E OA OC OA-'OG — QF

OA et OC sont les longueurs cherchées.

Longtemps encore après Platon la construction des deux moyennes suscitera les recherches des géomètres, et la liste dés courbes définies et étudiées par eux s'augmentera sans cesse. Ces courbes seront toutes, comme les premières, des lieux géométriques, c'est-à-dire des ensembles de points ayant une propriété particulière, une propriété caractéristique, un GÙfjiTTtwfjia, comme dit Proclus, qui contient en lui-même Tessence de la courbe, et donne, avec la définition, toutes les propriétés. C'est en somme ce qui équivaut pour nous à l'équation. Les lieux géométriques deviennent assez nombreux pour que des tentatives de classification soient faites dès l'antiquité. S'il faut en croire Proclus (d'après Geminus) en un passage que confirment d'ailleurs à peu près les Definitiones du Pseudo-Heron * , une distinction aurait été faite en courbes circulaires, hélicoïdes et campyles, c'est-à-dire cercles, courbes qui s'engendrent autour des solides comme les hélices, et sections des soHdes. Mais cette classification serait postérieure à Platon qui, après avoir distingué les hgnes simples, droites et cercles, réunissait en un seul genre de courbes mixtes, toutes celles qui ont été appelées depuis hélicoïdes et campyles.

I. Cf. P. Tannery, Bulletin des Se. mathéin. Sur les lignes et les surfaces dans l'Antiquité, i884, i-

LA GÉOMÉTRIE AU tEMPS DE PLATON lyB