II

On remarquera ici que les fractions de l*énoncé et celles de Ta accroissement » ou du complément sont rangées par ordre de* grandeur; puis vient •placé hors rangs , en vedette , et mis là tout simple* ment pour qu'en {ajoutant à Tensemble des autres filetions qui, d'après Ténoncé, doivent faire -f-, on obtienne i, soit, pour la somme des substituts, le bloc entier 45 ^ M. Cantor a donc tort de dire que «le complément tout entier est -5--J-^)). Le complément se rapportant an problème est, comme nous le dit la conclusion d'Aahmesu , -j^ n ♦ ^^ fraction y n intervient que dans la preuve.

Voilà, restitués dans toute leur sincérité et sous leur physionomie vraiment égyptienne et archaïque , les problèmes de la deuxième partie du chapitre du Seghom. Et si maintenant le lecteur veut bien revenir à la p. 2 20 et relire la façon dont M. Cantor explique le problème 23, il reconnaîtra pourquoi j'ai jugé nécessaire d'écrire ces pages. C'est que l'exposé du savant professeur d'Heidelberg n'est nuUe-

^ J'ai rétabli , dans ma transcription , .<«>^ en face des fractions : c*est évidemment par erreur que Aahmesu Ta écrit en face des substituts en rouge; il faudrait là, comme je fai mis entre crochets, en prenant modèle sur d'autres preuves, le nombre 45 égdement en rouge.

J. As. Extrait n*8. (i88i.) 4

ment dans l'esprit du calculateur égyptien : c'est que

Talgorithme «7^1 cest que la déccmiposition de

cette fraction en 777 H — rr = - 7^ est beaucoup trop

45 a5 9 ao r r

moderne et nullement dans les habitudes de Tauteur de notre papyrus. Quant à la question de savoir si c*est bien rédlement un complément par addition que Âahmesu a eu l'intention d'enseigner à trouver, je me bomeirai à dire ici que je ne crois pas que telle sdt été son idée : je ne puis en donner, pour le moment, la démonstration; elle ressortira des remarques que j'aurai à faire dans l'étude du chapitre suivant et des calculs qui y sont pratiqués.

Reste maintenant à examiner les dix-^ept premiers calculs du présent chapitre, et à faire voir que M. Cantor a été encore plus malheureux dans l'interprétation qu'il en a donnée.

Je vais les étudier successivement en ne transcrivant que ce qui sera indispensable, car ces calculs sont si simples que le lecteup le moins égyptotogue pourra suivre aisément sur le fac-similé ci-joiiit.

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ensemble ^

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52 )» ci"

Ce qui frappe ici au premier coup dœil, c'est labsence de toute explication. Pas d*âioncé, pas d'indication des données ni du nombre à obtenir; aucune conclusion tirée de la somme 8 des équivalents des deux fractions; pas de mise en évidence du i ^ «manquant)), comme au n"* a i, ou de la ^^ ((différence)) comme au n"* 22; enfin pas de conclusion, ((donc tel est Faccroissement [ûah) à lui donner. )) Ce que nous avons là sous les yeux démontre simplement que si à -f n ^^ ajoute sa moitié et son quart, on obtient -J-.

Même absence de renseignements au n° 8 (je le coupe en deux colonnes pour prendre moins de place) :

4 ^ la

.- i ensemble - 3 9

Puis, dans les n** 9 , 7 **', 10, 11, i a , 1 3 , 1 4 , i5, répétition de la même opération consistant à ajouter ensemble une quantité donnée, sa moitié et son quart; seulement :

Au n® 9 , on part de -f n (^ f^^* ^^^^ ^^^î ^^ ïî^^ de ^), c'est-à-dire du double du point de départ du n"* 7, et Ion arrive à 1, double de -f , résultat dudit

Au n"* 7*", répétition identique du n*^ 7.

Au n^ lo, même point de départ; mais comme -J- ~ est l'équivalent de y, on en profite pour dire que sa moitié est -f et son quart ^ (écrit par erreur Y : cette faute est répétée plusieurs fois), et l'on arrive encore à y poiu* résultat.

Au n° 11, on part de - (le point indicatif de la fraction est oublié), moitié de ~ ~, et ion arrive à ~, moitié de ~.

Au n° 1 2 , le point de départ est ji (écrit à côté du nombre erroné g ou y, faute déjà signalée, et qui se retrouve dans févaluation de la moitié au numéro précédent), quart de y, et Ton obtient -J-, quart de -j.

Au n° i3 (analysé par M. Cantor à sa manière, voir p. 2 2o), partant de ^ jj5, quart de -J- ^, on trouve y, quart de y.

Au n° 1 â , partant de ~ (il faut lire ainsi au lieu de ^ pour la justesse du calcul), haitièm£ de j-, le résultat quon obtient est ^, huitième de -f, résultat du calcul appliqué à -f .

Enfin au n"" 1 5 , on part de ^ ^ (lire ainsi au lieu de ^g), huitième cfe -J- ^, et Ion obtient ^, hvdtième def

De leur côté, les n~ i6, 17, 18, 19, 20 appliquent à une quantité la somme d'elle-même , de ses y et de son y , c'est-à-dire la doublent y car Aabmesu n'ignore pas que y4-y= 1. C'est l'opération effectuée au n® 8 seulement.

Dans ce rf 8 on avait opéré sur y et obtenu pour résultat y.

Ain n° 1 6 , on opère sur •f, double de y, et Ion obtient 1 , double de ^

Au n** 1 y, on opère sur -f, deux tiers de -J-, et Ton obtient -j-, deiu; iî^ns de i .

Au n° i8, on opère sur -J-, moKÏi^ du précédent ou tiers de y» et l'on arrive à 4^, moitié du précédent résultat ou tiers de celui fourni par -f .

Au n* 19, on part de ^, moiiiV du précédent, sixième de y, te'^rs de -f, et Ion obtient -J-, ttioi^i^ du précédent résultat , sixième de cel^ii du n^ 16, tien de celui du n** ^.

Eiifin au n" 20, iè point de déps^t est ^, le résultat ^, et le lecteur trouvera sans peine le rapport de la donnée et du résultat avec les quantités homologues des autres problèmes.

Navais-je pas raison de dire que Texposé de M. Cantor donnait de ces 'calculs une idée absôlu*ment inexacte? Pas phis au n^ i3 qu'à son ^prototype le n" 7, il n*est dit qu'on se propose d'amener -J- ^ (=-|-) à valoir 4-. Ce n est pas parce que 1 1 a *= 7. 1 6 qu on prend pour bloc extractif a 8 , mais parce que ce bloc, choisi au n° 7, pouvait suffire pour les multiples et sous-multiples de -f- que Ton fait successivement passer par lopération prescrite; et au 0" 7 luimême, on- a pris a8 pour bloc, parce que les deux dénominateurs 4 et 28 sont «rentrants» matedâhkil^ comme dit Mahmoud de Héràt (voir p. a 08), et qu'on prend, en ce cas, le plus grand pour mo/fiira/. C'est déjà au n** 7 que l'on a vu, par des dimidîalicms

successives, que à28«=l5j, îîiîi8=«5, et Ton n*» eu qu*à prendre là ces nombres pour les reporter au n"* i3. Enfin jai dëjà fait remarquer au n"" 7 quil n*était question ni de la somme des deux fractions proposées ou de ceUe de leurs sabstUats, ni du a manquant » pour atteindre une quantité donnée , ni de donner un accroissement au bloc a 8 pour trouver ce manquant. L explication de M. Ganter est prise tout entière dans son imagination; rien, dans le texte égyptien, n*en fournit le moindre in* dice.

