III. — Questions de Méthode et de Technologie

Proclus attribue à Platon Finvention de la méthode analytique, c'est-à-dire de celle qui consiste à prendre pour point de départ la proposition à établir et à en déduire une série d'autres jusqu'à ce que Ton parvienne à une vérité connue. Cette marche régressive s'oppose à la méthode dite synthétique, qui va de propositions déjà connues à une vérité nouvelle. En fait, nous trouvons au commencement du xin® livre d'Euclide des exemples de démonstration analytique, suivis chaque fois d'ailleurs de la démonstration synthétique du même théorème. Cette idée, qui n'est appliquée qu'à la fin des Eléments, remonterait-elle à Platon .^^ Remarquons en tous cas qu'il ne saurait être question pour lui à proprement parler de l'invention de la méthode. Elle s'appliquait déjà d'elle-même quand, à propos d'un problème à résoudre, les géomètres le ramenaient à un autre plus simple. La tradition a désigné sous le nom d'a7rayo>7>5 celte réduction d'un problème à un autre plus facilement abordable, plus près d'être résolu; et Hippocrate de Chios, par exemple, est cité pour son aTraycoyy? célèbre, la réduction du problème de Délos à l'insertion de deux moyennes proportionnelles. D'autre part, s'il s'agit d'un théorème à établir, et non plus d'un problème à résoudre, la démonstration par

Tabsurde n'esl-elle pas un exemple de marche analytique? Une proposition dont on veut démontrer la fausseté est posée avant tout, et on en tire ensuite une série de conséquences jusqu'à ce que Ton parvienne à une proposition contradictoire. C'est même là l'emploi idéal de la marche régressive, car dans de pareils cas elle se suffit à elle-même, tandis que lorsqu'il s'agit d'établir une proposition, comme au xiif livre d'Euclide, le fait qu'une vérité connue peut s'en déduire ne suffit pas à prouver l'exactitude de la première. Il y a là seulement une indication : si toutes les réciproques sont vraies, et dans cette hypothèse seulement, il est permis de renverser la chaîne des propositions ; c'est pourquoi il faut faire une vérification en essayant la synthèse, comme Euclide en donne l'exemple. Or la démonstration par l'absurde, que Zenon d'Elée maniait si habilement dans sa polémique contre les partisans de la pluralité, s'employait déjà sans aucun doute en mathématique ; il suffirait de rappeler cette démonstration de l'incommensurabilité de la diagonale que, d'après un témoignage d'Aristote, nous pouvons attribuer aux Pythagoriciens, et qui consistait à montrer qu'un nombre n'est pas à la fois pair et impair.

Il semble donc difficile de prendre à la lettre le passage de Proclus relatif à l'invention de l'analyse, et peut-être faut-il y voir, comme le soupçonne M. P. Tannery, une confusion avec la double marche ascen-

daiite et descendante de la méthode philosophique décrite à la fin du VP livre de la République.

En tous cas, il est permis de rapprocher cette indication de Proclus d'une foule d'autres portant, à propos de l'histoire de la géométrie, non pas précisément sur la matière de cette science, mais sur sa forme. Il s'agit tantôt de discussions sur les diverses sortes de principes, axiomes, hypothèses, postulats, définitions, — tantôt de la distinction à faire entre différentes espèces de propositions, théorèmes, problèmes, porismes.. ; tantôt ce sont les parties de la démonstration qui sont séparées et reçoivent des noms distincts. Ces sortes de préoccupations dont nous trouvons l'écho dans le commentaire de Proclus ne remontent pas toujours à une haute antiquité, mais du moins, en dehors de ce qui concerne Platon, quelques allusions très précises à Menechme et à Speusippe nous autorisent à penser que les questions de méthode et de technologie étaient déjà à l'ordre du jour parmi les contemporains de Platon.

Nous pouvons arrêter là ce résumé nécessairement incomplet des recherches géométriques au V et au iv^^ siècle, tel qu'il est permis de le présenter sans trop d'incertitude.

