X' TB F

FiR i85.

Soit alors donné un couple de nombres rehûharbilraires.xely. Faisons correspondre au premier, comme il vient d'ôtre dît, un point P de VOX et au second un point N de Y'OY ; puis, par P menons la droite parallèle à Y'OY', et par N la droite parallèle à X'OX ; ces deux droites se coupent en un certain point M que nous regarderons comme représentatif du couple de nombres x el y. — On voit immédiatement, en numérotant i, 3, '.i, 4 les angles XOY, \OY',X'0\', XOY (fig. i8(i) que le point M est : dans l'angle i.si x^ o, y >o, dans l'angle 2, si a: < o, j- > o, dans l'angle 3, si X <. o, y <i ij. dans l'angle i, si x > o, y <. o.

I,'«bscîsse du point P sur l'axe orienté X'OX est appelée abscisie du point M ; l'abscisse du point IS sur l'axe orienté

FIGUBATIO!» CARTÉSIENNE DES FONCTIONS D*L'IIB VARIABLE 5o5

Y'OY est appelée ordonnée {') du point M. Du [K>int de vue de l'algèbre, l'abscisse et l'ordonnée sont des nombres. Géomélriquement parlant, ce sont des segments auxquels nous convenons de toujoura donner comme origine le même" point 0 ; l'abscisse et l'ordonnée sont donc déRnies par leurs exlrémiléx P et N.

Il résulte de ce qui précède qu'à tout système (ou couple) de valeurs de l'abscîsse et de l'ordonnée correspond un point et un seul, M, du plan. Réciproquement, soiL M un point quelconque du plan. Les parallèles menées par M aux axes \'0\, Y'OY coupent ces axes en des pointa bien déterminés N et P ; donc A tout point M du plan correspond un sj'stéme de valeurs bien déterminées de l'abscisse et de l'ordonnée.

L'abscisse et Vordonaée d'un point sont ses deux coordonnées. Les axes X'0\ — axe des abscisses on axe des x — et Y'OY — axe des ordonnées ou axe des y — sont dits constituer un système (taxes de coordonnées, auquel les points du plan sont « rapportés n. Le point 0 est appelé origine (du syslème d'axes ou des coordonnées).

637. Ces dérmitions posées, soit y =f{x) l'une quelconque des fonctions que nous avons définies et étudiées au chapitre n.

A toute valeur de la variable indépendante x correspond une valeur de la variable dépendante y; au couple des valeurs correspondantes ;r et y correspond d'autre part (si l'on se donne un système d'axes de cooidonnées) un point M du plan de ces axes. Lorsque x varie, le point M prend des positions variables; il décril{^) une ligne {ou courbe) ['), que l'on peut figurer approximativement en déterminant les positions du point H pour un très grand nombre de valeurs de x, et joignant par un trait continu les points obtenus : c'est là ce qu'on appelle i construire la ligne par

(■) Le mot ordonnée {ù'rdinala) était employé dans la théorie des eectioaa

coniques (voir § i) parles traducteurs d'Apollonius. On le trouvi', en français, et nvcc ion sens moderne, da^a^e Cowa maUiématique d'HEutcotte, t. VI, 1637, p. tin. — Le mot absci»se vient du latin : abscindere, couper. (') Du moins si la lonction >j = f,x] eat continue (n" Iç)**)- ("1 Exceplionnelloment, la ligne décrite par M peut etri; une droit» [a^Hn]; mnia, pour Bimplifier le langage, on prend d'ordinaire, sans tenir compte do ce cas, le mot cniirbe dans le bpus de ligne. On coneidère alors la droite comme un cas particulier de ligne courbe.

5o6 l'algèbre géométaiqle

points ». H Prenant — dit Descartes, qui considère dans cet énoncé y comme la variable indépendante et x comme la variable dépendante (*) — successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi înfmies pour la ligne x, et ainsi on , aura une infmité de divers points tels que celui

\ qui est marqué C, par le moyen desquels on

\ " \j- décrit la ligne courbe demandée {'). u

\ Que si, au lieu d'élre donnée sous forme

explicile, la fonction y de x est définie par une

'*■ ' '■ relation implicite P(x, y) ^ o, elle est encore

représentée par une courbe ; cette courbe se trouve caractérisée

par ce fait que l'abscisse X et l'ordonnée^ de l'un quelconque de ses

points satisfont à l'égalité f{x, y) = o (cf. 390).