Mais alors , dira-t«on , comment interpréter cette répétition des mêmes caloub? La chose saute aux veux, il me semble. C'est de les considérer tout sim* ^ent comme la démonatratioo «Àpirique d'un théorème qui nest pas énoncé « parce que Aahmesu n énonce aucun théorème et se borne d'ordinaire à donner des applications, théorème qui reviendrait évidemment à ceci :

((Toutes les fois quon fait subir à différentes quantités une même opération arithmétique, les résaliats obtenus sont proportionnels aux quantités dont on est parti. »

Ce théorème, ou plus exactement ce lemme, est nécessaire pour qu'il soit permis, dans les problèmes des haSu que nous allons étudier plus loin , de mettre un nombre arbitraire à la place de Tinconnue, et surtout de corriger ce nombre proportionnellement à la correction quil a fallu faire subir au résultat £mix auquel il a conduit, pour i;ei^dré ce résultat

égal au nombre final exigé par le problème. Mais n anticipons pas.

Ce qull y a de plus curieux, cest que Aahmesu lui-même paraît ne pas avoir compris la signification des calculs qu*il avait à reproduire ici. Car il n*y a pas moyen sans cela d expliquer les fautes grossières qu'il a commises en écrivant les nombres qui y entrent. Je ne parle pas du 9 substitué à 1 à en trois endroits, car aux n^ 1 1 et 1 a il a corrigé ce nombre erroné en récrivant le vrai à côté; du reste, cette faute peut provenir dune erreur de lecture, quoique je ne voie pas pour le moment parmi les systèmes numériques existant à cette époque, et qui nous soient connus , quel est celui dans lequel 9 et 1 à peuvent être confondus ^ Mais je parie d erreurs comme celle du n"" 9 , qui écrit :

au

lieu de

* 4 ao

ou du n° 1 5 :

1 1 3a aa8

au

lieu de

1 1 3a aa4

* ia8 91a

ensemble —x

' J*ai rencontré déjà, du reste, une confusion dé ce genre et qui

fractions rectifiées auxqueUes correspond, du reste, et non à celles qui sont écrites , lesabstilat pris au bloc a 8, écrit au-dessous à Tencre rouge, substitut, par conséquent, sur lequel Âahmesu a fait son addition sans revérifier lopération sur les fractions elles-mêmes. Mais si Ton admet qu^il n ait pas bien compris la portée de cette première série de calculs, ne serait-il pas permis de croire qu il s*est mépris également sur la deuxième opération qui lui sert d'exemple? Faire ajouter à une quantité ses j- et son -f est un détour assez bizarre pour arriver à la doubler; et il est certain que Aahmesu, qui savait fort bien que y-f-y = 1 (il nous le montre encore dans sa preuve du n" aS), n ignorait pas que i +T-+-y = a. Or il nest pas difficile, je crois, de remplacer cette opération peu rationnelle par une autre que Ion rencontre parmi les problèmes des haSa, auxquels, j'en ai déjà dit un mot, le présent lemme sert d'introduction. Je veux parler de l'opération du n"" 28 où il est

m'est également inexplicable. Dans la copie en caractères bengalis du BraJima-Siddhànta de Brabmagupta , faite pour Tusage de l'abbé Guârin, et que possède actudlement la Bibliothèque nationale de Paris, dans presque tous les nombres cités soit par Tauteur, soit par le commentateur, les 9 sont régulièrement remplacés par des i. Je ne connais dans llnde que les chiffres tamouls pour lesquds il pourrait y avoir confusion entre le 4 ^ et le 9 di». Pourtant, d'autres fautes semblent démontrer que l'original que le copiste avait sous les yeux était écrit en dévanagari : il n'y a que ce moyen, par exemple, d'expliquer comment le nom du procédé de solution de ax -\- by = c , le kntiakd des Indiens, est devenu kndrka ^^cn dans cette copie. Ce n'est qu'en dévanagari que cg^cn kuttaka peut être confondu avec SR?^ kudrka.

aussi question de -f- et de -f ; seulement on c^ate les deux tiers et Ton prend le tiers de la somme pour le retrancher de ladite somtne. Ne serait-ce pas là le second calcul qu'on devait faire subir aux quantités variées que Aahmesu passe en revue dans ses n^ 8 et 16 à ao? Une pareiUe opération est, par elle-même, assez compliquée pouf qu'on ait eu besoin de feire ressortir que dans ce cas encore il y a proportionnalité entre les résultats et les données. Si l'on admetr tait cette correction, le n^ 8, type du calcul en question , eût dû être :

8 6 » la 18

3 liî 1

et ainsi des n" 16, 17, 18, 19 et ao, maiatis ma-

tandis.

Pour résumer tout ce qui vient d'être dit, voici dans quels termes j'exposerais le contenu du

GRAPrrRB DB LA SEGHOMT flai\^ ^ ou DU COMPLÉMENT.

t( L'auteur commence par démontrer que lorstfuoa

fait ^aftr une même opération à diverses quaniités^ les résultats obtenus varient dans le même rapport que lee quantités d*oà Von part II donne de oe THdoRÂME ou LBMME une démoQrtration empirique au moyen de deux exemples numériques.

« L un d eux corniste à ajouta à la quantité proposée sa moitié et son quart; lautre, tel qu'il figure au papyruâ, consiste à lui ajouter ses deux tiers, puis son tiers, ce qui équivaut à la doubler. Peut-être ce second exemple devrait-il consister à ajouter à la quantité primitive $qs deux tiers, et à retrancher de la somme le tiers de ladite somme. Quoi qu*il ea soit, Aahmesu applique la première opération à "i* M ("" 7) ^^ àqudques multiples et sou^multiples de oe même nombre.; la seconde successivement à -f* f* 9') T' n* Q^suid les fractions qui se présentent dans le calcul ont une expression un peu compliquée, oest*à-dire un dénominateur un peu grand, il les ramène à une expressiom plus sim|^ en estimant la fraction correspondante dun nombre type [mâré dAben-Ezra) ou dun bloc extragtip [makhraj des Arabes orientaux et des Persans), de telle sorte que les fractions soient exprimées par des nombres entiers ou presque entiers , c'est-à-dire par des entiers accompagnés de fractions simples et dont la somme s'effectue delle-même. Les deux nombres qu'il choisit pour opérer cette transformation sont 28 dans le premier cas, 18 dans le second. Peut-être a-t-il encore pour but, en effectuant cette transmutation temporaire de ses fractions, de faire voir que

le théorème qu*il veut démontrer est encore vrai, même quand on emploie un parefl artifice.