Des dernières remarques qui précèdent nous conclurons seulement que la pensée malhémaliquc avait G. MiLHAUD. — Philosophes-Géomètres. m

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acquis déjà, au temps de Platon, assez de maturité ir devenir elle-même matière à méditation, et pour 3 la forme de la langue mathématique fournît un ment précieux à la réflexion des géomètres. Quant ensemble des travaux que nous avons mentionnés, donne l'impression d'un accroissement très appréble de connaissances, il marque aussi une évolution t importante des concepts fondamentaux.

Tout d'abord l'étude des incommensurables est enue de plus en plus complète. Le géomètre est ené d'une part à manier et à classer une foule de les irrationnelles ; d'autre part, l'incommensurabilité i grandeurs n'est plus un obstacle à l'application des ports et proportions aux longueurs, aux surfaces et L volumes. Ce qui s'était présenté comme uneredoule antinomie, comme un scandale logique, ce fait 3 deux longueurs peuvent exister entre lesquelles il a pas de rapport numériquement exprimable, sait désormais de troubler l'esprit du géomètre, is, en même temps, nous sommes peu surpris de r un penseur tel que Platon attacher aux incomnsurables une importance énorme, comme si, pour , leur notion était un des points fondailientaux de la >métrie. S'il y fait de si fréquentes allusions, s'il ne il s'empêcher de les mentionner toutes les fois qu'il îrche dans le domaine de la science l'exemple d'une ité que tout le monde devrait connaître et méditer.

LA GKOMÉTRIE AU TEMPS DE PLATOX I yQ

la raison n'en est pas difficile a saisir. Pour que la notion nguvelle de la grandeur incommensurable prît enfin sa place naturelle en géométrie, il n'avait fallu rien moins au fond qu'une transformation radicale de l'idée de nombre.

Considérons deux grandeurs telles que la diagonale et le côté d'un carré : ne sont-elles pas liées entre elles par une certaine manière d'être quantitative, comme dit Euclide, indépendante de tout calcul, de tout procédé qui pourra nous servir à l'exprimer ? C'est là, dans ce qu'il aura de plus général, le Aoyo;, le rapport des deux grandeurs. 11 ne revêt pas la forme particulière d'un nombre entier ou dune fraction : qu'importe ? Cela prouve simplement que les moyens qui nous faisaient aboutira cette sorte d'expression étaient insuffîsanls, que l'idée de quantité, de rapport, de nombre, n'était pas épuisée par la méthode qui consistait à ajouter simplement, à juxtaposer des éléments identiques, unités ou fractions d'unité. Lorsque nous disons, en présence de nos deux longueurs, que l'une est déterminée en quelque façon par l'autre, qu'elle en participe de quelque manière, nous sommes en même temps dans l'impossibilité absolue de montrer certains éléments de l'une, dont la répétition permettrait de reconstituer l'autre : c'est tout simplement que ce mode nouveau de participation échappe à touteimageadditive.

Dira-t-on qu'il y a là un genre de quantité tout à

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fait singulier, n'ayant aucun rapport avec le nombre, seul connu jusqu'ici? Il est, au contraire, assez facile de donner une place au nombre nouveau dans réchelle de ceux dont nous disposions auparavant. Il suffit, pour cela, de se laisser guider par Platon qui précisément a choisi ce problème pour faire Menon témoin des merveilleux effets de la réminiscence. Le procédé est très clair : mais il n'a plus aucun rapport avec la comparaison des nombres de l'arithmétique primitive : il consiste à comparer des longueurs entre elles, non plus par les sommes d'éléments qu'elles représentent, mais par les carrés qu'elles sont en puissance de fournir.

