Chapitre de vérifier

Donc complet, parfait

ou bien Donc, fiis Ja somme.

10 3 1 1 ensemble (15)

Autrement -f n* ^oilà raccroissement.

Si nous laissons de côté cette dernière sous-colonne qui parait ne contenir qu*une répétition oiseuse (les autres problèmes n'ont rien qui y réponde), l'opération est des plus faciles à suivre.

* J'expliquerai pins tard poarqttoî je crois devoir tnHkiHe Y i ki'J par « lui-même >.

* Je laisse ici indécise la tradaction da mot yhom : i^auteur peut Tooloir dire , ou qu*il faut «faire la eoMnIe» de la quantité proposée et de son compiément, ou que cette somme laite, elle est scosK fdète, parfaite, voUendett» B ne faudrait pas trop se ppéoecsper, dans œ dernier cas, de trouver la coadosion a.«ant TofiénUioD. Nous verrons plusieurs fois par la suite Aabmesu, (fui mefmiêait ffme C9pi€ri transposer ainsi des lignes, des calculs întermédîatBes, etc.

Aux fractions données 7 et ^ sont substitués les nombres entiers 10 et 1 pris sur le nwkhraj, le u bloc extractif )) 15. Leur somme alors fait 11 , et il manque4 pour parfaire le bloc. Ces & unités manquantes, Aahmesu les cbercbe en a faisant croître » convenablement le bloc 1 5. Un opérateur, je ne dis pas moderne, mais plus moderne, n*eût pas manqué (quon me permette un instant de désigner le n bloc extractif» par B), puisque ^6= i, d opérer comme ceci :

lÔ

rS 10 5Ô

lÔ^Ô 16

et il eût trouvé ainsi que les h unités manquantes sont (t + n) 8' lorsqu'il «agit d atteindre B; donc, si B est pris pour unité, le complément cherché

est , j^.

Aahmesu n*opère point ainsi, quoiqu'il sache fort bien que ^ de sOn blôc soit 1 : il en donne la preuve deux lignes plus loin. Il cherche d abord à donner à sa quantité le plus grand accroissement possible; et pour cela, après avoir peut-être essayé des -f, de -J-, de y, de Y» il arrive à -f ; le détour qu'il prend pour calctder cette dernière fraction est fort curieux. Il sait multiplier un nombre par 10, par 100, etc. (il s'en rencontre de fréquents exemples dans le papyrus), parce qu'il suffit pour cda, en hiéro^yphes.

de changer simplement la figure des unités sans changer leur nombre; il sait, par exemple, que

sera décuplé si Ton écrit tout simplement

n::nnn

et centuplé si l'on écrit

IIÎÎÎÎV

de même aussi, il sait le diviser par lo, toutes les fois qu'il ne renferme qu'un nombre rond de dizaines ou qu'il se termine par un 5. En effet, on a remarqué de très bonne heure ^ que si le chiffre 5 vaut cinq

^ Cette observation avait été faite par les gens qui se servaient, pour leurs calculs, du procédé quon appelait, au XTI* siède, super lineas et per projectiles, procédé que je crois avoir été employé pa^ les Grecs et avoir constitué leur 4^o^p^- Voici, par exemple, la rè^e de la multiplication telle que la donne Michel Stifel , cité par M. Treudein dans son Mémoire intitulé Dos Rechnen im 16. Jahrhundert : c So oft du nu einen Rechenpfenning aufhebst von der lini t die du greyfst/so oft mustu dein geschriebne zal gantz hinûber c legen gegen deinem finger das ist eben auff die lini die du greifst. «So ofl du aber einen Rechenpfenning aufhebst von spacio vnder « der linie die du greifst / so oft mustu dein geschribne zal nur halb « hinûberlegen. > «Toutes les fois que tu enlèveras un jeton sur la ligne que tu touches (de findex de la main gauche : ce jeton est un de ceux du multiplicateur], il te faudra ajouter tout entier ton nombre écrit (c*est le multiplicateur que Ton écrivait en dehors dû champ où s^effectuait le calcul] en face de ton doigt sur la ligne que tu touches (en le posant dans la seconde partie du champ, dans le second Banckir, comme Tauteur Ta expliqué quelques lignes plus haut que notre extrait)* Et toutes les fois que tu enlèveras un jeton dans rintervalle au-'dessous de la ligne (place où les jetons en valent

unités, il est aussi la moitié de lo. Dès lors, tout nombre terminé par cinq mutés est considéré comme composé de dizaines et d'une demi-dizaine, et on le divisera par i o en l'écrivant en unités et une dend-anité.

