Fonction âéllniedans un intervalle (cf. 391). BranohM

de fonction (cf. 396). — Dire qu'une fonction est déGoie dans un intervallea, 6, c'estdire que la courbe représentative est définie pour les abscisses comprises entre deux valeurs a et b, et par conséquent entre les parallèles à l'axe des y menées par les points A. et R de taxe X'0\, extrémités des abscisses a et b (fig. 197).

(1) S'il n'en était pas ainsi, la fonction /,x, y) se trouverait Stre poii' tive ou nulle pour touUa ie» positions du point M dans le plan. Or on démontre que cette drconitance ne peut se présenter pour aucun polynôme.

'algèbre GÉOHÉ'fllIQVE

Une fonclion — explicite ou implicite — y de x sera regardée comme ayant plusieurs branches s'il y a des droites parallèles à l'axe des y qui coupent la combe représentative en plusteiiis points [traduisons : s'il y a plusieurs points de la courbe qui ont même abscisse, oh. en d'autres termes, si à une même valeur do x (dans certains inleivalles tout au moins) correspondent plusieurs valeurs dc^ (n° 395)]. Api>elons M] et Ma deux points d'une même courbe représentative ayant même abscisse (segment OP) : lorsque l'extrémité, P, du segment-abscisse, se déplacera sur l'axedes x, chacun des points Mi et Midccrira une bi'anche de la courbe (Qg. 19S).

Fi(!. 197. f-6- 'a»-

Exemple. — La fonction y = y'i —x»[définie par la relation x' -h r' — i = o. n° 647| — ou. pour parler géométriquement, la courbe qui représente cette (onction — a deux branches, runeaii-f/eMUsdel'axedesa:, V aiiire ait-dessoas : les deux branches se rejoignent sur l'axe des x aux points d'abscisses -t- i et — i.

B61. Intervalla» où la fonction n'«xist« pas. — Si aux valeurs de X situées dans un certain intervalle a, b, ne correspond aucune valeur de y, la /onction n'existe pas dans cet inlervalle : il n'y a alors aucune branche de courbe entre les parallèles à l'aie des y menées par les extrémités des abscisses a et fc; et réciproquement.

Ainsi à la retalion implicite x* -h y* = 0 ne correspond géométriquement qu'un point, l'origine des coordonnées : en effet la fonction y = \/ — x^ n'existe que si 3: — o (pour toute autre valeur de X, — x' n'a pasde racine carrée).

tiB2. Continuité. — Lacontinuité — telle que nous l 'avons caractérisée au n" 398 — est un attribut essentiel de la notion de courbe

l'étude graphique CBS FOSCTIORS b'usE VABIAnLE 617

géomélriquc : une fonclion de x sera, par dénnilion, une fonction continue dans un intervalle, sï la courbe ou brandie de courbe correspondante peuf êlre tracée d'uit Irait continu et si, d'autre part, elle ne coïncide, dans aucune de ses parties) avec une parallèle k l'axe des y (un segment parallèle à l'axe des }- à la dislance a de l'origine représenterait, en cITet, une l'oiiclion qui, pour la valeur a de X, sauterait d'une valeur a une autre) (').

583. Pftles et inllnis (cf. 398). — Si une branche de fonction devient infinie lorsque X, variant avec continuité, atteint une certaine valeur (finie) œ,, ta branche de courbe correspondante s'éloigne indéfiniment en se rapprocbani de plus en plus de la parallèle à l'axe des y menée par l'extrémité de l'abscisse x^ : elle est dite asymptote à cette droite.

Si la fonction y =f[x) existe pour des valeurs de x situées de parte! d'autre de la valeurdex„(quîeslun/)^/îoui;yî/(i,voir398), il y a deux brandies de courbes asymptotes à lamtîmcdroite.à gauche et à droite, comme il arrive dans l'exemple que nous avons considéi-c au n" B49)(').

Voici, d'ailleurs, d'autres cïempicsde fonctions qui présentent des pAles ou infinis.

Fonclion ('] y iz^ -' ' \-,-^—\ • Cette fonction devient infinie

(présente un pAle) lorsque x prend l'une des valeurs o, i, a qui

annulent le dénominateur. La courbe représentative a la forme

représentée par la figure 199: elle a des branches asymptotes à

l'axe des y et aux parallèles à l'axe des y menées par les points

d'al

(') Nous verrons en géométrie analytique qu'u: a pour équation x ^ a : H ne lui correspond auci

I*) Plu» gcnétalement la fonc dant les coefficients a, b, c, d sont des nombres quelconque», est représentée par une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axei de coordonnées.