((Ceci fait, il enseigne sur trois problèmes comment on doit s*y prendre pour compléter un nombre fractionnaire de façon à le rendre égal à une quantité donnée. Son procédé est le suivant. Transformant toujours ses fractions au moyen d'un type ou bloc extractif, il évalue ce qu'il manque à la somme desdites fractions pour reproduire le bloc lai-méme, dans les deux premiers problèmes où il s agit d^obtenir ïanité; les deax tiers du bloc dans le troisième cas, où Ton demande de compléter la somme donnée à -f. Le manquant étant ainsi obtenu, on cherche quelle fraction du bloc il représente. Pour cela, Âahmesu donne au bloc lui-même des accroissements successifs aussi grands que possible tout d*abord, puis de plus en plus petits, jusqu'à ce que la somme de ces accroissements reproduise le manquant en question. Les accroissements donnés sont toujours des multiples ou des sons-multiples du bloc lui-même : les mêmes multiples ou sous-multiples de Tcnit^ constituent le coMPLj^MBNT [seghomt) cherché pour la quantité proposée. »

Je crois, par cet exposé, avoir donné aux lecteurs une idée bien plus exacte des procédés du calculateur égyptien que ne l'ont fait MM. Eisenlohr et Cantor.

PROBLÈMES DES HA8u f T*i i i

017 DB lA QVANTTTÉ [îNCONNUB].

Il est temps d en venir à Tétude de ces problèmes intéressants où Ton a voulu voir l'origine de lalgèbre , et dont le présent travail a pour but principal de déterminer la véritable nature. Toutefois, la longue dissertation préliminaire à laquelle nous avons été entraînés ne sera pas précisément inutile : d'abord, elle nous a fourni Toccasion de définir pas mal de termes techniques, d'expliquer quelques procédés spéciaux de calcul sur lesquels nous n'aurons pas à revenir. Puis, comme les calculs de segkoni, par leur lemme préliminaire et leiu* manière de « compléter un nombre à un autre », servent simplement, comme j'espère le démontrer, d'introduction aux calculs des haSu^ il était indispensable de bien établir au préalable quelle est la signification précise des calculs de la première catégorie.

Commençons d'abord par reproduire l'exposé de la question par M. Cantor, puisque c'est à lui et à l'idée qu'il veut donner des calculs égyptiens que nous nous en prenons : c'est à la page 3 a que nous lisons :

« Arrivons maintenant aux problèmes

propres du papyrus dans lesquels nous reconnaîtrons également le cachet de connaissances scientifiques relativement élevées.

« A la tête de ces problèmes se trouvent les calculs

des haa, qui, au fond, ne sont pas autre chose que ce que Talgèbre moderne appelle des équations du premier degré à ane inconnue* La quantité inconnue s^appelle haa « le monceau , le tas », et non seulement Ton se sert de ce mot pour, jusqu'à un certain point, effectuer des calculs, mais encore on rencontre de

véritables signes mathématiques ^

Mettons sous les yeux du lecteur

quelques-uns de ces problèmes tels qu*ils sont énoncés, en faisant suivre toutefois cet énoncé de Féquation qui y correspond.

((N° a A. — Un monceau, son septième, son entier, cela fait 1 9 , c'est-à-dire :

« N^ q8. — -f- eti plus, y en moins, reste 1 o :

« N"* 29. — Y 6ï* P^' T ^^ phi^j T ^^ nttoms (?), reste 10:

^«+|a)]-io.

^ Je passe ici rénuméraiion de ces signes algébriques sur lesquels je réviendrai autre part.

« N* 3 1 . — - Un monceau, ses y, son «î-, son ~? son entier, cda monte à 33 :

|aî+^+|+a;=33.

u L'essence d'une équation consiste beaucoup moins dans Ténoncé que dans la solution : il nous faut donc, pour justifier notre comparaison, examiner comment Âhmès exécute ses calculs de Hau. Il y procède très méthocbqu^iiient, commençant par réunir en un seul tous les termes qui, comme on dirait aujourd'hui, sont placés à la gauche du signe d'égalité. U opère, il est vrai, pour cela de deux façons : tantôt cette réunion , consistant à écrire tout simplement l'une à côté de l'autre les fractions primitives, n'est qu'une réunion pour la forme, par exemple :

tan lot, en employant un dénominateur général, il effectue une yéritable addition , exemple :

N»a8 iHx=io;

((Dans le premier cas, on divise immédiatement

le nombre donné par le coefficient de Tinconnue, en faisant toutefois ia division comme la fait d'ordinaire notre Egyptien, à savoir que, au n° 3i, on multiplie i y y T jusqu'à ce qu'il en résulte 33 , et l'on trouve ainsi pour valeur du monceau le nombre peu aisé à voir

valeur sur laquelle nous ferons cette simple remarque , que ^ ^7, ^ est l'expression tabulaire ^ de ^.

(( Le second cas présente deux procédés possibles.

Ou bien on résout ? jj = C en effectuant la division

- et multipliant le quotient par 6, c'est ce qui a lieu

au n° 2 4 où l'on trouve que 8 est contenu dans 1 9 2 -j- Y de fois , et que 2 x y , multiplié par 7 , donne

1 6 y y. Ou bien on divise 1 par y et on multiplie le

quotient par C : c est ainsi vraisemblablement qu'on procède dans les problèmes n" 28 et 29. Au n** 28, îen effet , on cherche ^ de 1 o que l'on retranche de 1 o pour trouver 9 pour le monceau; nous entendons que l'on prend

puis qu'on répète 1 o fois 1 — ^.

* Cest-à-dire l'expression de ^ dans le tableau de transformation des fractions à numérateur a et à dénominateur impair par lecpiel commence le jTapyrus.

((Au n° 29, ^ ou IJ est transformé en i j-^, et

«7 ce résultat pris j o fois donne 1 3 ~ pour le monceau. »

J'avoue quaprès Tétude minutieuse de ces problèmes à laquelle je m'étais livré, et dont témoignent les citations que j'en avais faites, tant dans mon analyse du Manuel da calculateur {Bulletin de la Société mathématique) que dans mes Notations antérieures aa XV f siècle [Actes de la Société philohgique) , j'ai été on ne peut plus surpris de voir exposés en semblables termes les procédés d'Aahmesu. Je n'avais jamais aperçu ni ces sommes de coefficients de x amenant à des équations ^x^^C, ni ces divisions habilement variées

de G par le coefficient de x. J'ai cru m'être trompé, n'avoir pas su lire entre les chiflres, et j'ai repris mon étude à nouveau : cette nouvelle analyse m'a amené au même résidtat que précédemment; avec la meilleure volonté du monde je n'ai pu trouver, comme autrefois (voir les Mémoires précités), dan^ les solutions d'Aahmesu, que les procédés de la fausse position.