638. — Ainsi i toute fonction correspond une ligne (que nous appellerons ligne ou courbe représentative de la fonction). VoilA, è cela près qu'il n'envisageait que des coordonnées positives et se bornait par conséquent à l'étude des courbes situées dans l'angle (') i delalig. 186, ce que montra clairement Descartes. Ce faisant (*), il clarifia définitivement ce concept mystérieux de la fonction qui était le support invisible et de toutes les combinaisons algébriques (r exposé de noire chapitre i a mis ce fait en évidence). Grâce à la iîgUFation cartésienne, tous les caracti^rcs, toutes les propriétés des fonctions allaient en quelque sorte sauter aux yeux. On n'avait qu'à regarder pour les découvrir.

I') Si l'on retourne ainsi le rûle des variables, la fonction représentée ■e trouve être la fonction x esi arg /((/), fonction inverse de /(x) [vide, n" Sg}]. Il est bien évident qu'une fonction /(xj et la fonction inv«rM ■ont toujours livrées par la même courbe.

(^j La Giomélrit, Liv. I, Œuv., l. VI. p. 38G.

(*) Descahtes retournait d'ailleurs la figure, en lorte que l'angle ■ était l'angle du bas à droite (fig. 187J.

(*) Il s'agit uniquement — ici et au paragraphe suivant — de ]& figuraUon des fonctions d'un« variable. On aurait une figuration analogue des fonctions de deux variables indépendantes, s = f{x, y] en considérant c = f{x, y] comme l'équation d'une surface rapportée à trois axe» de coordonnées {vide infra, chap. iv). Mais cette figuration, qui ne peut £tre réalisée graphiquement sur le papier, n« rendrait guère de services à l'algébrisle.

CARTÉSIENNE DBS FOSCTIOIfS d'uNE VAKIABLE 5o7

539. Représentation des fonotloiu simples pmr rapport ft des axes rectangulaires. — Pour réaliser et étudier la représentation graphique des fODCtioni d'une variable x, adoptons une fois pour toutes un système d'axes de coordonnées dans un plan. Nous choisirons — pour nons placer dans les conditions les plus simples — %^

des axes rectangulaires (perpendiculaires l'un sur l'autre). Nous donnerons de plus aux demiaxes OX et OY, eorrespondani aux abscisxes et p- ,gg ordonnées positives, une disposition relative telle qiCen faisant tourner OX <run angle droit autour du point 0 dans le sens positif Irigonométrique (sens de la flèche sur la fig. i88) on amlne ce demi-axe à eoJneider avec OY.

Les coordonnées d'un point rapporté à de tels axes sont souvent appelées coordonnées cartésiennes (').

540. — Gela dit, considérons d'abord un polynôme en x du premier degré, soit ax -h b (que je désigne par y), a et & étant

FiR. iBg.

deux nombres fixes arbitraires. Il est aisé d'effectuer la représentation graphique de cette fonction (*) par rapport eux axée cidessus dénnis.

1° Le polynôme y =^ ax est représenté par une droite qui passe par Foriijine 0 et fait au-dessus de Caxe des abcisses avec le demiaxe OX (in angle f tel que tg^ = a.

i'] On dit aussi : coordonniez reclangulairea. Si le* »xe« ne sont pas rectangulaires, ils sont dits obliques : lei coordonnées coirespondantei ■ont dites coordonnées obliques.

(*} Nous verrons au J a du chapitre iv que Fekiiat BTait indiqué cette reprcseDtation d'une manière très nettequelques années arant Dbscabtbs.

GtOUtTniQLE

En effet appelons Z'Z cette droite, qui sera (') dans les angles XOY et X'OY' si a =^ tg f est positif, et dans les angles \'0Y et Y'OX si a = tg f est négatif (fig. 189 on 190},

Quel que soit le point M que l'on cousidèie sur 07. ou OZ' on aura, en appelant P la projection decc point sur l'axe des x(n'>31B) :

or, les quantités PM, OP, tang MOP, essentiellement positives, sont respectivement égales àjjj, {^|, {tang ^|: donc

|5| = ""8 f *»« (') X = — '""S ? ■ observant, que pour toutes les positions possibles du point M sur jS'OZ, ^ et tg ç ont mAme signe [car les deux coordonnées x et y ont même signe ou des signes contraires suivant que tg ç >■ o ou tg ç <. Oj je conclus que l'on a dans tous les cas (') :

^ ~ tang ç -^ a.

