I. Parna., p

de rapprocher Tidée, soit inséparable de l'opération de Tâme par laquelle il est produit ; et c'est ce qui ne paraît pas douteux. Si donc il y a du pensé dans cette chose qu'il nous est interdit de prendre pour l'idée, c'est du pensé dans son rapport avec l'acte de l'esprit qui le pense ; il ne s'agit en aucune façon d'une représentation prise en elle-même, d'une conception séparée de l'intelligence qui la conçoit ; il ne s'agit pas d'une notion ou d'une vérité détachée du travail d'élaboration par lequel elle a été formulée et proclamée. Ce qui se trouve évidemment exclu, c'est toute création, toute fiction, toute production contingente, et plus généralement tout ce dont on ne comprend pas l'existence (( autrement que dans l'âme », comme dit Platon. Le Parménide ne peut être invoqué contre une interprétation qui veut projeter l'être de l'idée en dehors de l'âme, comme celui d'un objet qui peut être pensé par elle, mais dont l'existence ne lui doit rien. Or n'est-ce pas là le cas des vérités que proclame le géomètre ? Platon a si fort le sentiment qu'elles sont extérieures à son âme individuelle, qu'il veut qu'elles soient reconnues et non créées ; et l'on a vu combien volontiers il a recours à l'exemple de la géométrie pour démontrer le fait de la réminiscence. Sans doute pour chacun de nous les propositions mathématiques n'expriment une réalité que lorsque nous les avons pensées, mais elles sont antérieures à l'acte de l'esprit qui les pense ; et la preuve,

c'est que tous les hommes, quels qu'ils soient, les reconnaîtront. Quand Socrate veut en montrer un exemple à Menon, il ne demande pas un savant, ou un homme dont Tintelligence soit capable de produire de grandes choses, il prie Menon de faire appeler n'importe lequel de ses esclaves. Tant qu'il y aura des hommes pour penser, ils reconnaîtront les vérités géométriques comme auraient pu les reconnaître tous les hommes qui ont jamais vécu. Gomment songerait-on à dire que de pareilles vérités n'existent que dans l'âme, quand elles lui sont si manifestement antérieures, quand leur universalité et leur nécessité sont la marque, — Kant le dira plus tard, — de leur caractère apriorique et de leur objectivité.

Nous arrêterons-nous au caractère transcendant //opt- (îTov des idées, suivant l'expression qui revient si souvent chez Aristote.^ Toute conception des idées, pour avoir des chances d'être exacte, doit expliquer en quoi et comment elles sont en dehors des choses sensibles. Mais n'est-ce pas une façon claire d'entendre cette séparation que de songer aux notions géométriques ? Sans doute pour qui veut voir dans les définitions de la géométrie des éléments simplement tirés par abstraction des objets sensibles, il est difficile de parler de transcendance : celle-ci est alors toute factice, elle se résume en un simple effort de pensée pour dégager et conserver sous un mot des propriétés com-

munes à une multitude. Mais nous avons suffisamment insiste sur Terreur que Ton commet ainsi. L'idée mathématique n'est pas réalisée dans le monde concret ; celui-ci n'en présente que l'image imparfaite, s'il s'agit des figures idéalement régulières de l'intuition, ou même y correspond de plus loin encore s'il s'agit des notions faites de relations rigoureuses et de pensée pure d'oii la forme concrète elle-même de l'intuition sensible tend à disparaître. Que Platon dût par conséquent déclarer transcendantes les essences mathématiques, il n'y a là rien que de fort naturel.

Mais de plus, c'est ce que confirme le témoignage d'Aristote lui-même. II nous dit, en effet, que les idées mathématiques étaient pour son maître au delà des choses sensibles, dans l'ordre de dignité et de réalité. Non seulement donc nous n'aurions pas à nous justifier d'avoir appliqué l'épithète deywpiGià aux choses mathématiques, dans l'interprétation du platonisme, mais même nous trouverions un auxiliaire dans Aristote, s'il n'avait pas ajouté que ces essences mathématiques étaient pour Platon intermédiaires entre les choses sensibles et les idées, ce qui va à l'encontre de notre thèse. Cette grave affirmation semble d'ailleurs s'accorder avec certains passages des dialogues ; il nous faut porter sur elle l'effort de toute notre attention.