Voilà pourquoi Âahmesu écrit ~ 1 5 = i y, puis, multipliant par 2, (^c=i.) i5 = 3, c'est alors seulement qu'il dit ^ 1 5 «= 1 .

Ensemble . (-J- + A) 1 5 =« 4.

C'est donc (y + ^jB qui font U lorsqu'il s'agit de compléter B= i5; ce seront donc -g- ^ de 1 qui feront 1 quand on les ajoutera au nombre proposé : c'est ce nombre proposé qu'il appelle JJ ft sa face , lui-même ».

Vient ensuite la vérification , qui manque rarement à la fin de la solution d'un problème; les deux firactions proposées -f ^ et leur complément -J- ji sont écrites par ordre de grandeur, évaluées en parties du bloc i5, et comme la somme de ces parties fait i5 (qui n'est pas écrit, mais se devine de luimême), Âabmesu conclut que la somme des fractions fait 1 .

Telle est, au complet, la solution égyptienne du problème : les deux autres exemples vont nous reproduire, la même méthode, mais un peu abrégée dans le suivant, tronquée par défaut de place dans le dernier, celui que, malheureusement, M. Gantor a cité seul.

cinq de Tordre inférieur), il te faudra ajouter seulement la moitié du nombre écrit (du multiplicande).»

I * A "Tt p nnnA*l Gomi^ète, vois,f ^ i i.

nn I

ao 1.

Total [ai], il manque 9.

Fais croître le nombre 3o pour trouver 9.

■^» n II m A X X 1 "^.^

Donc f à pov accToiaseinent de lui.

Donc complet, parfait,

ou bien Donc, ajoute.

3 5 10 5o 20 6 3 1 ensemble [30]

Je n!ai rien de partiaaiier è dire ici, «i ii^ ue$t que le mokhraj choisi est 3o; puis, que pour avoîr ^3o = 6, l'auteur passe encore par Tintermédiairc obligé pour lui , ^ 3o «^ 3.

Voici maintenant 1 exemple maladroitement choisi par M. Gantor :

11 5 4 1 1 Complète à f.

m mnt

Donc 7 ^ en accroissement de lui fait <§-.

Si nous rapprochons ce problème des précédents, nous voyons qu'il manque, entre i^énoncé et la conclusion:

i"" La somme des parties du bloc extractif â5, savoir :

"l 5ii 4i li 1 ensemble 23^ i i

2® La mise en évidence de ce qui manque à cette somme pour attendre le Uoc 65, soit

i ^ ou ^' ' ' nÎi Manquant 6 j.

3"* La phrase .sacranaenlale «fais croître le nombre 45 pour trouver 6--»; et le calcul y amenant, qui, suivant les modèles d*Âahmesu, serait certainement

Et c est ici seulement que devrait venir se placer la conclusion : «Donc - ^, en accroissement de lui, fait y. »

Le motif qui a conduit le copiste à supprimer tous ces intermédiaires se voit facilement sur loriginal hiératique : il était évidemment préoccupé de ne pas sortir de son second compartiment, voulant sans doute réserver le reste de la colonne pour transcrire d autres calculs; c'est aussi ce qui lui a feit remonter sa preuve le plus haut possible , au point qu'elle empiète sur l'espace occupé déjà en partie par le problème n** a 2 ^dont la preuve n'est pas faite, du reste).

Voici, par contre, la preuve du n"" a3 à laquelle il manque, toujours pour économiser la place, l'entête que nous lisons au n"* tit i (&} : « Chapitre de la preuve ».

^ li n*y a iJ>solament rien dans ce caiciil qui ne soit cidqué sur des exemples fouraîs par le papyras li^i-méme : la transformalioii que je fais ici, en vertu de laqudle dès quW sait que i>B=:p on écrit ~ B = n^ est un de ces artifices de calcul que Tauteur égyptien emploie à chaque instant

4 8 9 lo 3o 4o 45 3

11 5 S 4 1 1 1 15 font [46]