Une pareille divergence d'opinion avec un savant tel que M. Cantor a besoin d'être justifiée par une démonstration rigoureuse : c'est ce que je vais essayer de faire dans les pages qui vont suivre. Ma dé^ monstralion se divisera en trois points : je ferai voir qu'avant l'époque présente, les problèmes du genre de ceux que traite ici Aahmesu étaient résolus non par V algèbre f mais par la fausse position. Je rappelle-

J. As. Extrait n" 8. (1881.) 5

rai, par quelque» exemples pris un peu partcmt, en quoi consistait cette méthode de solution. Enfin, transcrivant signe par signe les calculs de notre Égyptien, je ferai voir qu'il suit exactement les procédés de la méthode en question, procédés purement arithmétiques, et qu'il n'a pas, au moins ici, fait preuve le moins du monde qu'il possédât la plus légère notion des méthodes, justement appelées algébriques, qu^ont employées Diophante, les aigébristes arabes et les cossistes d'Italie et d'Allemagne : notions que l'exposé de M. Cantor nous obligerait à supposer aussi chez notre Egyptien.

On remarquera d'abord, en parcourant les équations ci-dessus , qui sont bien réellement l'expression en signes de l'énoncé égyptien, et celles analogues que je donnerai plu» loin, que les problèmes traités dans le chapitre qui nous occupe sont tous énoncés de telle manière que finconnue s'y trouvé naturellement dégagée et isolée dans un des membres de l'équation, le second membre étant formé uniquement d'un terme tout oonnu. Or yoici ce que nous lisons a ce sujet dans le Comw^ewtmre d'Al«Q«l* çfldi au TaMys dlïm al-Bamiâ. M-Qilçàdt est cet auteur arabe eqiagnol du xv* siècie chei^ quiWoqpdce a trouvé les notations algébriques dont j'ai maintes fois parié, et dont je me suis même servi àsùas^ mes précédents travaux, h a eomposé un TVinl^ li m'Iibmétifie que Woepcke a traduit et publié i Rome

en 1 859 ^^^^ ^^^ Recherches sur pbmeurs ouvrages de Léonard de Pise. Il avait auparavant, sans doute, écrit le Gommentairs dtt Talkhp auqudi j*emprunte ma citation ^

Cest tout au début du livre ; Ibn al-Bannâ expose les grandes divisions de son Trente : a La première partie, dit-il, est consacrée aux opérations sur les nombres connus : la deuxième , \5a^ «31 ,^V^%^ 4(t ^jJ^l j^ Cr^l^l J^«^ j^ »â^ ^ J3^1 Uf

\f^i^ ^jfk^jJ^ ^^i^ Wâ^ UJlîi It^^ J=9^1, «aux règles qui permettent de déterminer la valeur des inconnues que l'on demande , en partant des connues que Ton pose , lorsqu'il existe entre elles des liaisons qui en décident. »

A quoi le commentateur ajoute :

JM*^ *^3 *-<A^ '«*J^3 y^^'^S fSr s^*3 ^ '^j^ Wb jld» -«?j3 ^ çêK^JV. VJ JVm j,l:i# «nW.1 iSli

u«?j9 VMb3 ^ ^\ wii» «àQ;^ ^^\^ um

* Cet ouvrage , qui renferme des détails fort intéressants , est inédit : Remprunte mes citations an ms. gSi,, supplément andbe, de k Bihiiotfaëqae nationale , un des maiiiHerits aehelés sur les ecmseils de Woepcke, qui en a donné une coofte anidysa au Joatnai asiatique en 1 86 a ; Woepcke avait emprunté au manuscrit en question la a^mi^on des chiffres gohdrs cpxil a insérée dans son Mémoire sur la jtropaqadon des chiffres indiens en Occident, Journal asiatique, janv.-Àv. xWty p. 38 (p. %^ dn méflMÎre ffré à part).

>( 68 )>*t — J-i rfjtj^ j;^ Utt«>.i «^ y JV« jl5f »«ai2.Y P3

Cette liai$on, c est le rapport qui existe entre les nombres « ainsi qu'il sera expliqué [plus loin] , s'il plaît à Dieu. Elle se présente sous deux faces, la liaison où [Hnconnue] est visible et la liaison où elle est cachée. Elle est visible quand on te dit : Une quantité, son tiers et son quart [additionnés] font 2 1 ; quelle est la quantité P — La manière d'opérer, dans ce cas ,.c*est qu'on cherche le plu» petit nombre qui ait un tiers et un quart : prends ici 1 2 dont le tiers et le quart font 7. Alors

le Tê^pipott de 7 à 1 2 est comme cdui de ai à rinconnae.

Alofs multiplie le second par le troisième et divise par le premier, il en résultera le quatrième , l'inconnue , qui est 36. Telle est ia liaison ou dilé est visible. Elle est eaebée lorsqu'on te dit : 10, partage-le en deux parts, fais le carré de cb^une d'elles, retranche le plus petit du plus grand, il ratera 80,. quelle çst chaque parti^ Ceci et les analogues ne s'obtiennent que par l'algèbre, ainsi qu'il sera expliqué, s'U pbit à Dieu TrèsrHaut

En conformité de cette règle ou plutôt de son modèle, nous lisons dans Âben-Ezra, conime pre-

mière application de la théorie des proportions, chap. VI :

m^y rm in'»3;'»3c;i ^T\'^vm in''c;''Dn Sziyn pOD HT^W

Sy HT D3 b 1^3?^ 1 b:f M li^DDtS; miDiT «Crp3 • pDDH HDD

onacrn i3inDn xints; mers; lis; nam •>)? onc;^» om ^

nnspn la^sD

3Xo

Ko KoT

\to n'»cr''Dn a-JD^ts; i "«a m pDai : popn Sa Min"» tp p >p nnK Sdd ncrsra • Dn'»cr''on «pVn nhw d^d^jc; *î njctt^ai n'»c;c;i • tos Qn^c;^Dm hsri ban n^rr» Vt) Dn3c;n bx nanai • ûi in"»cr»i *î5rp HNT» >ô vVn lam ^p nxe^in ^V npai !l to^ >p nnK Vab npa d^dV^; m nxt;: d^dVc^ i 'î^d n'':^''3t?n d3 nanai ♦ ^S wv'^aeri 5*)ti rr'n'» )û rSi( ^anj tihpt) n^n*»

: m»y rn"» b j !i

Problème: Une fortune, son cinquième, son sixième, son septième font lo; quelle est la fortune P Cherchons le mâré, et pour cela multiplions 5 par 6 , qui montent ^ 3o , et ceci

^ J'empruDte, pour traduire le n)^ hébreu, cette vieille 'ex[ires-

p^ 7, c«la monte 310 ) cebt là le màré* Son oioquièBie est da , son sixième 35, son septième 3o, et tous trois ensemble sont 107. Or le rapport de 10, sonmie des fractions de la (brtune, à la fortune entière inconnue est comme le rapport de 107 à a 10, et nous ferons la figure connue ced :

rèxtFémd le jdus petit

le moyen eonnu

le moyen à obtenir o

rettrénie le ]dilS grand , lé mAri 21Q

Faisons le produit des extrêmes 10 et 310, nous obtiendrons a 100; divisons par lé moyen 107, il viendra 19 entiers el il restera 67 parties, dont ^07, et ce sera la fortune ç^itièrfl.

f ajoute encore k preuve, parce qu'efle nous servira tx>ut à f heure à faire quelques rapprochements av^c Colles que fait Aahmesu.

