PES CORRESPONDANCES LOGIQUES

Considérons une correspondance et un certain nombre de ses couples connus, quatre par exemple :

a^ et son correspondant 6, «. - - à,

Et supposons que l'on ait déterminé (la niathéinatique enseigne à le faire) une certaine propriété commune à tous ces couples, c'est-à-dire qi^e l'on ait déterminé une certaine relation existant aussi bien entre les deux termes (a^, bj du premier couple qu'entre les deux termes (a^, b,) du deuxième couple, etc., qu'entre les deux termes du dernier couple connu. [Cette relation commune sera, par exemple, que le premier terme de chaque couple est le tiers de son correspondant; ou encore, qu'il est la racine carrée de son correspondant;

9 Sorel. — I.

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ou encore, qu'il est égal à sou correspondant augmenté d'une certaine quantité invariable, etc. Cette relation pourra encore être une combinaison déterminée de relations plus simples.]

Cette relation étant donnée pour les couples connus, la question suivante se pose naturellement : « Cette relation existe-t-elle aussi pour les couples incomius ? »

— On sent toute l'importance de cette question : si, en ellet, la relation persiste, il n'est plus nécessaire, pour connaître un couple inconnu — c'est-à-dire pour connaître le nombre inconnu qui correspond dans l'un des ensembles à un nombre donné dans l'autre ensemble,

— il n'est plus nécessaire de déterminer expérimentalement ce nombre inconnu ; il suffît de déterminer mathématiquement, sans quitter sa table de travail, un nombre entretenant avec le nombre donné la relation donnée : si, par exemple, entre le temps depuis lequel un corps est abandonné du haut d'un édifice et l'espace parcouru par ce corps il persiste cette relation, à savoir que l'espace est égal au carré du temps multiplié par un certain nombre invariable (qui est la moitié de l'accélération due à la pesanteur, 9,8088), si, cette relation persiste, il ne sera plus nécessaire, pour savoir quel espace correspond au temps 3 par exemple, de déterminer expérimentalement cet espace (opération difficile en raison de la rapidité de la chute du corps) ; il suffira de déterminer mathématiquement un nombre tel qu'il soit égal au Carré de 3 multiplié par la moitié de 9,8088; si (autre exemple) entre la température d'une barre métallique et sa longueur correspondante il persiste cette relation, à savoir que la longueur est égale à la température multipliée par un nombre invariable (qui

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est le « coefficient de dilatation » du métal considéré, soit -'- ) et au<?nientL'e d'un autre nombre invariable (qui est la long-ueur de la barre à o°, soit i mètre), si cette relation persiste, il ne sera plus nécessaire, pour savoir quelle température correspond à la longueur de i™,o4 par exemple, de déterminer expérimentalement cette température (opération longue, coûteuse, sujette à erreurs et à recommencements); il suffira de déterminer mathématiquement (à coup sûr) un nombre tel que si on le multiplie par ~ et qu'on ajoute à ce produit le nombre i on trouve le nombre 1,04. — En un mot, si la relation existant pour les couples connus persiste pour les couples inconnus et seulement alors, voir n'est plus nécessaire pour savoir : prévoir est devenu possible.

On cherchera donc si la relation persiste. A cet elfet, on formera — expérimentalement encore — quelques couples inconnus, par exemple le couple (a^, b^), et l'on regardera si la relation existant entre a^ et b^, entre a, et b^, etc., entre a^ et b^, existe aussi entre a^ et b^. Ici deux suppositions sont possibles : i*' Supposons d'abord qu'on ait vérifié que la relation existe entre a^ et 65 et qu'on ait vérifié qu'elle existe pour un grand nombre d'autres couples, mille par exemple. On admettra alors qu'elle existe aussi pour les autres couples encore inconnus. [On le voit, la persistance d'une relation est une chose que l'on admet, elle est l'objet d'une hypothèse, d'une croyance (et non d'une connaissance), elle implique un acte de confiance, un acte de foi : que, justement dans les cas où on s'abstient de le vérifier, les espaces cessent d'être proportionnels aux carrés des temps, c'est une chose qu'on ne prouvera

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jamais, pas plus qu'on ne réfutera Berkeley déclarant que les choses cessent d'exister quand nous cessons de les percevoir; bannir ce doute et avoir foi, c'est précisément faire acte de science, la foi étant proprement ici, selon le mot de l'apôtre, « l'argument des choses invisibles et la substance (i) des choses espérées ». Et la persistance d'une relation est encore l'objet d'un préjugé, (2) plus exactement du préjugé de la coutume, puisque la seule raison qu'on ait de croire que la relation sera, c'est qu'elle a été. — Mais celte foi, comme le préjugé qui l'accompagne, est d'une nature particulière : elle est révocable : si ce qu'elle croyait \tsà vient à se montrer faux, elle s'évanouit instantanément; bien plus, elle se sait révocable : elle sait que ce qu'elle croit vrai peut cesser de l'être et que la durée d'une chose, si longue soit-elle, n'implique en rien sa nécessité.] (3)

(i) « Sub-stance » c'est mot à mot le grec « hypo-thèse » (ou « hypo-stase »).

(a) Voir, sur la nécessité des idées préconçues, Henri Poincaré (Science et Hypothèse, page 170).