L'intuition géométrique prend désormais un rôle spécial et nouveau, en tant que représentative de la quantité. D'une part, elle a révélé des états de grandeur que la simple addition d'éléments identiques ne suffit plus a constituer, et en même temps elle a fourni elle-même le moyen de les faire entrer dans l'échelle des nombres. D'autre part, elle généralise certaines propriétés quantitatives. Les nombres arithmétiques ne sont que très rarement des carrés; 2, par exemple, n'est pas un carré. Or, en géométrie, si Ion part du carré de côté i , c'est-à-dire du carré i , il suffira de construire, comme dans le Ménon, le carré qui aurait la diagonale pour côté ; ce sera le carré 9. Les nombres i et 2 étaient à cet égard dissemblables, la géométrie leur rend la similitude. Après cette étude

LA GÉOMÉTlUfi AU TKMPS DE PLATON l8l

(celle de rarilhmélique), lisons-nous dans XEpinoniis, (( vient immédiatement celle que Ton nomme ridiculement Géométrie (mesure de la Terre), et qui consiste à donner à des nombres naturellement dissemblables une similitude se manifestant sous la loi des figures planes. C/est là une merveille qui, si Ton arrive a la bien comprendre, apparaîtra clairement, comme venant non de l'homme, mais de la divinité. »

Mais il est une autre façon d'envisager les incommensurables. Si Ton essaie de trouver la mesure de la diagonale d'un carré, en prenant pour unité le côté, il est entendu qu'on peut diviser ce côté en autant de parties égales qu'on voudra : jamais un nombre de ces parties ne représentera la diagonale. Et cependant il est aisé d'obtenir des nombres qui la mesurent avec une approximation de plus en plus grande. C'est ainsi que, par exemple, si elle contient une fois le côté, elle contient \l\ dixièmes, 1/41 centièmes, \\i\ millièmes de ce côté, cl il est clair que les longueurs 1, — i.'i, — i,Ai, — i,Ai4... dilVèrent de inoins en moins de la diagonale. L'impossibilité d'obtenir la mesure exacle se confond alors avec l'impossibilité de parvenir au terme d'une suite qui est sans fin, en vertu même de la règle qui sert à la former, et l'on peut dire de la ligne incommensurable qu'elle est, dans ces conditions, la limite inaccessible de la série de longueurs que nous lui substituons. Or celle manière de Aoir les choses

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qui, au foud, n'esl aulre que la méthode d'exhaustlon, va pouvoir s'emploxer dans une foule de cas. Qu'il s'agisse, par exemple, de Taire d'un cercle, de la surface ou du volume d'un corps rond, de la longueur d'un arc de courbe, il n'esl pas permis d'en parler tout d'abord avec clarté. Qu'est-ce qu'une aire plane limitée par une courbe? Qu'est-ce que la longueur d'une ligne qui n'est pas composée exclusivement de droites, ou le volume d'un solide que ne limitent pas seulement des faces planes? On se pose ces questions comme on se demandait ce ((ue pouvait être un rapport non exprimable par un nombre. Pas plus que dans ce dernier cas, la géométrie ne voudra renoncer aux autres considérations quantitatives, sous prétexte que d'elJes-mèmes elles n'ontpas un sensprécis. Et Ton peut dire que dès les travaux d'Eudoxe il nS aplus dans ces sortes de questions aucune impossibilité. Chaque fois qu'interviendra une quantité quelconque relative à la circonférence du cercle, celle-ci sera considérée comme la limite d'un polygone inscrit dont le nombre des côtés augmente indéfiniment. La sphère sera de même la limite d'un polyèdre inscrit, et ainsi de suite. D'une façon générale, quand l'intuition géométrique semblera offrir par ses exigences de forme quelque irréductibilité au nombre, la notion de limite et la méthode d'exhauslion sauront faire tomber l'obstacle. Par là disparaît tout ce qui semblait faire entrave à la fusion du nombre et de l'étendue continue.