(( Platon admet encore, en dehors des choses sensibles et des idées, les êtres mathématiques qui sont les

intermédiaires entre les idées et les choses, difiTérant des objets des sens en ce qu'ils sont éternels et immobiles, et différant des idées en ce qu'ils peuvent être en très grand nombre semblables les uns aux autres, tandis que dans chaque genre l'idée est seule et unique. » Ainsi s'exprime Aristo te (Met. A, 6). Or dans quel sens peut-on dire qu'il existe un très grand nombre d'êtres mathématiques semblables les uns aux autres ? Serait-il question de la variété infinie que présentera la réalisation matérielle de ces êtres : la forme circulaire, par exemple, se trouve reproduite par tous les ronds que tracera un géomètre sur le sable ou sur le papier. Mais on ne comprendrait pas alors où serait la différence avec les idées, dont chacune correspond à une infinité de choses sensibles qui y participent. Tout devient très clair, au contraire, si l'on admet que pour Aristo te l'être mathématique est simplement le cercle au contour infiniment mince de l'intuition, car il est bien évident que suivant la longueur donnée au rayon, on aura une série de figures semblables. Et il est si naturel qu'Aristote, dont l'esprit a quelque chose d'essentiellement concret, ne dépasse pas ce degré d'abstraction dans la définition du cercle I Mais Platon en connaissait un plus élevé, le seul à vrai dire qui importe au mathématicien, celui d'où l'on aperçoit la définition véritable du cercle, la propriété qui caractérise les points de sa circonférence, c'est-à-dire l'égalité de leurs

distances au centre. Si de même il existe une infinité d'elKpses suivant les longueurs données aux axes, la définition de l'ellipse est une pour le géomètre, c'est le lieu de points tels que la somme de leurs distances à deux points fixes est constante. Et ainsi de suite. Ce qui retient le mathématicien, c'est la relation dernière, le oyfjLTTToijuia, qui caractérise la figure, quelle que soit la valeur particulière attribuée à chacun des éléiùents. C'est cette relation qui, seule, intervient dans les démonstrations et donne toute leur valeur aux conclusions. A mesure que se précisera le langage mathématique, les valeurs numériques particulières disparaîtront des écrits des géomètres et seront de plus en plus remplacées par des formules, des signes de fonction, des relations traduisant les définitions générales. Cette tendance à saisir la relation dernière sous les élémeats particuliers et contingents, Aristote ne pouvait la partager complètement avec Platon ; s'arrêtant à mi-chemin pour définir la chose mathématique, il a pu dire qu'elle n'est pas une comme l'idée. Mais si nous remontons avec le maître à la véritable essence mathématique, au ayjULTTKoji/a, à la définition caractéristique, où est la différence avec l'idée ? Elle est une et seule, èv hoLcrov... fjLovov. A certains égards sans doute on pourra dire que le cercle est une variété de l'ellipse, que le triangle est une variété du polygone, et il sera permis de soumettre les définitions mathématiques G^ MiLHAUD. — Philosophes-Géomètres . i8

îiyi i-E5 PHILOîOFHEîi-CÉOMETllES DE L\ GRECE

â ceiiaineT» diviï^ions par genres, mais il en sera de même exactement pour le< idées, et cela ne fait point de différence.

Uesie à voir si Platon lui-même ne nous contredit pas en indiquant manifestement qu'il place les choses mathématiques au-dessous du monde des idées. Et tout d'alxird revenons à cette fin du VI' hvre de la Répuhlique où se trouve posée la distinction de la Jià>ota et de la vir-ît;. L'une est la connaissance raisonnée qui, de prémisses assimilées sans discussion à des vérités, descend par une chaîne de propositions jusqu'à la conclusion qu'on veut élabhr. C'est le raisonnement déductif. Par la vor.-ît; on n'accepte plus comme des vérités les hypothèses que pose l'esprit, et l'on remonte de cellesci à un principe premier ne présentant plus aucun caractère hypothétique, et d'où leur vient en retour le fondement de leur réalité. De plus, on utihse d'un côté des signes matériels, comme fait le géomètre qui trace des figures, tandis que, avec la 'Ar.niz, la connaissance s'accomplit par la pensée toute pure. Et le passage, on s*en souvient, se termine par cette remarque de (ilaucon qu'approuve Socrate : (( Tu appelles Sixuoiy. et non pas voO; la connaissance qui s'acquiert par la géométrie et les autres arts semblables, cette connaissance étant intermédiaire entre ropinion et la pure intelligence. » Comme Platon a suffisamment expliqué que la otAi/oiy. a pour type le raisonnement géométrique, tout

le monde a jugé qu'il veut ici placer les êtres géométriques au-dessous des idées. C'est là une conclusion qui à notre sens n'est pas justifiée.