(') On peut écrire (en eltectuant l'opération indiquée au n° 374)

5iS

l'aU^BRE GÉOHÉTalQDB

Fonclion y = -j , Cette fonction a un pôle pour a; ^ o ; mais, à l'inverse «les précédentes, elle ne saule pas de -+- oo à — » lorsque x traverse la valeur o : elle est en effet positive pour toute valeur de x : la courbe n l'allure représentée par la figure 30o (').

664. Dérivée : cofitUcient angulaire de la tangente A la oourbe repréBeutatlve. — Nous avons défini au, g ^ du Chap. ii, u la dérivée d'une fonction de x » pour une valeur quelconque de la variable (pour laquelle la fonction est supposée définie, continue, univoque). En vue d'interpréter géométriquemcnl celte dérivée, reportons- nous à sa définilioD.

(') Les circonaïaucei que nous venons d'indiquer se prcienteront pour touti-8 les fonctions ralionnelles de n. Considérons, en effet, une fonction rationnelle quelconque, décomposée soui la forme (î| du n* tyi ; les pAles de la fonction sont évidemment les valeurs de x qui annulent le* dénominateurs des fractions simples figurant dam la décomposition, c'est-à-dire les valeur* x,, x,, ... x, du n" 374- Envisageons l'une quelconque de ces valeurs, soit x,, qui est supposée racine d'ordre a, de A[a!j. L'identité du n" 374. nous donne d'après la note i de la page &;(«,

Blx]

oii tous les termes entre crocheta «ont nuls pour x = x, fcf I, 9, p. 6-7, note). On en conclut que pour les valeurs de titrés voisines de Zf 'a

[et par conséquent, 1

d'un polynôme P^x), qui

, la somme de cette fraction et valeur finie pour x =^x,] a pour signe le signe de la traction fret grande en voleur ahmlue ^-* — . En

(X~Xy) '

conséquence, la fonction saute de -f- œà — sa (comme dans le cas de la figure 11)!)) ou conserve au contrnire le même signe [comme dans le cas de la fig. aoo) lorsque x traverse le pôle.

l'étude GnAPHiQDB DES FOscTions d'une variable 519

Soit M le point de la courbe représentative qui a pour absciiK X, et j- l'ordonnée de ce point. [Conformément i la remarque faite au n' 407 jo désigne par x, sans indice, une valeur quelconque de l'abscisse; sur la ligure je suppose, pour fixer les idées, 3c>o, y>o], A l'abscisse x -t- Sx voisine de l'absdcse X (voir pour les notations, le n" 407) correspond une ordonnée y -(- iy et un point M, de la courbe. Appelons P le point de coordonnées X ■+■ \x, y ; puis menons la droite M, M et proiongeons-la jusqu'à l'axe des X. Sans le triangle rectangle PMM, , nous avons (n' 21B) :

, en appelant f l'angle M,MP, égal à MN\, qui e»l (voir n* 641 ) le coefflcienl angulaire de la droite MM,.

Supposons maintenant que nous donnions k l'accroissement Aa; des valeurs de plus en plus petites (cf. n° 407). Que devient alors le triangle PMMj [appelé par \.a\haa triangle caracléristique\ et en particulier la droite MM, ? Cette droite coupe la courbe au point M et en un point M, qui est de plus en plus rapproché de M : à la limite. M, vient se confondre avec M et la droite ne rencontre plus la courbe (au voisinage du point M) qu'au seul point M -. elle la touche sans la traverser; elle est, dirons-nous — en reprenant une expression qui a été employée de tous temps dans la ibéorie des sections coniques — tangente à la amrbe.

D'une manière générale nous appellerons tangente k une courbe au point M {point de contact) la position-limite MT que vient occuper une sécante MM, (coupant la courbe aux points M et MJ lorsque le point d'intersection M, se rapproche indéfiniment du point M el vient co^lncider avec lui.

Supposant prouvée l'existence de la tangente ainsi définie, noua pouvons dire que, lorsque \x tend vers ïéto, le coefficient angulaire de la droite MM, admet une limite, r/uîestle coefficient angulaire de la tangente en M à la courbe.

En d'auU-es termes, la dérivée d*anfl fonction, poai ane Talent

5^0 l'algèdre géométhique

QaeloonQne de la variable, est le ooeffloient angulaiie de la tangente géométrique (') i la conrbe représentative, menée an point tni oorr«spond à la valeur considérée de l'abacisse.