Efist^joûs ood : 3 èAtUrs sotnt le cliM}Qiènie de iS, â il reste d entiers dont nous ne prenons pas le cinquième. Fai^ sons de chaque unité 107 et additionnons-les avec la fraction 67; le totsd sera dgS, dont le cinquième est 91^. Le si)dème de 19 est 3 et nous prendrons pour le 1 restant 107, nous y ajouterons 67, cela fera 17^, dont le sixième est ag. Égalefnent, le septième de id est a entiers, et il reste 5 entiers : nous prendrons pour chaque unité 107, cela fera 535; ajoutons-y 67, eela fait 60a , dont ie septième est 86. Addîâonnoot leâ iraetions^ à savoir t 99^ 39^ â6<, cela ûôi a ealum

sion, très intelligible du reste , à Estienne de La Roche (Lyon , 1 Sao) dont j ai t^à mamtes fois fatlé.

<]ue nous additionnerons avec les entiers , savoir : 3 , 3 , a » et il vient lo.

Citons encore Texemple stdvant qui est très court :

Prenons qœ son septième et son neuvième soient 7. Ici le mâré sera 63, dont le septième et le neuvième font 16, et h figure sera ainsi :

Et le nombre «era 27 entiers et g parties, dont 16; c«r aï nous miidtiplions 7 par ^3, il vient Akit qui» divisé par 16, donne ^7 et il reste 9.

 la même époque à peu près , mais à l'autre extrémité du monde musulman » Al-Halcâk al-Marwazi ^ écrivait à la fin de son chapitre des proportions ;

> J'ai conira œ iivm curieux par un maanscrit ea éeritura ta'mtiq aoesenna 4pn appartieat à ML Scbafer, et qut j*ai pu consakcr cbes le Jy Manà Mohammad (actadlemettl médecin ovdinaba du Sh$k) à qui son propriétaire Tavait eonfié. L'aateur , doait le nom est ç^m^ <$^^l (JLÛI ^^«mJI ^Ji\, a composé son traité Uim^, întitaié <x«iâ^

jlyil ^^3^ ,^^ ,<vJ-^ p^ :>J^ sSyJi (^!^ :ya cuil^j

Problème I. — Qud est le nombre dont des fractions données , si tu les additionnes , donneront un nombre déterminé P — Comme quand on dit : Quel est le nombre dont la moitié et le tiers ou le quart, ou te cinquième et le quart, ou le huitième et le dixième, ou le. neuvième, le septième et le cinquième, ou autres analogues, si tu les additionnes, fassent lo ou 20, ou tout, ce qu'on voudra poser? Réponse, Nous chercherons le {dos petit nombre, tel que Tan puisse en prendre les fractions de Ténoncé , de manière à £ûre de

ç^j^A^ladJI, en Â^UUfj y&si SiJSi iXjét mySi «moharram de Tan 6i3» (avril -mai iai6). La copie a été exécutée, suivant l'énoncé en tontes lettres et là date en chifi&es à Tencre rouge au-dessous, en Tan £,il»A4M> çj^^.iftft Ri m j 7410 de Thégire, i33o de H^^Q.

Cette copie, exécutée en écriture taaliq ancienne, est un très curieux monument paléograpbique : je n aurais certainement pu réussir à la lire sans le secours, éclairé de 3iinà Mahammad, lequel m a égale* ment aidé avec une grande obligeance à interpréter les termes tecb* niques qui ne m'étaient pas encore familiers à Tépoque .où j'ai pu consulter le livre d'Âl-Marwazi.

ces fractions des nombre^ connus : nous le» ajoiftons et prenons le rapport 4e cette somme au nombre d*ou les fraction^ ont été tirées; alors nous faisons le rapport de ces deux nombres égal au rapport du nombre connu au nombre inconnu.

Jv^ ^U^ ^^/ çyô c;4-*^ ;3 l;;l^3 P^

I; ioyjUi ^jy^ ^jf^ 4X#I yj^^ »:>yU ^^^ oi^uii ^^

Exemple I. — Quel est le nombre tel que si Ton ajoute son quart à lui-même il viendra ao ? — Le plus petit nombre qui ait un quart est i. : ajoutons-lui i , il vient 5 , et prenons le rapport de 5 à 4* Alors

le rapport de 5.à à est comme Ijb rapport de 20 au nombse. cherché. Posons cela en cette figure :

Multiplions i. par ao, il vient 80 : divisons par 5, il en sort 16. Alors si nous prenons le quart de 16 et que nous le lui ajoutions, cela fera ao. C'est là le nombre cherché.

De Merv en Khoraçân dans Tlnde^ il ny a quun

pas : frandùsscMis-le, et nous lisons dans la Lildvad de Bhâskara, écrite à peu près à la même époque encore :

4^I<4)IHIM«I^ VA<lfîl l: T3«n«^tî1 iSri^ft ^

^SRHÎ )t ^o II

Voici, dans les opérations sur une arbitraire, ia règle (une strophe) :

En suivant les conditions de Ténoncé, une quantité arbitraire est multipliée, divisée, diminuée ou augmentée de ses fractions; le nombre connu, midtiplié par l'arbitraire, divisé par [le résultat obtenu], est la quantité [cherchée]. Tel est ce qu*on vient de nommer Topération sur une arJntraire.

ïpir: m I TsrfswPT: ^ i ^: \o I ^is^tSïT: J ^

^Hsr ?^ 1 16 I ^ U I ^jjl^ I ^4 1 ^ "^^

HtIî STRÎt ^[Tfily: I *6 H

Ici , un exemple :

llultiplteE par 5, dmiiaiae& dit tien de ceci, divises par lo , ajoutez ]6 tîerftf b oiQitié, le quart de la ipiantilé, qudle tUdle pour donner 70 — a ?

Tableau :

Ituh^lieateur, S; lo tiers de ceci, f ; diviseur, 10; fractions de ia quamtité, 71 7% 7 : ce quon doit v^, 68;

Soit ici la quantité posée, 3 : multipliée par 5»i 5 1 diminuée de son tiers, 10; divisée par 10, 1.

La position. S; le tiers, la moitié, le quart de la quantité, 7, ^, ^; ia somme, [qui sera} fo diviseur, apparaît 7.

Or le nombre c<hiiiu, 68, multiplié par iarÛtraire 3, [donne] ao4, et divisé par le diviseur x* ^& quantité apparaît» 4,8.