Que la Jtavota soit le raisonnement géométrique, c'est incontestable, — raisonnement s 'exerçant sur des images visibles et sur des formes matérielles. Le point de départ est dans l'hypothèse que certaines propriétés, certaines relations sont réalisées dans la chose sensible placée sous les yeux ; et la méthode s'étend des notions théoriques à toute application des mathématiques, ce qui expUque l'allusion aux arts semblables à la géométrie, et ce qui peut même nous inciter à entendre ici géométrie dans le sens pratique que Platon rejettera au livre suivant. Mais cette ^tavoia, cette connaissance raison née, est-elle la seule dont s'inspire le mathématicien .^^ Elle l'amène à tirer tout le parti possible des définitions et des relations qu'il pose incessamment, mais ce n'est pas elle qui peut les lui fournir. Elle intervient tout au plus comme auxiliaire pour montrer qu'il n'existe pas de contradiction dans les éléments qu'on réunit dans une définition, c'est-k-dire en somme pour donner droit d'existence à une conception nouvelle, mais ce n'est pas elle qui la suggère à la ]3ensée du géomètre, ce n'est pas elle qui en apporte les raisons, et qui en fait une réalité profonde au lieu qu'elle soit une simple fiction de l'esprit. La connaissance raisonnée n'est qu'un des éléments de la connaissance mathématique. Et qu'est-ce

donc qui la complète, et donne toute leur valeur aux conceptions du géomètre, sinon la vor^ctç? Par elle, Tentendement veut s'appliquer aux définitions en elles-mêmes, aux essences mathématiques, telles qu'elles se présentent idéalement à la pensée, indépendamment de toute chose concrète, et même de toute figure visible où elle .apparaisse. Les caractères restrictifs du sensible et l'impuissance d'un raisonnement forcément hypothétique, puisqu'il suppose toujours la vérité de certaines prémisses, mettent le géomètre dans la nécessité de poursuivre une connaissance idéale et absolue ; de sorte que, sans sortir de la pensée mathématique, Platon peut souhaiter d'atteindre un principe suprême qui comporte avec lui tout sa raison d'être, et qui serve de fondement aux spéculations pures de la science théorique. Cette source d'être et de réalité sera ce que Dieu doit être plus tard pour Descartes et pour Malebranche, et ce que sera pour Kant l'intuition a priori. En tous cas, si la vor/atç éclaire l'intelligence du géomètre par le contact qu'elle réaKse avec un principe absolu, dépourvu d'hypothèse, oî/utto^Z/Toc, c'est de la même façon qu'elle apporte la lumière dans le monde des idées, par le rayonnement de l'idée du bien, et rien encore de ce côté ne nous oblige à reconnaître une différence de nature entre les idées platoniciennes et les essences mathématiques.

Au reste, le livre VII de la République nous apporte

IDEALISME 277

un complément d'information. Il y est question, comme on sait, de Téducation qui convient le mieux au philosophe. L'arithmétique, la géométrie, l'astronomie, la musique sont tout indiquées ; mais d'abord Platon fait une distinction fondamentale. Il écarte de chacune de ces sciences toute la partie qui s'échappe vers le monde sensible et qui descend aux applications matérielles ; il ne consent à garder que la spéculation purement théorique. A cette condition, Platon déclare que ces sciences atteignent ce qui est véritablement, ce qui est éternel, ce qui échappe au changement, à la naissance et à la mort ; elles éloignent la pensée des choses visibles et la conduisent vers « ce qui est et ce qu'on ne voit pas » ; elles préparent à la contemplation de l'idée du bien. La science suprême, « toute spirituelle » qui, après l'initiation de la pensée mathématique, nous fera parvenir a l'idée du bien, c'est la dialectique, qui se trouve ainsi posée comme le couronnement de l'éducation du philosophe. Ce qui peut nous frapper jusqu'ici c'est que les sciences spéculatives ont servi d'introduction non pas au monde des idées, mais à la connaissance de l'idée du bien.

Mais voici qu'après cette énumération Platon semble atténuer la valeur de l'être mathématique. (( La dialectique, dit-il, est la seule science qui tente de parvenir

régulièrement à l'essence de chaque chose Quant

aux arts tels que la géométrie et les sciences qui

l'accompagnent, nous avons dit qu'ils ont quelque relation avec Têtre, mais la connaissance qu'ils en ont ressemble a un songe, et il leur sera impossible de le voir de cette vue nette et sûre qui distingue la veille, tant qu'ils resteront dans le cercle des données matérielles sur lesquelles ils travaillent, faute de pouvoir en rendre raison. En effet quand les principes sont pris on ne sait d'où, et quand les conclusions et les propositions intermédiaires ne portent que sur de pareils principes, le moyen qu'un tel tissu d'hypothèses fasse jamais une science? — Il n'y a donc que la méthode dialectique qui, écartant les hypothèses, va droit au principe pour l'établir solidement ; qui tire peu à peu l'œil de l'âme du bourbier où il est honteusement plongé, et l'élève en haut avec le secours et par le ministère des arts dont nous avons parlé. Nous les avons plusieurs fois appelés du nom de sciences pour nous conformer à l'usage : mais il faudrait leur donner un autre nom qui tienne le milieu entre l'obscurité de l'opinion et l'évidence de la science : nous nous sommes servis quelque part plus haut du nom de connaissance raisonnée *. » Il nous semble que ces lignes, ordinairement citées pour montrer chez Platon l'infériorité de la connaissance mathématique, loin d'affaiblir nos précédentes réflexions, les confirment pleinement, Platon a eu

j. Uef)., 533, B, c, trad, Gousiq.