555. — Dire qu'une fonction admet une dérivée pour une valeur X de la vaviable, ou dire que la courbe représenUitivc admet ^ une tan^nte ou point M (coiTcs|X)ndant

à l'abacissc x), sonl deux pro^iosilioni» équivalentes, [l'ai la seconde pioposiùoit il faut entendre expressément que la sécante MM, (supposée prolongée) pren^ la même position-limite TMT' lorsque M, se rapproche indérmiment du [>oint M sur fun ou tautre des arcs de la courbe P'S' ""■ qui aboulment au point M (i droite ou k

gauche, figure 202)].

Cette condition se trouve satisfaite, pour toutes les fonctions — ou courbes — continues qu'étudie l'algèbre classique, et il esl clair, d'ailleurs, que, si nous clierclions à nous repivueiiter une courbe, nous ne {louvons guère l'imaginer que comme une ligne ayant tout de son long des tangentes (sauf pcut-éli'e en certains points exceptionnels).

Et, pourtant, nous verrons plus loin que le fait d'admettre une dérivée n'est point, malgré tout, un attribut nécessaire de la notion de fonction : on peut par certains procédés algébriques défmir des classes de fonctions continues qui ne possèdent point .de dérivées. Mais ce sont U des cas exceptionnels qui n'amoindrissent nullement l'importance considérable de la proposition du n" 554. Eu rattachant la défmition de la dérivée à une notion géométrique aussi simple et claire que celle de tangente en un point d'une courbe, nous donnons à la théorie de la dérivation la base solide dont elle avait besoin pour se constituer définitivement et jouer en algèbre le rôle de premier plan que le Cliap. u a mis en évidence,

I/élude arithmético-algébrique des accroissements Ax, \y et de

(') Noua dÎEOas 1 géomÉtrique > pour distinguer la tangente ci-desaus déiinie, qui e>t une droïLe, do la laiigenU trigonométrique qui est un nombre.

l'étude graphique des foïctio^s d'uxe variable Sai

leur rap[)ort devait nécessairement |>aral(re un peu suspecte aux mothémoliciens du ini' siècle qui n'étaient pas comme nous liabitués ù raisonner sur des quantités infiniment petites. Toutes les di&icultés, disparaissaient, par contre, si l'on donnail'à ce rap-

|)ort - '- >in sens géométrique précis par le moyen du triangle caractéristique (554). Tel fut le point de dépari de Lcibnii;, et c'est là ce qui lui valut d'être consîdéi-é, au aviii" siècle, comme le père de la théorie des déiivées ') ; le succès de sa méthode (') tient

('1 Vide, p. Ufi et 4oo, note».

I') Dans une lettre adressée A Tschihnbavs (f) décembre iQ^çi ; ap B-efivechiel mit Malhematiktrn, id. GcnnAnDT, p. ^l>■^ sqq.\ Leismiz explique comment il fut conduit à sa « méthode du triangle caractériitiquo >. Il a lu les traitée géométriques de Pascal — dont il a particulièrement subi l'iiilluence — ot y a trouvé, à propos dun problème spécial, l'idée première, nun développée il est vrai, du trianglo caractéiiitique. Pourauivuiit st-3 éludes et set rétlcxions il étudia la eéométrio carté~ Bienne : i ccepi (juairere raodum GNprimeodi loca [lieux géoniéiriquet, vide, u° ■i.\t\ seu curvas per calculuni, ol tum primum intellexi en qus CartesiuB scribit. Nam antea solcbam calcutars raeo more, adhibilis non litteris led nominibus linearum. Tum primum igitur Cartenum et Schotenium attciiLo legi, hortanle Hugenio qui mihi diccbat moduni calculandi ab ipsis adhibitum cïse coinmodioreat. Ego interea, operto semel characteristiei trianguli aditu, faciltime iunumera tteoremata invcniS' bam quibus plurimas tune chartas adimplevi ; ged pleraque postea rcperi etiam Heuratio, Gregorio et Barrovio iunotuisse i. E ITe cl i ventent, van Heuhaet, puis Greciory dans aa Geometriie pars univeraalis [i6fî8) et surtout Baubow, dans ses Lectiortes Geomeiricee (1(169-70', avaient traité de nombreuses questions, que nous résolvons aujourd'hui à l'aide des dérivées, et qui ge ramenaient alors à la détermination géométrique des tangentes à uuo courbe donnée. Newton (à l'instigation duquel Barrow dit avoir rédige lu part'e de son livre qui traite spécialement du problème des tangentes) partit de là pour fonder sa méthode générale des ftttxioru ou dérivées.