Veut-on revenir en Occident? Voici Léonard de Pise» toujours du même temps ou à peu près. Nous lisons,, p. 1 yS de Sédition Boncompagni :

INGIPIT PARS TEBTIA DE QUBSTIONIBDS ARBORDBI ET SIllILlUM

QDA RE SOLUGTtONES FIUNT.

«Est arbor, cnju» 7 -f* ktet mh terra; et sunt palmi a 1 : queritur quanta sit ar boris illius^ longi* todo : *^ Quia ^ *^ rqternuitiir in 1 n , intdiîge ip-

sam arborem esse în partes iq eq[uales divisam; quarum tertia et quarta, seilicet partes 7,

sunt palmi 2 1 : quare proportiônaliter est sieut 7 ad 2 1 , ita partes 1 a ad longitudinem arboris.

c( Et quia cum quattuor numeri sunt proportionales, est equa multiplicatio primi in quartum, multiplicationi secundi in tertium : quare si multiplicaveris secundum 2 1 per tertium 1 2 notos, et divides per prîmùm numerum simili ter, seilicet per 7, exibunt 36 pro quarto ignoto numéro, seilicet pro illius arboris longitudine : vel quia a 1 tripla suot de 7, accipe triplum de 1 2 , et habebis sîmiliter 36.

« Est enim alius modus quo utimur, videlicet ut ponas pro re ignota alicjuem numerum notum ad libitum, qui integraliter dividatur per fractiones, que ponuntur in ipsa questione : et secundum positionem illius questionis, cum ipso posito numéro studeas invenire proportionem eadentem in solutione illius questionis. Verbi gratia : numerus quesitus hujus questionis est longitudo arboris : quare pone ipsum esse 1 2 , cum integraliter dividantur per 3 et per 4 , que sunt sub virgis : et quia dicitur -f t sirboris sunt 21, accipe x t de 12 positis, erunt 7* Que si essent 2 1 foriuitu utique haberemus propositum,

— «vt 77 )«#*~-

videlicet quod illa arbor esset paimorum i a . Sed quia y non sunt 21; cadunt ergo proportionaliter sicut 7 ad a 1 , ita posita arbor ad quesitam , scilicet 1 ts ad 36 : Quare consuevit dicere : pro 1 2 , que pono , veniunt y ; quid ponam , ut veuiaut 1 1 P

veniant

pono

veniunt^

et cum ita dicitur, multiplicandi sunt insimul numeri extremi, scilicet in per ai; et summa divi* denda est per reliquum numerum. »

Voilà bien assez d'exemples, je pense, pour faire voir comment, dans le monde entier, on a compris qu'il fallait traiter les problèmes où, comme je le disais plus haut d'après Al-Qalçàdî, Tinconnue est dégagée. N'aurions-nous pas le témoignage formel de l'auteur maghrébin, il ressortirait clairement des exemples cités (jue cette méthode n'a rien d'algébrique. On n'y invoque qiie le principe de la proportionnalité, on ne se sert pour les résoudre que d'une proportion : or cette sorte de formule, avant que les algébristes de nos jours aient eu l'idée de ecnre

au lieu de

avait toujours paa^é pour tout autre ohoae quune équation^.

Il n est pas jusqu*au terme employé pour designer Tinconnue de ces sortes de problèmes qui ne décèle rintention de les séparer de ceux ipi on traite par i algèbre. On sait, en effet, que dans cette dernière branche du calcul, Tinconnue simple s appelle en sanscrit «n^iTH^ri yâvat-tâvat « le (juantum » , en arabe p^ shay « la cbose » , ce dernier mot ayant été traduit en latin par res, en italien par la cosa, doù lallemand die CosSy et le nom de «règle de la chose » donné è lalgèbre par Estienne de la Roche (Lyon, i5ao). Dans les problèmes que je viens de citer, le nombre que Ton cherche, et qui doit subir les opérations prescrites pour amener au résultat

^ ie ne vomi éèrç qn u» mol en passant de la fignre donnée à la proportion dans plnsienrs de nos exemples :

éhêB PîboiMttt.

f»*i^»*>iOp » É > » »■ m

V^t daos mes ff^mions mtérieurment m Wff mçU, jaTsis raj^proebé cette figure de celle de nos déterminants: et ponrtant je ne connaissais encore alors que cdle d^Aben-Ëzra : cdle de Filx>nacci» dont parie aussi Ai-Qalçâdi dans son Commentaire da TaJUdiis, y ressemble encore plus, pour ne pas dire tout à fait. Au reste, je connais encore aujourd'hui d*auties eaemples de l'emploi de cette figure, et je suis même sur la voie pour remonter jusqu'à son origine : j espère donc pouvoir consacrer un jour un travail spécial à son histoire.

annonce , s appelle , chez Bhâskara , ^rfS^ râçi u quantité» où plus littéralement «tas, monceau», ce qui, je le dirai plus loin, me parait être purement et simplement la traduction du terme égyptien. En arabe et en persan, on lappelle JU mal, terme qail faut prendre ici dans son sens primitif et vulgaire de « fortune , bien , somme d aident » , avère chex Léonard de Pise^, |1DD chez Âben-Ezra, et non dans lacception spéciale de «carré de Tinconnue, x^», qu'il prend en algèbre. Le problème d'Âlkhârizmi , que j ai cité dans mon Étude sur Valgèbre de cet auteur (p. 66 du tirage à part, ou Journal asiatique, janvier 1878, p. 66), fait bien ressortir la dififérence de ces deux significations.

Revenons maintenant à Aahmesu pour comparer sa manière de procéder à celle dont je viens de donner des exemples. Je vais d abord traduire littéralement les trois premiers problèmes, en rendant pour cela les expressions égyptiennes telles que je les comprends, sauf à justifier plus loin celles de ces traductions qui différeront de Tinterprétation de M. Eisenlohr que M. Gantor a suivie.

^ Voir dans Tédition Boncompagni, p. 645 et sulv. , les énoncés :

c Mnltiplicavi quoddam avore, et radicem 3 per idem avère :

pone pro ipso avère rem. -^- Cuidam averi addidi 7 dragmas «

pone pro ipso 'avère rem, etc,»

N° 2&. — Une qvumiité : son sepùènte, elle-même, . font 1 9 :

/■ 'ïi

ensemble 8] î: ^ [ensemble 19

[ensemble 16- ^J

(a) La quantité

•8'0IV<''0y OiÎTâ)^ • • 16-^

-y '^ 7 8 ensemble 1 9

N* a 5. — Pue quantités sa moitié^ elle-même, font 1 6 :

[rensemble] /«S • Ôl

/4 la

«oi^o» o<!T«tfs ■ la quantité • 1 -s

i. Si enaenible 1 6

• Va».' «A -/

"lA c4^2i^u n kîi *

N° 26. — Un^ quantité, son quart, elle-même, font 1 5 :

(a) Fais croître le nombre 4; fais 7 de fois, c*est 1, ensemble 5 :

(h) Fais croître le nombre 5 pour trouver i5 :

[ensemble l5j cela te fait 3 : fais croître 3 , 4 fois • 3 / 4 12 •12

•• 6 cela fait 12 7 3 ensemble 1 5

la quantité 12 son quart 3 ensemble 15, J. As. Extrait n** 8. (1881.) 6

Que voyons-nous ici? Trois questions où Imconnue est dégagée. Dans la première, il s agit de prendre i y de cette inconnue : on opère sur 7. Dans la seconde, on demande i-f--j- et Fauteur opère sur a. Dans la troisième, c'est 1 +t cju*il feut prendre, et on les prend sur 4- N est-ce pas là la règle du moyen âge qui prescrit d'essayer «le plus petit nombre en qui f on puisse prendre les fractions de l'énoncé » ?

