Livre I, ch. ii, p. gi

PYTHAGÔRISME 32 3

Ou bien ils sont liés à Taide de deux moyens B, C, et Ton a alors :^=i-Y;r. Platon dit que si les termes extrêmes étaient des plans, unseul moyen terme suffirait, tandis que pour des solides il en faut nécessairement deux . Or les mots mêmes eTrtTre^oc, arepeâc, employés ici sont précisément les épithètes qui caractérisent certaines catégories de nombres dans Tari thmé tique des Grecs. Cette circonstance que le récit du Timée est mis dans la bouche d'un Pythagoricien peut faire penser, ainsi que la remarque en a déjà été faite, que ces dénominations remontent à Técole italique : en tous cas elles se trouvent clairement expUquées dans Euclide (L. VII, déf. 17 et 18) : « Quand deux nombres se multipliant font un nombre, celui qui est produit se nomme plan. — Quand trois nombres se multipliant entre eux font un nombre, celui qui est produit se nomme solide, y>

Quel rapport y a-t-il entre ces notions arithmétiques et les éléments des corps sensibles ? C'est fort simple: On peut dire d'un corps solide, quelle qu'en soit la forme, qu'il s'étend suivant toutes les dimensions de l'espace, c'est-à-dire suivant trois dimensions, tandis qu'une surface plane n'en présente que deux, et qu'une droite n'en a qu'une. Ce n'est pas que la figure d'un solide quelconque, de l'icosaèdre, par exemple, offre en évidence trois longueurs qui soient ses dimensions, et qu'il suffise de mesurer pour avoir ensuite le volume

par la multiplication de trois nombres ; mais il est permis de remplacer n'importe quel corps par un solide de même volume, dont la forme idéalement simple soit caractérisée par Jrpis dimensions extérieures, et dont la mesure soit le produit de ces trois longueurs : nous voulons parler du parallélépipède rectangle équivalent au solide considéré. Par cet intermédiaire, on peut bien faire correspondre un produit de trois nombres à un volume quel qu'il soit, comme on peut faire correspondre un produit de deux dimensions à toute surface, par Tintermédiaire du rectangle équivalent. Ajoutons encore qu'il est très naturel de voir Platon admettre, sans se justifier, que les facteurs composants, les côtés des nombres plans ou solides, comme dira Euclide, soient des nombres premiers, quand il s'agit de remonter aux éléments primordiaux dont sont constitués les corps ; de sorte que nous pouvons passer sans trop de peine, avec Platon, des surfaces et des solides aux nombres aritbmétiques formés par la multiplication de deux ou de trois nombres premiers. Et enfin il sera permis de supposer égales pour chaque surface, ou pour chaque solide, les dimensions qui sont mesurées par des nombres premiers, toutes les fois que ce sera commode. Plus l'hypothèse est simple, plus elle a de chances de correspondre à la réalité ; or un carré pour une surface, un cube pour un volume, réaliseront évidemment le maximum de simplicité.

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Toutes ces concessions faites , transportons-nous franchement dans le domaine de l'arithmétique pure. Soient deux nombres plans aXa et 6 X 6 ; on peut en faire les termes extrêmes d'une proportion dont axb soit le moyen, car le carré de ce dernier, nombre est égal au produit des deux premiers. Mais soient maintenant les deux nombres solides aXciXa eibxbxb; il n'existe aucun nombre solide qui soit moyen proportionnel entre eux : cela résulte très simplement de ce que leur produit a^ X b^ n'est pas le carré d'un nombre entier (si, bien entendu, on suppose a et 6 distincts, ce qui est assez naturel puisque l'une de ces dimensions appartiendra à la terre et l'autre au feu). Il faut donc deux moyens termes pour former la proportion, et l'on voit sans difficulté que aXaXb et aXbxb répondent à la question \

Ainsi le lien le meilleur, la proportion, ne peut unir les solides extrêmes feu et terre, pour la beauté, l'unité, la stabilité de l'univers, que si l'on admet l'existence de deux autres solides formant les moyens termes. Et voilà pourquoi il y a dans le monde de l'air et de l'eau.

Cette page est certainement une de celles où se mar-

I. U n'est même pas nécessaire ici de supposer égaux les côtés de chaque nombre solide. Entre les nombres aXa'Xa" et ^X^'X^". on ne pourrait insérer un seul moyen proportionnel, mats on peut tou> jours en insérer deux, obtenus en groupant dans deux produits les six facteurs qui composent les deux nombres .

quent le plus fortement les tendances pythagoriciennes de l'esprit de Platon. Les nombres et les corps sont si peu distingués les uns des autres qu'on a quelque peine à saisir exactement, dans la suite des idées qui constitue le raisonnement du Timée, les instants précis où Ton passe des choses concrètes aux propriétés abstraites des nombres, ou inversement de celles-ci à celles-là. La démonstration ne vaut que s'il y a plus qu'une correspondance des unes aux autres, et si Ton consent à supprimer entre elles toute hgne de démarcation : bref le passage n'est compréhensible que si les corps sont des nombres.

Platon en arrive donc à parler comme Pythagore. Serait-ce là pourtant qu'aboutit le mathématisme de l'Académie, et les progrès de la science et de la philos©phie n'auraient-ils eu d'autre effet que de nous ramener à l'école italique .►^ Qu'on se garde de le croire. Le nombre qui vient ici mettre un certain ordre et quelque harmonie dans les choses visibles et tangibles, n'est toujours que le nombre discret, la pluralité discontinue, le lien le plus extérieur entre des parties grossièrement distinctes les unes des autres : la physique est incapable, par sa nature, de soulever les problèmes de la science la plus élevée. Pour que l'œuvre philosophique s'accomplisse il faut que l'on essaie de pénétrer jusqu'au monde des idées et de les montrer enveloppées ellesmêmes dans la véritable essence du nombre.