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En même temps, les problèmes de la trisection de l'angle et de la duplication du cube amènent tout naturellement Platon et ses contemporains à manier, avec les sections coniques, d'autres lignes plus ou moins compliquées, et à faire rentrer la notion générale de courbe dans celle de lieux géométriques. On se rappelle en effet, si nous prenons en exemple la section du cône, dans quelle propriété quantitative spéciale, caractéristique d'un quelconque de leurs points, était leur signification et leur importance. Gela apparaît avec une clarté saisissante si Ton examine de près quelque problème où interviennent ces lignes, tel, par exemple, que les solutions de Ménechme pour la question des deux moyennes proportionnelles. Dans celle que nous avons citée, que représentent les deux paraboles, sinon chacune un lieu de points dont l'abscisse et l'ordonnée satisfont à une certaine relation? Le point où elles se coupent, c'est le point auquel correspondent deux relations, et il se trouve justement que la simultanéité des deux relations équivaut au fait géométrique que deux lignes particulières de la figure sont les moyennes cherchées. C'est déjà, deux mille ans avant Descartes, la géométrie analytique qui prend naissance, sinon dans sa forme, au moins dans son esprit. Une courbe tire toute sa raison d'être, toutes ses propriétés d'une relation quantitative entre des longueurs et des surfaces qui correspondent à chacun de ses points. Au fond elle est

nlièrc dans celte relation, qui est son caractère que. Et c'est ainsi que tous les progrès de la ilric au temps de Platon concouraient à une ation de plus en plus étroite de la quantité dans tinu de l'intuition.

OUESTIO-NS PRELIMINAIRES

Quels moyens avons-nous dalleintlrc à la pensée de Platon ?

Elle s'est exprimée en un certain nombre d'écrits (pii nous sont parvenus : elle s est coiiiplétée dans un enseignement oral, sur lequel Tantiquité peut nous donner quelques informations utiles : enfin les anciens qui ont si souvent interprété Platon offrent à nos recherches un secours qu'il ne faut pas dédaigner.

Quelques brèves réflexions sont nécessaires tant pour moiilrer toutes les diilîcultés qu'il y a à utiliser ces ressources que pour justifier d'avance certaines appréciations.

Les Écrits de Platon.

La première difficulté qui se présente ici est de savoir quels sont les écrits authentiques. Les listes les plus anciennes des œuvres de Platon sont celles d'Aristophane de Byzance (m'' siècle av. J.-C.)et deThrasjlle (très peu de temps avant 1 ère chrétienne), que Diogène Laercc nous a conservées. La critique moderne n'a pu

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se résoudre à les accepter sans réserve, et, à part quelques rares érudits, tous sont d'avis qu'il faut choisir dans l'ensemble. 11 est permis d'abord d'alRrmer Tauihenticitc des dialogues mentionnés par Aristote, la République, le Phèdre, le Timée, les Lois. Mais que penser des autres ? Quelques savants ont essayé de les comparer aux premiers et de voir s'ils s'accordent ou non avec eux pour la doctrine : déplorable méthode, a la fois prétentieuse et arbitraire. Zeller a proposé d'utiliser autrement les dialogues cités par Aristote. Sans chercher à définir par leur contenu toute la philosophie platonicienne, on peut noter les rapprochements de détail, les allusions que tel dialogue présente a quelque théorie donnée par l'un des premiers. Le procédé n'est rien moins que sur, d'abord en ce qu'il n'autorise aucun jugement sur les écrits qui n'offrent pas d'allusion reconnaissable el ne donnent lieu à aucun rapprochement ; ensuite parce que le premier soin d un faussaire aurait été, nous semble-t-il, de multipher les alTirmalions qui rappellent le mieux les théories platonicieimes. Mais en somme, a consulter la grande majorité des critiques, nous n'avons vraiment aucune raison sérieuse de mettre en doute l'authenticité de tous les dialogues importants, y compris le Parménide, le Sophiste el le Politique. — Les lettres sont douteuses, nous n'en parlerons pas.

Une seconde difficulté résulte de Timpossibilité oii