Met., A, 9, 992 a

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dégage pourtant avec clarté. Le point n'est plus aux yeux de Platon un élément de la ligne, ce n'est plus un (jToiyîiov, c'est une xp//y. Le mot (szotyeïov ne figure pas ici, il est vrai, mais l'expression même d' evuTuapÇoudt*, et l'opposition de V if/jn à ce genre (touto) tô ysvet) le désignent suffisamment. Or si nous nous reportons aux caractères essentiels du <rcoiyshv et de 1' ifyYj tels qu'Aristote les expose dans le IV" livre de la Métaphysique, nous remarquons que le premier est en somme une partie de la chose dont il est élément constitutif, indivisible ou divisible en éléments homogènes (iXki Y/h Staiperrat, xà yLOftot oiioziSrj^ oXov \jSxzo<; to p.optov 'jJwp...), tandis que rip/ji est quelque chose d'hétérogène par rapport à ce dont elle est le principe, soit qu'on y voie la limite, commencement ou fin, soit qu'on y voie un principe générateur et dynamique. La conception du point contre laquelle s'élève Platon, c'est donc cette vue naïve du point comme fi:agmenl de ligne, ou de la ligne comme somme de morceaux juxtaposés. S'il pouvait y voir comme un écho du langage des géomètres, c'est qu'à chaque instant ceux-ci parlent des points comme de choses composant la ligne ; ils disent coTLiramment : prenons un point sur cette ligne, prenonsen un second, un troisième, — tous les points de celte

I. Dans la déHnition du aTO'/e?ov (Met., A, 3), Aristotc se sert du verbe evu»-ap/£'v dès les premiers mots. « jro'.yeîov Xc'yâTai âÇ ou auyxc'.Tai rrpojiou £VJ~apyovTo;... » «

ligne ont telle propriété, etc... Mais il se refusait à y voir autre chose qu'une façon de voir, une façon de parler, un Joy/xa; a ses yeux ce n'était point une vérité. La ligne n'est pas ainsi divisée en éléments homogènes, et, dans ce sens, elle est àrop-oç. On fait apparaître un point en la bornant, en la Hmitant. en lui donnant un commencement ou une fin (ce qui est le premier sens de ràp/>: d'Aristote, Met., A, i). Sans douté aussi Platon aurait reconnu le caractère générateur de ce principe, dont la ligne pourra être posée comme la trajectoire, ou sa nature potentielle, en ce sens qu'il est possible de faire naître sur une ligne autant de points qu'on veut, par des déterminations successives, qui donneront à la ligne une série de limites différentes. De toutes façons, le point n'est plus un élément homogène à la ligne. — 11 en serait évidemment de même de la ligne par rapport à la surface, et de la surface par rapport au solide. Aristotc adresse souvent aux partisans des idées le reproche de méconnaître dans leur application des idées aux choses mathématiques l'hétérogénéité évidente que présentent les volumes, les surfaces, les lignes, les points : « Comment la surface peut-elle contenir la ligne, dit-il dans celte même page de la Métaphysique à laquelle nous avons emprunté la citation précédente; comment le solide contient-il la ligne et la surface, puisque le large et l'étroit sont des genres différents, comme le sont éçaldment l'épais et le mince .^ » — -

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Par cette insistance Aristote nous aide à préciser l'attitude de Platon. Aux vues simplement additives des Pythagoriciens sur les êtres géométriques s'est substituée pour les savants de son temps une conception où les choses ne s'expliquent plus par le même, par l'homogène, mais par l'hétérogène, et oii le passage du môme à l'autre est devenu un processus normal de rintelligence.