Dans chacun de ces problèmes, on obtient pour résultat, avec la quantité essayée :

N* ad, 8 au lieu de 19, N° 26, 3 au lieu de 16, N** 26, 5 au lieu de i5.

Que nous dit alors Âahmesu dans son problème 2 6 qu'il a détaillé tout au long?

fais croître le nombre 5 pour trouver 1 5:

et par des duplications successives, la seule manière qu'il connaisse de multiplier, il trouve que pour avoir i5, il faut prendre 5 une fois (•) et deux fois {••), c'est-à-dire en tout trois fois. Guidés par cet exemple, nous reconnaîtrons au n^ 24 que son résultat faux 8 est pris :

1 fois, ce qui fait 8,

2 fois, ce qui fait 16,

et ce dernier est marqué bon. Il le faut seulement compléter par des fractions :

pour Y fois , nous avons 4 ,

pour \ fois., nous avons a qui est bon ,

pour Y fois, nous avons i qui est bon,

d*où résuite que 8 donnera 1 9 si nous le prenons 2 Y T de fois. — Au n"* 28, le résultat feux 3 doit devenir 1 6", pour cela :

pris 1 fois , il donne 3 , pris 2 fois , il donne 6 , pris A fois, il donne i 2 ,

et 1 fois et Ix fois sont marqués bons parce que leur somme fait 1 5 qui est le plus grand multiple entier de 3 contenu dans i6. Reste l'approximation par fractions. Ici, bien que Aahmesu sache fort bien que y 3 = i , il tient à passer régulièrement par son intermédiaire naturel -f 3 => 2 pour arriver par dimidiation à y qui vaut 3 et est marqué bon. Ici encore, il résulte de laccroissement graduel donné au résultat faux, qu'il le faut prendie 5 y de fois pour avoir le résultat demandé par fénoneé.

En résumé, il faut prendre le résultat faux :

au n" 2 4 , 2 Y y de fois , au n** 2 5 , 5 y de fois , au n* 2 6 , 3 foi»

pour satisfaire à Ténoncé du problème.

Ici intervient le iemme démontré dans la pre-

mière partie du chapitre du Seghom : lorsqu'on fait subir à différents nombres une même opération, les résultats obtenus sont entre eux comme les nombres sur lesquels on a opéré. H faudra donc prendre pour valeur de la quantité sur lacjuelle on opère :

au n" 24, non pas 7, mais (2 -J- j-) de 7, au n* 25 , non pas 2 , mais (5 y) de 2 , ' au n"* 26, non pas &, mais (3) de 4*

ce que Âahmcsu énonce, pour ce dernier cas, en intervertissant seulement Tordre des facteurs :

fais croître 3, fois 4<

1 fois 3,

2 fois 6,

li fois 1 2 , marqué bon , et qu'il ajoute Jf^ ^ fl 1 1 " ^' vient 1 2 ».

Par la même raison, et intervertissant encore Tordre des facteurs, il lui faut :

Au n** 24 prendre sa correction 2 -J- y, «fois 7 ».

1 fois 2 y Y'

2 fois 4t T»

4 fois 9 1,

donc 7 fois 1 6 j- -|-.

Au n** 25, prendre 5 j-, «fois 2 ».

1 fois 5 Y,

2 fois lo-f, marqué bon.

Doù résulte enfin que Tinconnue du problème,

la vraie quantité sur laquelle il faut opérer pour obtenir les nombres demandés , est :

au n*" a & , 1 6 y -J- au lieu de 7, au n** a 5 , 1 o Y au lieu de 2 , au n° 26, la au lieu de 6.

Telle est la vraie manière d*opérer d*Aahmesu» et non pas, comme le dit M. Gantor pour le n° a& , (( en additionnant les fractions de Ténoncé pour arriver à -f X = 1 9 , en divisant 1 9 par le numérateur 8 du coefficient et multipliant le quotient par le dénomincUeur 7 )> , ce qui serait une véritable division par une fraction.

Encore une observation avant de continuer cette étude. J ai déjà fait remarquer que Tauteur égyptien , pour appliquer à s^ fausse position la même correction qu'au faux résultat quelle fournit, devait s appuyer sur le lemme qui constitue la première partie du chapitre du Seghom;]e crois que dans son esprit, la correction elle-même était obtenue en appliquant le procédé qu*indiquent les trois problèmes qui terminent ce même chapitre. Revenons pour cela au n* a 1 ; Tauteur ayant vu que 1 5 , mis à la place de 1 dans le nombre fractionnaire -f + ^, donne un résultat trop faible de « li parties de 1 5 » (pour parler comme les Arabes et Âben-Ezra) , cherche quelle partie aliquote de 1 5 est ^ , et prend la même partie aliquote de 1 pour compléter le nombre de l'énoncé. Au n"* a 4 , de même , ou du moins par analogie , je crois , ayant trouvé que 7 essayé donne 8 et non 1 9, il cherche

quel multiple et sous-multiple de 8 est 1 9 , et prend le même multiple et sous-multiple de y, le nombre substitué. Encore une fois, il me semble qu'il y avait pour lui une connexion entre ces deux opérations.

Je passe maintenant à lexplicatipn des termes mêmes ici employés, avant d aborder Texamen des autres problèmes.

La quantité cherchée, le mal, le mammon, est appelée ï "*r* "*^ forf-tt. Tous les égyptologues sont unanimes pour lui donner le sens de «amas, provisions , grande quantité » ; je n en parle que pour faire remarquer que le déterminatif 4 semble lui donner pour sens primitif celui de utas ou monceau de grains», et qu alors il correspond exactement au sanscrit ^(SIT râçi que le langage mathématique prend aussi dans le sens de u quantité » en général , mais qui a pour signification primitive celle de « tas de grains » , umound of corn», comme dit Golebrooke, en traduisant les titres des problèmes, 011 Bhâskara et Brahmagupta enseignent à trouver le contenu dun tas de grains, ^lfi|Hl«l^ râçimdruf.