La droite Z'OZ représcnlc donc bien le polynôme ax ; c'est y pourquoi, j'appellerai c«tle droite

" (Iroile y :^ ax » (').

a" Appelant P un point quelconque de l'axe des x, et M le point de la droite y = ax qui a [wur abscisse OPz^a:, ajoutons à l'ordonnée PM la longueur 6 si 6 >■ o, ou rctranclions en la longueur h', égale à — 6, si fc <; o. Nous obtenons ainsi un point M, ou Mj qui

1') Quel que soit le nombre relatif a, il existe un angto e comprit «ntre « et 1: doot la tanftcDte est cgalc i a. Cet angle est aigu

Vif.. .

I compris e

1 > I), oblun I

impris entre - et t:- si a < o.

; je veux dire que l'êgulilé a

(ï| Le signe i signifiant ; plus ou moin»; lieu aux signes pria.

(^) On arriverait plus rapidement à cette conclusion en se référant aux ■discussions relatives aux signes qui ont été déjà faites en trigonométrie (c'est ainsi que nous prorcderona au ohap. iv pour dpfinir les -coordotmces polaires).

(') -Nous dirons aussi (cf. cliap. iv) ; n droite d'équation y = ax 1.

FIGUHATIO.N CAHTÉ5IENXË DES FOSCTIO^S u'uNE VARIABLE Sog.

a pour coordonnées x cl y ^nx + b ou x ely ^ ax — 6' = ax^b:

Ainsi — cl la conslrBclîoti est la même quelle (jiie soit la position de la droite y = ax [droite Z'OZ] — le point Mi ou M, est un point de la courbe ou droite vc|îi<5senlative du polynôme

y =^ ax -\- b.

Eiïectiiunt la conslruclion pour diverses positions de P sur X'OX soit pour les positions P*. P', P" (fig. 192) [je fais la fi'jare en supposant ty; ç > o, 6 >■ o] on obtient des points M',, M',. M', qui sont tous sur une mt'/ne droite parallèle à la droite y =^ (ix [car lesfiguresM'M'M\M',.M'M'*M',M: ""• "•"'

sontdesparallèlogrammes]. Ainsi la courbe représentative du polynôme ax ~i- b ou y ^ ax -{- b est une droite parallèle à la droite y ^ ax. Nous dirons que cette droite est « la droite y = ax + 6 ».

541. CoeUloient angaUîre. — Le nombre a est appelé coejjicient amjulalre de la droite d'équation y ^ ax -v- b. Ce nombre n'est outre que le nombre, tan^ f, considéré plus haut, c'est-à-dire la tangente de l'angle aigu ou obtus que fait le demî-axe 0\ avec la parallèle menée par 0 à la droite considérée (au-dessus de l'axe des x), ou — si l'on veut — la tangente de l'angle aigu ou obtus que fait le même demi-axe (prolontjé) avec ta droite considi-rée, audessus de Faxe des x [ce nouvel ang^le est égal au précédent d'après le n" 169].

&42. Représentation du trinôme du second degré. — Soit y =^ ax' -h bx -i- c le trinôme considérù(']. On démontre les fails^ suivants (voir la démontration nu cliap. iv) :

La courbe représentative da trinôme est une parabole ayant son axe parallèle à taxe des y et pour sommet le point d'abscisse

{') Voir, s

-Sio l'algèbre géométrique

et d'ordonnée c — t- : les branchesC) de cette parabole sontdîrigéesverBlehaut(3flnsdeOY)ouverBlebas(sens de OY') suivaat que <>:> oou a-< o. D'où les divers cas de figures possibles (sur les figures ci-contre nous ne figurons pas l'axe Y'OY qui se trouve à droite

ou k gauche de l'axe de la parabole suivant que •< o ou

On voit que la courbe rencontre l'axe des x en deux points — el, par conséquent, que le trinôme a deux racines (valeurs de x

pour lesquelles y=iO) — si c — Â^ ^' ** **"" ^^ signes contraires, donc si le produit de ces quantités est négatif, donc si 4ac — b' ■< o ou 6* — tiae > o. Dans le cas particulier où l'on aurait àac — b* = o, la courbe serait tangente à l'axe des x au point d'abscisse — m ®' '* trinôme aurait une seule racine (double, voir n° 338).

543. -~ 11 est facile de se rendre compte de la forme approximative de la courbe avant même de savoir qu'elle appartient au ^eaxe parabole en raisonnant comme il suit :

(') On dit que U f concavité de la courbe > est dirigée vei lils dans le premiar caa, ven les y négatif» dans le second c

piat;RATio:( cartésienne des fonctions d'une variable 5it D'après l'identité (XVI) du n" 306, nous avons

Plaçons-nous dans l'hypollièse où a > o.