Mais ce n'est là qu'un des aspects de la conception nouvelle des mathématiques au v® siècle. Plus généralement portons notre attention sur les idées de continuité et de limite désormais familières au géomètre qui a fondé sur elles la méthode d'exhaustion. Quand des propriétés d'un polygone régulier on passe à celles de la circonférence, comme, par exemple, cela avait été nécessaire a Hippocrate de Chios pour ses travaux sur les lunules, on a beau présenter des raisonnements rigoureux qui s'efforcent d'aller du même au même et de ne manier que des grandeurs homogènes, l'imagination ne peut complètement renoncer à ses droits; elle ne peut s'efiacer au point que nous perdions de vue la transformation d'une chose en une autre, absolument dificrente. Le nombre des côtés d'un polygone inscrit dans un cercle peut en effet croître indéfiniment, ces côtés peuvent ainsi devenir aussi petits qu'on voudra, jamais ils ne cesseront d'être des droites, et jamais la Hgnc qu'ils forment ne se confondra avec la

circonférence ; celle-ci est bien véritablement quelque chose d^hétérogène au polygone. Or le géomètre s'est habitué a passer de l'un à l'autre par continuité : la circonférence lui apparaît comme la limite du polygone, et, par un processus nouveau, il se trouve en réalité avoir fait naître la ligne circulaire de la ligne droite. La méthode est d'ailleurs si naturelle et si efficace qu'elle va s'étendre à une infinité de problèmes. Quelque chose de dynamique est définitivement entré dans les concepts mathématiques avec le continu et la limite, quelque chose qui échappe aux constructions claires de l'intuition. Quelque soit l'arrangement qu'il propose après coup a la raison pour ne lui soumettre que des vues analytiques, le géomètre ne peut pas ne pas sentir que sa science est redevable de son extension et de SCS progrès à des conceptions synthétiques, qui, loin de répugner au rapprochement du même et de l'autre, s'accommodent au contraire d'un élément dynamique de génération et de transformation qualitative.

Enfin ce sont les mêmes remarques qui nous frappent si nous portons notre attention sur la marche progressive qu'a suivie le concept de quantité au temps de Platon. En s'exprimant avec les Pythagoriciens par le nombre entier, la quantité s'appliquait déjà très bien aux qualités concrètes des choses, et semblait se fondre merveilleusement en particulier avec les propriétés géométriques des corps. Certes il y avait dans cette

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union intime du nombre et de l'étendue plus qu'il ne fallait, semblait-il, pour mettre en évidence le caractère synthétique des premières notions delà géométrie. C'est ce que diront plus tard avec tant de force Kant et ses continuateurs. Mais du moins tant que n'intervenaient avec le nombre discontinu que des sommes d'éléments juxtaposés, on sentait nettement que le rôle de la quantité était essentiellement analytique; elle décomposait, elle explicitait, elle étalait distinctement les parties dont l'addition formait les choses. Son application à l'étendue pouvait apparaître bien moins comme une fusion synthétique que comme une dissociation, par laquelle toute synthèse s'évanouissait pour laisser place à une vue claire et précise des éléments qui la formaient. Au fond ce sera toujours là le rôle primordial de la quantité ; mais chaque fois qu'au contact de la qualité elle s'enrichira de quelque conception, outre qu'il faudra un temps plus ou moins long à la pensée mathématique pour renouer par une suite de propositions analytiques les nouvelles données aux anciennes, rimagination se refusera à rejeter toute trace matérielle des conquêtes dernières. Or c'est là précisément ce qui est advenu aux contemporains de Platon. Par l'acceptation définitive des incommensurables, ils s'étaient habitués à des vues quantitatives dont ne suffirait pas à rendre compte la comparaison de sommes d'éléments juxtaposés. De deux grandeurs incommensurables dont

cependant le géomètre affirme qu'il existe un rapport, il est impossible de composer la première avec des divisions de la seconde. Il y a bien encore entre elles homogénéité de nature, en ce sens que ce sont deux longueurs, deux volumes, deux surfaces, etc., mais il n'y a plus identité de composition quantitative. En établissant quand môme un rapport déterminé entre les deux grandeurs, les géomètres ont décidément accepté de créer un lien entre le même et l'autre ; car cette idée de rapport implique évidemment une relation, une participation de l'un des deux termes à l'autre. Ainsi il est entendu désormais que la participation existe entre deux choses sans qu'il soit possible de voir la partie de l'une qui est dans l'autre, sans qu'elles cessent d'être irréductibles entre elles par leur composition. Il est entendu que la science la plus parfaite, la géométrie, réalise sa marche et ses merveilleux progrès en unissant par un lien déterminé, mais qui échappe à toute vue claire de l'imagination, deux états de grandeur hétérogènes.