Dans la plupart de nos énoncés, après Ténumération des fractions , vient le terme ♦ * Jû-f ou her-f, que M. Eisenlohr rend par «son entier»; dans sa courte Analyse du travail de M. Eisenlohr, insérée au LUerarisches Centralblatt du 12 octobre 1878, M. Ebers semble tenir pour une préposition , et traduire : «ajoute la moitié par-dessus ou en outre,» lege seine Hàlfte aaf es oder darauf. Je crois qu'ici encore M. Eisenlohr est plus près de la vérité, mais

que pour y toucher, à la vérité , pour l'atteindre , il faut faire un pas de plus. Je trouve, en effet, dans la Grammaire hiéroglyphiqae de M. Brugsch , p. 1 4 , la mention de ce qu'il appelle des substantifs pronominaax : ce sont des mots tels que ^i «la tête», -f i

ou .j'^* «le cœur», Jli, V'^» O'^î ^^^^ forme corporelle, la figufe, la ressemblance», qui, suivis des pronoms personnels suffixes, servent à exprimer dune façon plus énergique ces pronoms. Si ce fait était isolé en égyptien , on concevrait que les savants qui s'occupent de cette langue n'en aient pas aperçu l'importance ; mais quand on les rapproche des composés analogues de l'hébreu avec DSy Sesem «l'os»;* du syriaque avec cj^ leb «le cœur», oiuf rîsh «la tête » , K* yath « fêtre » , u^âu nafsh « l'âme » , «daro;^ parsap « le 'apàcroimov » , etc. ; de l'amarïnna avec 2kft ers ou CA ras « la tête » ; de l'arabe avec ^yJù nefs « le souffle vital», J^ miM «la ressemblance», qui tous s'emploient pour exprimer notre mot même, ou mieux le selh ou self germanique, on est tenté de donner le même sens aux « substantifs pronominaux » de l'égyptien.

Voilà pourquoi je propose de traduire, au moins dans le cas qui nous occupe , ♦ * par « lui-même » , car nous obtenons ainsi une corrélation parfaite entre les énoncés égyptiens :

or jed neJt 8én : haS-u ^^^^^fixrf ^^'f X^P^f ^"* met-paa Si te dit récrivain : quantité, son 7, lui, cela fait 19,

— w( 88 )f+ et i arabe :

^ ajiyyJ Jti? àijis^s Mj^ Ç»-' J^ ^s>* ^*^

idha qil lek : mâl-anj ejmaS sub8-ko va mithl-ho Lorsqu'il te dît : une fortune , joins son ~ et sa ressemblance ;

fe-kàna ùsSatScLskar et ce sera dix-neuf,

plus OU moins fidèlement reproduit par le persan :

càn gûyand : kndâm an 8adad <ut ke, suh8 é vey har vey Lorsqu^on dit : quel est le nombre qui « ajoute son

afzàyi nûzdah shavad, septième à lui, dix-neuf arrive » ,

et par Thébreu :

amar orner : habar-na el mammon ou manuitotij hôseph-na A dit Torateur : ajoutons à une fortune oaune fortune , ajoutons-

ela» shehiSithô, véhyâ tish8a-8asar lui son y, et ils seront ig.

Quant à ma manière de rendre T S J âah par «faire croître», au lieu de multiplier, je lai expliquée assez longuement plus haut pour n avoir plus besoin d y revenir : je ferai remarquer seulement que les opérations auxquelles ce terme s applique ici ne font que confirmer de plus en plus ma manière

de voir. Enfin j*ai traduit '^ 6 ^ li( art ma x^sper a fais comme il est» par la formule néronienne vfoiii<TW oStgjs, que je crois en être i'écho.

Ceci posé, je continue à traduire le plus mot à mot possible les problèmes du papyrus.

N* 27. — Une quantité : son cinquième, elle-même, font 2 1 :

ensemble 6

ensemble 2 1

(ensemble 1 7 -)

en rouge)

la quantité : ]

son cinquième

ensemble 2i.

Rien de particulier à dire sur ce problème qui suit exactement la même marche que les trois premiers.

^( oe

Il nous faut maintenant passer au n* 3 4 qui nous initiera à une manière de procéder de notre auteur, légèrement différente de la précédente : le nombre essayé, la fausse position, nest plus le mokhny, le « bloc extractif )) des fiactions : c est f unité.

'M^ni

N* 3&. — Une quantité : sa moitié, son qaart, eUeméme, font i o :

(ensemble 9y manque l)*

Ëosemfale, la quantité ^ttÂ*

L'auteur, ayant posé a = i , a tout de suite pour résultat de sa substitution i ~ -J-; il comge alors ce résultat faux en procédant toujours par «appràximations successives », para accroissements graduels )> , et dans ces accroissements il déploie une certaine habileté sur laquelle on me permettra de m'arréter un instant. Ainsi, lorsqu'il a doublé, puis doublé encore, et vu que i fois + 4 fois son nombre lui donne 8 ^ ^ , il s'aperçoit que -J- en plus lui feront 9 ; mais, par un artifice qu'il emploie souvent, puisque iai^y, il en conclut que -i-aî=s=-f , et, dans la colonne suivante, que si y a? = y, -f- a; (qu'il écrit suivant son habitude -|^^) = ^et-fa?=i. Il a donc 5 y Y ^ pour correction de son résultat faux : il faudrait midtiplier cette correction par le nombre substitué , la fausse position; mais ici cette fausse position est i : la multiplication est donc toute faite, et, comme il l'écrit , « la quantité demandée est 5 -5- y ^ ».

Reste la preuve, annoncée par le titre

ap en s-api.

/. ôii-i-

. iiii"^.rfrî i ^ v**î^

1 III un Al I I A iiii lin

Ensemble 9 -J- |, manque | f

Il faut remarquer que son total 9 t -g- n^ comprend tfue les grosses fractions y et qu'il a négligé les petites. Il agit ainsi dans tous les autres problèmes qu'il nous reste à étudier, et pour en tenir compte, il a soin d'indiquer ce qui manque, | ^ jet^ pour obtienir le nombre demandé» Ce manquant doit être comblé par les petites fractions dont il va alors s'occuper. Lorsqu'il opère ainsi, non pas dans une preuve comme ici, mais dans une correction de résultat faux, la somme des petites fractions ne lui donne pas tout son reste : il applique alors la méthode enseignée à la fin du chapitre du Seghom , il « complète )> la somme de ses petites fractions pour combler son manquant. Voyons donc ici ce que vont lui donner ses petites fractions : ce sont :

-"~r"T"~Q"QKc (orsi»56) 7 14 i4 28 28 06 ^ '

(ensemble 21) — 7 ensemble 2 1.

Ici, il prend un môré, un mokhraj, un «bloc» 56,

transforme ses fractions et obtient pour leur somme 2 1 parties du a bloc » ; mais -j- + -J- de ce même bloc font aussi ai : ses petites fractions comblent son manquant, sa preuve est satisfaite.

— «•( 94 )« <<" Remontons au problème préoédent :

N"* 33. — Une quantité: ses deux tiers, sa moitié , son septième, eUe'mêm£, font 87 :

ensemble