d'une règle mobile CD qui se déplace entre les montants AC, BD, tout en restant parallèle à AB. Soient OË, OF deux droites perpendiculaires

et respectivement égales aux longueurs a ei b entre lesquelles on veut construire les deux moyennes proportionnelles. On disposera l'instrument de telle façon que les points E et F soient l'un sur le bord de la règle fixe, l'autre sur le bord de la règle mobile, en même temps que les prolongements de OE et de OF passent par les sommets G et A du rectangle formé par les règles et les montants.

Les triangles EAC, FCA, étant rectangles, la hauteur de chacun d'eux est moyenne proportionnelle entre les segments de l'hypoténuse, de telle sorte que l'on a