Lorsque x est négatif et très grand en valeur absolue, il en est

de mime de œ -<■ — ; donc le carré (^ + ^ ) «at positif et très grand ; ce carré ne cesse de décroître, k partir (') de + oo , lorsque x décroît en valeur absolue; il en est donc de même de son produit par le nombre positif a, et de même aussi de son produit par a, moins un nombre constant. Donc y décroît, & partir de + oo ,

jusqu'à ce que la valeur absolue de a; + — devienne nulle, c'està-dire jusqu'à ce que x = — — ; cette valeur de x est un minimam pour la fonction j*! qui prend, à ce moment, la valeur — ^ — t.

On constate de mAme que^ lorsque x crotl de — — à -H », y va en croissanl jusqu'à + oc .

D'ailleurs il résulte de l'égalité (i) que deux valeurs de x égale*

ment distantes de [c'est-à-dire deux valeurs s^ et x' telles que

x' — ( — \ ^= ( I — x'] fournissent la même valeur de y.

Donc la courbe représentative du trinôme est symétrique (n° 176) par rapport à la parallèle à l'axe des y et menée par le point correspondant au minimnm.

544. Résolution de rinAgalIti du Mooud dsgré. — Soit proposé le problème suivant : Trouver les conditions auxquelles doit satisfaire le nombre x pour que ton ait

(a) oc» -I- 6i -1- c > o.

a, b, c étant trois nombres donnés. La résolution de ce problème «st facile si l'on se réfère à la représentation géométrique du tri-

5l-2 L'At-StlIRE ulouétiiique:

Supposons [lour fixer les idées que « soil positif cl dislinguons entre les trois cas suivants :

1° /i' — 4ûc ■< o : le tiinome, alors n'a pas de racines, et la parabole représentative est toute entière au-dessus de l'axe des x, (i" fig. 193) ; donc le trinôme, égal à l'ordonnée y. est i osilif pour loalc valeur de x, et Vinàf/alilé (a) est toujours satisfaite ;

2" 6' — fiac = 0 : en ce cas la courbe touche l'axe des x an

point X ^ et est au-dessus partout ailleurs : donc Cinéija-

lilè (a) est vérifiée pour foule râleur de x, exception faite pour la vcdeur x ^^ — -- , pour laquelle ax' + bx -t- c ^ o;

y II* — !\ac > o; en ce cas la parabole a la disposition représentée par la 2* figure iq'i : l'ordonnée y est négative pourles valeurs de x comprises entre les racines x' et x", positive pour toute autre valeur de a; ; donc \'inéi/ulilé {2) est vérifiée pour toutes les valeurs de x,tjui sont extérieures à l'intervalle x', x'.

On discutera de la même maniera le cas où le premier coelTîcient du trinôme a, est ncgalil'.

L'inégalité ux' + bx -i- c <.o se trouve i-ésolue en ni&mc temps que l'inégalité (a), puis(pie les valeurs de a: qui la vérifient sont celles pour lesquelles l'inégalité (-j) n'est pas salisfaitc.

S45. Comparaison d'un nombre donné aux raoineB d'une équation du second degré. — C'est lili une question qui se pose à l'occasion de nombreux problèmes. Etant donné un nombre X et une équation du second degré ax' -i- bx -t- c ^= o, dont les racines x' et x' sont supposées exister, mais n'ont pas été calculées, comment reconnaili-e rapidement si le nombre X est compris entre les deux racines, ou plus |)elit que la plus petite racine (soit x') oa plus grand que la plus grande (soit x') ?

On peut ré^iondre immédiatement à cette question en calculant la quantité a).' -H W. ■+■ c, valeur du trinôme pour la valeur X de x.

En elTot, supposons d'abord a positif. L'équation étant supposée avoirdoux racines ar'.ic', nous sommes dans lecas de la a° figure ig'i : on voit qu'une valeur de x it laquelle correspond une ordonnée négative est nécessairement intérieure h l'intervallo x, x'.

En raisonnant de même sur le cas de la 4" figure igS (a négatif) on parvient à la conclusion générale suivante :

irBATioN cautésie^nc des kosctions d'ubk variable 5i3

Le nombre X est compris entre les racines da trinôme ou extérieur à l'intervalle de ces racines suivant ijue la quantité ai.* H-6X-HC a le même si<jne que a ou le signe contraire.

DaDs le cas où le nombre î. est extérieur à l'intervalle x', af. il sera évidemment plus pelilijuca;' ou plus grand que x' suivant qu'il sera inférieur ou supérieur à In demi-somme des racines (')

- — ; — . Or cette demi-somme a pour valeur — — , et l'on pourra toujours lui comparer ). sans êlrc obligé, pour cela, de faire le calcul des racines x' et x'.