C'est ainsi que Platon put être naturellement conduit à une tendance nouvelle (|ui devait lenlraîner, tout en lui laissant le sentiment qu'il atteignait de mieux en mieux la vérité, vers des préoccupations synthétiques : et nous comprenons que la pensée mathématique à elle seule aurait suffi pour l'éloigner de l'attitude purement logique, où l'esprit s'immobilise à'

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ne vouloir aller que du même au même, et pour l'amener à ne concevoir les Idées qu'à travers les relations qui les unissent.

Mais nous pouvons aller plus loin. Une fois entré dans cette voie nouvelle, Platon ne devait pas s'en tenir à des tendances vagues et générales. A défaut du traité du Bien, où se trouvait exposée par ses disciples une partie de son enseignement oral, les témoignages d'Aristote et quelques passages des dialogues interprétés à leur lumière, né peuvent guère laisser de doute sur la forme dernière que dut prendre la théorie des idées, en devenant celles des Idées-Nombres. Si elle s'explique comme suite du mouvement synthétique de sa pensée, et par là déjà se rattache à l'influence de la philosophie nouvelle, elle s'y rattache encore étroitement par la nature même du concept qui la domine, et qui dérive naturellement dcTextension de l'idée de nombre.

Nous avons vu déjà, en étudiant l'être de l'idée, que Platon en avait trouvé le type le phis saisissant dans l'idée mathématique, c'est-à-dire dans la définition, d'où le géomètre a de mieux en mieux retiré toute donnée sensible, et qui tend à se confondre avec une relation de plus en plus épurée de tout élément matériel. Nous avons lâché, en nous aidant particulièrement de la République et du Philèbe, de mettre en évidence un mouvement ascensionnel vers l'intelligible, que cherche à réaliser la science spéculative, — '

c'est-à-dire pour Platon la mathëmatique pure, — qui veut aboutir à un absolu d'où lui viendrait le fondement de sa réalité, et qui en tous cas marque pour le philosophe comme une étape non pas enlre le monde sensible et celui des idées, mais bien entre le monde sensible et le suprême absolu, l'idée du Bien. Cette étape qui conduit aux essences mathématiques ne diffère pas de celle qui mène aux idées : et rien ne s'oppose à ce que Tetrc des idées soit exactement de même nature que l'être des essences mathématiques: ou encore, si Ton veut, rien ne s'oppose a ce que les essences idéales du géomètre soient des idées, au sens véritablement platonicien du mot.

Mais alors une difficulté se présente : Faut-il exclure du monde des idées tout ce qui est une qualité.^ Le géomètre qui poursuit une définition intelligible élimine tout ce qui rappelle la forme concrète de la figure; et, si le progrès qu'il réalise dans celte épuration donne la mesure de sa pénétration dans le monde des idées, n'est-ce pas que celui-ci appartient exclusivement à des sortes de schémas logiques, à des cadres vides de matière i^ Si de pareilles conclusions devaient être définitives, elles seraient noire propre condamnation, car il est impossible de ne pas sentir, en lisant Platon, tout ce qu'il accorde aux idées de perfection qualitative. Mais précisément nous n'avions vu qu'un aspect de la théorie des idées, celui par lequel elleij

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s'éloignent du sensible, du matériel, celui par lequel s'affirme l'idéalisme platonicien. Il reste à dire que cette marche ascendante vers la relation intelligible, loin d'exclure la qualité, la réalise de mieux en mieux en lui donnant les caractères de précision, de stabilité, de rigueur, qui en font une qualité idéalement parfaite. Ce n'est pas la qualité sensible qui s'écoule et qui est insaisissable à l'esprit, c'est la qualité intelligible, inséparable de la quantité. Et si l'on hésite à comprendre dans la pensée de Platon cette union intime de la qualité et de la quantité, qvi'on se reporte au développement tout particulier qu'avait pris la géométrie au v** siècle.

