Rflprésentatioa de Isl fonction / = ^ • — On démontre

que la courbe figurative de la fonction y — - est une hyperbole qui a pour centre (n" 246) l'ongine o et pour asymptotes les deux axes de coordonnées. La figure montre que pour x = o Vordonnée

(y = ~) est infinie; d'ailleurs

pour X positif et voisin de o. l'or- Jonnée est positive et très grande; pour X négatif et tits petit, l'ordonnée est négative et très grande •en valeur absolue : ainsi loi'sque ^, croissant d'une manière continue franchit la valear o, foidonnée passe d'une valeur négative inliniment grande ù une valeur po.silive inlinlment grande : on dit que y saule de -i- <» ii — » (cf. 398).

647. Représentatioa de la lonction implicite définie par la relation x' + y^ = i. — .Vppelant M un point quelconque de la ■courbe représentative, et P sa projection sur l'axe desx:, nous dédui-

('), Car, quels que BOΫat les nombres relatifs x' et x, jnent x < — - — < x puisque x < £ ; donc ai, pa

intérieur à — — , il ne peut être plus grand que x'. DoiniiDDi. — Lm Principci ils l'Analyu malhinuliqaa.

5li l'algèbre oêométmqub

sons do lbé<»ème de Py thagore appliqué au triangle rectangle POM que OM' = I, donc OM ^= t. Ainsi la courbe représentative de I» fonction [qui; sous forme explicite, l'écrit y ^^^i — a:'] est composée des points situés h la distance t de l'ori^ne : c'est un cercle.

Noos trouverons au prochain paragraphe l'occasion de signaler quelques nouvelles courbes figuratives Fi^. iiiô, de fonctions.

548. Inégalités à deux variables. — Etant donnée une fonction continue, /{x, y), de» deux variables x, y, par exemple un polynôme en x et y, posons-nous la question suivante : Quels sont les systèmes de valeurs de x el y pour lesquels celle fonction ett positive ? Quels sont les systèmes de valeurs pour lesquelles elle est négative ? La figuration carlésienne fournira souvent un moyen simple de répondre à cette question : elle permettra, dira-t-on, de « résoudre h C inà(falilé /[x, y) !> o ou/(x, y) <. o.

Envisageons (fig. 196) la courbe représentative do la fonction implicite ^ de a: définie par la relation y^a:, y) — o oîi /■ est un polynôme, et supposons, pour nous placer dans un cas simple, que celte courbe soit fermée et ait approximativement la forme d'une ellipse.

Considérons un pcùnt quelconque M (de coordonnées x et y} que nous faisons varier à partir d'une position M, (de coordonnées x^. yt) située à l'intérieur de la courbe. Supposons de plus, pour fixer les idées, que le poU nome/ ait le signe +au point Mg, c'est-à-dire quefxo, y») > o. Lorsque M varie d'une manière continue, il en est de môme de la valeur de la fonction /(»,j) [en vertu des propriétés des fonctions continues] : cette fonction, en conséquence, ne peut sauter brusquement d'une valeur posîlioe à une valeur négative. Positive elle est, et positive elle restera, tant que le point M ne traversera pas une position pour laquelle la fonction soit nulle ; mats les points pour lesquels f{x, y) est nul sont, par hypothèse, les points de la courbe et ces points seulement : donc la fonction conservera le même signe, tant que le point M restera à Ciniérieur de la courbe.

l'ÉTUDE âB&PBIOVe DES FOBCTKHfS d'uKE VABIABLE 5l5

On démontrera de même que le polynome/^a:, y) a un signe invariable pour toutes les positions dn poinl M (de coordonnées x, y) ertirieares h la courbe.

D'ailleurs, il est facile de démontrer (') que si le polynôme f(x, y) est positif à Cintérieur de la courbe (c'esl-à-dire pour les positions de M intérieures k la courbe), il est négatif à textériear ; et inver- Bem«it, s'il est négatif à tintérieur, il est positif à textériear. Ainsi les systèmes de valeurs de x et y pour lesquels on a flx, y)'>o sont les coordonnées de tous les points situés, soit k l'intérieur, soit à l'extérieur de la courbe.

L'étude des inégalités correspondant k des courbes de (ormes plus compliquées sera souvent plus délicate, mais pourra être Taite d'une manière semblable.