(3) II s'agit ici du savant idéal. Le savant humain, lui, chérit Tobjet de sa foi, et, son hypothèse reconnue fausse, il n'y renonce qu'avec peine. Très exceptionnel est cet admirable langage de M. Poincaré (Science ef Hypothèse, page 179) : « Le physicien qui vient de renoncer à une de ses hypothèses devrait être plein de joie, car il vient de trouver une occasion inespérée de découverte. Si la vérification ne se fait pas, c'est qu'il y a quelque chose d'inattendu, d'extraordinaire; c'est qu'on va trouver de l'inconnu et du nouveau. » (Notons ici la profonde différence entre cet anarchisme, heureux du changement des catégories, et l'anarchisme de M. Bergson, heureux de leur absence. Voir une critique du bergsonisme par M. Poincaré, Valeur de la Science, page 216.) — Très exceptionnel aussi le savant qui s'avoue que la longue durée d'une relation n'implique pas sa nécessité; que, par exemple, cette vérité : « entre la masse d'un corps quelconque et son poids il y a proportionnalité » est d'un tout autre ordre que celle-ci : « entre un rayon d'un cercle et la tangente à l'extrémité de ce rayon il y a perpendicularité. » — Pourtant la diflférence est peu subtile. —

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2° Supposons maintenant que la relation n'existe pas entre a^ et b^. (Ou bien que, existant entre a, et h^ elle cesse d'exister pour un couple très proche (a^, b^) par exemple, qui remplacerait alors (a^, b^) dans le discours ci-après : ces deux cas sont identiques comme s'op-

Dans la seconde vérité, la propriété considérée (perpendicularité) est impliquée dans la définition des objets qu'elle affecte (rayon d'un cercle, tangente définie comme limite de sécante). Faire ressortir cette implicite, c'est le propre de la démonstration mathématique. (Test cette implicite que l'on entend par « nécessité des vérités mathématiques ». — Rien de pareil dans la première vérité. La masse étant jusqu'ici définie « le plus ou moins d'effort que réclame le corps pour acquérir un mouvement déterminé », et le poids « le plus ou moins d'attraction exercé sur lui pau le globe terrestre », on pourra retourner en tous sens et regarder jusqu'au fond la déiinitiou de ces objets sans y trouver inscrit que l'un soit proportionnel à l'autre. La propriété considérée (proportionnalité) apparaît donc ici comme posée extérieurement sur les objets qu'elle affecte. Il est donc raisonnable de considérer comme possible de rencontrer les objets sans la propriété, c'est-à-dire des corps tels qu'entre leur masse et leur poids il n'y ait pas proportionnalité. ((Vest la classique distinction de Kant entre les jugements analytiques et synthétiques, ou de Leibnitz entre les vérités d'identité et les vérités de fait, ou de Spinoza entre la cause immanente et la cause transitive.)

Citons, à ce propos, cette lumineuse page de M. de Freycinet (Sur les principes de la Mécanique rationnelle, page 26), auquel nous avons emprunté les définitions précédentes de la masse et du poids : « Qu'est-ce qui permettrait de supposer que la masse d'un corps est proportionnelle a son poids? Pourquoi un corps puissamment attiré ne serait-il pas en même temps très facile a mouvoir? Pareille opposition ne se rencontre- t-elle pas dans d'autres circonstances ? Par exemple, les corps les plus lourds sont, en général, les plus échauffables. De même le fer. plus léger que le platine, est beaucoup plus attiré que lui par un aimant. La cdhésion, l'attinité chimique, au lieu d'être en raison des masses, varient énormément avec la nature des substances. Seul, le phénomène de la gravitation s'est montré en exacte concordance avec la masse, et il y avait, semble-t-il, des milliers de chances pour qu'une pareille concordance ne se vérifiât pas. Il faut toutç l'habitude que nous en avons prise, soit par la connaissance des lois de l'Astronomie, soit par le maniement journalier des corps, pour que nous l'enregistrions sans un sentiment de surprise et d'admiration. »

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posant au premier.) On cherchera alors et on trouvera (nous avons tiit que la mathématique enseigne à le faire) une nouvelle relation telle qu'elle existe à la fois entre a^ et b^, a, et ft,, etc., et entre les deux termes du couple réfractaire, disons entre a, et b^. On cherchera alors si cette nouvelle relation n'existe pas aussi entre a^ et b^. Supposons qu'elle n'existe pas. On changera encore cette nouvelle relation en une autre qui existe à la fois entre a^ et ^>„ a, et 6„ etc., a^ et 6,; et l'on cherchera si cette nouvelle relation n'existe pas aussi entre a. et 6,... Et alors, de deux choses l'une : ou bien, après un certain nombre d'essais, on trouvera une relation valable pour un grand nombre de couples et autorisant à croire à sa persistance, ou bien on ne trouvera jamais une telle relation.

D'où la distinction suivante entre les correspondances : Etant donné une correspondance, il est ou il n'est pas possible de croire à une relation persistante (loi) à travers ses couples, (i) Dans le premier cas, nous dirons que la correspondance .est logique (capable d'une loi) ; dans le second, qu'elle est illogique ou empirique ou fortuite (capable de hasard).

Reconnaître les correspondances logiques et en expliciter les lois, c'est tout l'objet de la physique mathématique. La forme seule de ces lois, dira même

(i) Je dis « à travers » et non « entre ». L'expression de M. Poincaré (Valeur de la Science, page i:4) : « une loi est une relation constante entre le phénomène d'aujourd'hui et celui de demain », peut pqpter au malentendu : En effet, ce n'est pas entre deux phénomènes qu'a lieu la relation, c'est entre deux éléments de chacun d'eux (entre le temps d'aujourd'hui, par exemple, et l'espace d'aujourd'hui); ce qui a lieu entre les deux phénomènes, c'est la constance de la relation.

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M.Poincaré, importe ; peu importe l'idée qu'on se fait, suivant les époques, des clioses entre lesquelles elles ont lieu, (i)

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