D'une façon générale la conception nouvelle du continu de l'espace, en s'accommodant d'une pénétration de plus en plus profonde de la quantité, réalisait une synthèse étonnante où aucun des deux termes qu'allie tout naturellement la pensée du géomètre ne s'évanouit devant l'autre. L'intuition spatiale s'était enrichie d'une foule de formes nouvelles qui avaient transformé en la développant l'idée même de quantité, et réciproquement, par la notion du lieu géométrique, une infinité de lignes avaient pris naissance de la seule existence de relations quantitatives. La participation des formes spatiales à la quantité, que les Pythagoriciens avaient devinée plutôt qu'ils ne l'avaient comprise, et qu'en tous cas ils interprétaient si naïvement

35o LES PHILOSOPHES- GÉOMÈTRES DE LA GRÈCE

en projetant le nombre discret dans Tétendue continue, cette participation pouvait donc prendre désormais pour Platon un sens autrement profond. Non seulement la quantité ne risquait pas d'entrer en conflit avec le continu de l'intuition sensible, mais elle recevait de lui l'extension la plus féconde. Ce n'est pas raritliméticien, celui qui forme le nombre par l'addition des unités, c'est le géomètre, pour lequel toute figure exprime à sa façon des rapports quantitatifs, qui seul est capable de saisir toute la signification du nombre. Ainsi les qualités de forme, de figure, de continuité, celles qui se traduiront pour telle ligne par ce fait concret, ce fait interne, dynamique, qu'elle peut donner lieu à telle construction, cet ensemble de qualités qui touchent à des considérations d'ordre synthétique, en ce sens qu'elles échappent a une vue purement analytique comme celle de l'arithméticien, loin d'exclure le nombre, ou de ne l'admettre qu'en se dissolvant elles-mêmes, comme le supposait l'école de Pythagorc, semblent être au contraire les conditions les plus favorables à l'épanouissement complet de la quantité. Celle-ci reçoit désormais un sens assez large pour que le nombre entier n'en soit qu'un cas étrangement particulier. A ce premier degré, la quantité est le total d'unités identiques, formant le nombre par simple collection, juxtaposition ou répétition. La fraction est déjà le nombre d'uiK? grandeur qui ne résulte plus de

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la répétition de Tunité primitivement choisie : et c'est pour la quantité un premier bénéfice dû à la qualité spécifique de la grandeur, que de revêtir déjà une forme différant du nombre entier, et exigeant le choix d'une unité particulière. Mais au fond le nombre continue à exprimer le total, la somme d'éléments identiques juxtaposés. Il n'en est plus de même, nous y avons insisté, quand apparaît le nombre de la grandeur incommensurable. La notion du rapport de deux grandeurs, qui était au fond dans le nombre d'une grandeur (celui-ci étant le rapport de cette grandeur à une autre choisie pom' unité), prend une signification assez générale pour ne plus même exiger que l'une des grandeurs soit composée par la répétition d'une fraction de Tautre. Quelle que soit leur composition, le géomètre a posé a priori l'existence d'un rapport de l'une à l'autre, d'un mode de participation, qui risque de ne pouvoir s'expliciter, s'étaler au regard de l'imagination. Et voilà déjà la quantité devenue une sorte de dépendance réciproque de deux choses, qui non seulement ne sont pas identiques, mais qui sont en un sens irréductibles l'une à l'autre. Elle garde ses qualités de précision, de rigueur, mais elle est autre chose qu'un tout, dont il suffirait d'énumérer les parties pour le faire connaître. Elle est devenue un lien, un mode de relation, de détermination réciproque, une fonction des éléments qu'elle unit. Fonctions encore, modes de

participation échappant à toute représentation additive, les rapports quantitatifs que multiplie la géométrie générale des courbes, et par lesquels se traduisent leurs propriétés fondamentales. La quantité, parvenue à ce degré, peut bien d'ailleurs continuer à s'appeler le nombre, puisque celui-ci réalisait la fonction la plus simple, le cas le plus élémentaire de participation, celui qui marquait la simple dépendance du tout à l'égard des parties. Seulement le nombre désormais aura un sens assez élevé pour qu'on n'aperçoive pas de limite a la complication et à l'hétérogénéité des éléments dont il fixe le mode de dépendance.