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beaucoup de peine à séparer dans chacune des sciences dont il a p arlé la partie pratique et la partie purement théorique. Il a le sentiment de la difficulté qui s'offre à qui , veut dégager Tune de l'autre, et il présente cette séparation et cette épuration comme souhaitables, mais non poin t comme étant tout à fait réalisées dans les sciences de son temps. Au moment où il résume son énumération, il a si peu laissé de côté l'élément pratique et matériel de ces sciences, il en est si manifestement gêné, que son langage le trahit et qu'il nomme arts, zéyyoci, la géométrie et les sciences qui l'accompagnent, tandis qu'il les avait nommées (xyM[ioLT(x, quand il avait eu clairement en vue leur seule partie théorique. Il serait évidemment moins sévère pour elles, s'il ne songeait qu'aux essences dont il a parlé, — en astronomie, par exemple, « aux vraies vitesses et aux vraies lenteurs », — en géométrie, aux notions pures qui correspondent aux figures, — d'une façon générale aux définitions qui caractérisent aux yeux de la raison les éléments plus ou moins concrets auxquels s'applique la pensée mathématique.

Mais en tous cas il faut se garder de croire que Platon voie dans la géométrie et rarilhmétiquc des sciences hypothétiques, tandis qu'il réserverait une valeur absolue à la dialectique. On ne comprendrait pas d'abord que les premières fussent une préparation \i la dernière : Comment un exercice prolongé de l'es-

28o LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE LA GRÈCE

prit sur des fictions le disposerait-il à saisir Fessence de Tétre ? Et surtout quel étrange langage aurait été celui de Platon, quand il qualifiait en termes si élevés l'objet des fxaôr/fjiaTa, des sciences mathématiques spéculatives? Non, rien n'oblige dans le texte que nous avons cité à voir Platon se contredire ainsi. La dialectique vient à la suite des autres sciences et se* trouve avec elles dans un rapport direct. Elles s'arrêtaient devant la justification complète des notions qu'elles élaboraient, la dialectique fait tomber tout ce qui leur reste d'insuffisamment fondé, en allant droit au principe ; mais c'est en particulier pour pouvoir en redescendre et répandre sa lumière et sa clarté sur tout ce monde d'essences mathématiques, d'une existence et d'une i:ealité désormais aussi profondes que celles du principe auquel s'est élevé le dialecticien. Le caractère hypothétique des choses mathématiques n'était que provisoire; il disparaît dès que le géomètre rompt décidément avec les données matérielles, s'élève vers les essences pures, et enfin, à la lumière du principe suprême, en donne les raisons. Il en est de ces essences mathématiques comme des idées qui attendent de l'idée du bien le fondement de leur unité et de leur réalité absolue.

Reste enfin à répondre à un dernier reproche, grave entre tous : n'oublions-nous pas dans notre assimilation des idées aux êtres mathématiques, que les idées sont des oy^jeat.^ L' ovcita n'est-ce pas la substance,

IDEALISME 281

et peut-on raisonnablement appliquer le mot à des notions ou à des vérités scientifiques? — M. Brochard, discutant la doctrine qui fait des idées des pensées de Dieu, insiste particulièrement sur Timportance de ce terme, ouaix, ce II faut choisir, dit-il entre ces deux interprétations : les idées sont des substances, et les idées sont des pensées de Dieu. Si elles sont des pensées de Dieu, ce ne sont pas des substances ; et si elles sont des substances, ce ne sont pas des pensées de Dieu. La substance et le mode sont des choses incompatibles et inconciliables ^ » Est-ce que vraiment dans la langue de Platon et d'Aristole ce mot d'o'jaioc nous oblige ainsi à ne songer qu'à la substance, au substratum, — par opposition au mode, à la qualité formelle? Mais chez Aristote d'abord, chez celui qui risque de nous conduire le plus loin dans l'interprétation des idées-substances, si ce terme désigne en effet assez souvent ce qui est à proprement parler le substratum, rà uTroxeep-evov, il désigne aussi la forme que reçoit le sujet. Aristote nous en avertit lui-même très clairement dans ce livre de sa métaphysique où il veut fixer avec précision son langage philosophique^; c\ il reste ordinairement fidèle à la double signification qu'il a déterminée : c'est