Mais alors il existait pour Platon un domaine tout prêt à s'y adapter, le monde des Idées. >i 'avons-nous pas dil en effet que les Idées se pénètrent, qu'elles se mélangent, qu'elles participent nécessairement les unes des autres.^ Il suffit de vouloir que ces mélanges, ces pénétrations, ces dépendances réciproques se prêtent à une rigoureuse précision, à une détermination scientifique — (et comment n'en serait-il pas ainsi dans le domaine propre de la science, dans ce qui est le plus véritablement?) — pour songer à la fonction, au nombre de chaque idée, par rapport à celles dont elle dépend.

N'est-ce pas là déjà le souci qui guidait Platon quand il cherchait la définition exacte de la justice, et qu'il se préoccupait des parties de la vertu?

SYNTHÉTISME 353

Les quatre premiers livres de la République aboutissent à cette conclusion que la justice se définit à Faide de trois vertus ; tempérance, courage, prudence. Mais elle n'est pas leur somme ; ce n'est pas le tout dont elles seraient les parties composantes. Il se mêle ici, nous l'avons déjà vu, des considérations d'harmonie, et Platon veut que la justice soit comme le principe qui établit l'accord parfait entre les trois parties désignées. En tous cas la justice apparaît comme une sorte de fonction des éléments qu'elle unit. — Plus généralement, on sait avec quelle insistance Platon pose la question de savoir si telles vertus particulières, justice, tempérance, etc., sont les parties d'une même vertu. Dans le Prof agoras déjà ne donne-t-il pas l'impression qu'à ses yeux la difficulté de la question résulte de ce qu'on essaie de voir les vertus s'ajoutant et formant un tout comme des éléments identiques juxtaposés.^ Le Politique y revient et rappelle que les prétendues parties de la vertu sont si peu identiques qu'elles sont opposées les unes aux autres et qu'il ne faut rien moins que le « tissage royal » pour en former le tissu qui soit vraiment la vertu. Et enfin, au livre XII des Lois, il est question de savoir ce qui justifie l'unité de la vertu, formée de quatre espèces, courage, tempérance, prudence et justice, c'est-à-dire au fond de déterminer exactement le principe de dépendance de ces quatre idées, qui les rattache à une idée unique. Et, après avoir G. MiLHAUD. — Philosophes- Géomètres. aS

dit qoll e^t néo^Haire de mondir ce poMeai e- Vi^Um T^nsm:pe qa'H en e$l de metne do facm et do bon... : « e^-ee a.^^ez que nos gardes connaisâent que ctiacisne de ce* choèe* e«f pla*iear*? — Ne &ot-fl pas de phtiii qo'ik ^chent camment et par où elles sont urie*? j>

Arec le Parménide et le Sophiste le problème de Tun et du multiple a été définitirement écarté de toute conception extensive et additire, et le dernier mot a élé cette conclusion de Platon que chaque idée parlicifM; à la foi.s de Tétre et du non-etre, du même et de Fautre. Le Philèbe nous fait (aire un pas de plus, les idéoM u ik>nt composées d'un et de plusieurs et réunismul en elles, par leur nature, le fini et l'infini ». A la participation nécessaire au tissa, que forment inévilahlcmcrit les idées, s'ajoute la détermination rigoureuse cl (juantitative. Entre Fun et l'infini du non-étre, de Taulre, du variable, il faut pouvoir fixer une limite précise qui arrête la variation, l'écoulement, et montre dans Fidéc telle fonction de telles autres. Platon, pour é(îlaircir sa pensée, emprunte des comparaisons à la grarrimuirc et à la musique. « La voix qui nous sort de la houcîho est une et en même temps infinie en nombre pour tous et pour chacun... Nous ne sommes point (îîKîorc savants par l'un ni par Tautre de ces points, ni