Plus do trente ans auparavant, Fermât avait proposé une méthode algébrique pour la résolution du problème des tangenles, méthode à laquelle Leibniz et Kewton ne font que rarement allusion dans leuTS premiers écrits, mais où l'on trouve cependant la conception très nette de la dérivée et du triangle caractéristique. Celte méthoile est indiquée dans un putit écrit, Melhodiu ad diaquirendam maximam el minimam, qui tut communiqué à Descartes par Meraenno en janvier H>'<8 : ii s'agit tout d'abord de déterminer d'une manière générale lu ou les valeurs de la variable indépendante qui rendent une fonction maxima ou minima [voir le n" fifili] ; la recherche des tangentes [De langentibus curvarum linearum] Bepréseiile comme une npplicalion de ce problème général. Descattes, trop absorbe dans l'application de ses propres méthodes, ne

533 l'\LGÈBSE SÉOMËTlUQtnt

prindpalemeat k ce fait qu'il ae réfère directemeat à la Ggaration cartésienne des foacUoDs et que sa théorie apparaît ainsi comme an prolongement naturel de l'élude générale des foncticHis d'une variable instituée par la Géométrie de 1637.

6S6. Signe de la dérivée. Haxima et minima (Cf. 419- —

Les axes étant disposés comme sur la ilgurc ci>contre il est facile d'interpréicr les propositions du n" 419. Si, pour une certaine valeur de la variable, la dérivée est positive, la fonction est croissanle : donc la courbe monte lorsque l'extrémité de l'abscisse se déplace vers la droite ; si la dérivée est négative, la fonction est décroissante, la courbe descendante (comparer n' 543).

y Si la fonction présente un maximum

pour une valeur x, de l'abscisse (la dérivée étant nulle et la dérivée seconde, y, négative (voir n° 419), la courbe, "i "' " de montante qu'elle était, devient des-

cendante ; la tangente (jféométrique au *■ ' maximum (c'est-à-dire au point M

d'abscisse x,, fig. 3o3) est horizontale [parallèle à Taxe des x), puisque son coeOicient angulaire (égal à la dérivée) est nul.

Si la fonction présente un minimum pour a: = Xa (la dérivée étant nulle et la dérivée seconde positive) la courbe a encore au point M d'abscisse Xï une tangente parallèle à l'axe des x.

Si pour une valeur x, de x, les dérivées première et seconde, /et/ sont toutes deux nulles, la dérivée d'ordre trois, y", étant non-nulle, nous avons vu (419) que la fonction ne présente pour X = X| ni maximum, ni minimum ; elle est croissante ou décroissante suivant que /"(a:,) ■< o ou ^"(ic,) > o : en ce cas la

comprit pat la pensée de Fermât et adrews à ce géomètre les critîquB tes plus injuitei. Le traité de Fermât ne fut imprimé qu'en 167g «t n'exerci pour ainsi dire point d'influence. Cependant il n'est pas prouvé que Leibniz ne l'ait pas cannu.

La méthode employée par Descautes, dam sa Giomilrie, pour déterminer algébriquement la tangeate à une courbe, n'Mt point immédiat»ment liée à la notion de dérivée, et nous ne nous en occupertmi pas. Nous laiBscroiia également de câté la méthode de Roberval qui est fondée sur des propositions de cinématique

L'ÉTt'DE GRAfiUQtJE DES FONCTIO^IS D'u^E VARIABLE 5a3

-courbe a toujours au point d'abscisse a:,, un6 tangente parallèle k l'axe «les x (puisque ylx,) ^ o), mais elle traverse cette tangente, continuant de croître ou de dé- y croître (voir Eg. 304). Un point où la courbe traverse ainsi sa tangente est dit * f)oint (T inflexion ».

5S7. Application : «Inuaoïde. — "

Considérons la fonction y =^ sin x. Elle s'annule pour les valeurs o, n, art, ... et — jr, — 27t. — 3n de la variable : donc la courbe représentative coupe l'aie des oraux points d'abscisses..., — HTi, — 7t, o, t:, 2]t, ... (puisqu'en tous ces (TOÎnts l'ordonnée est nulle).

D'autre part, nous avons /(x) = cos x et y'{x) = — sin x [dérivée de cos x]. La dérivée s'annule pour les valeurs de x :

[puisque pour ces valeurs le cosinus est nul]. D'ailleurs on a :

sin - ^ 1 , sin — ^ — 1 . sin ( - -|- ar | ^ i , . , . etc. ;

d'où l'on conclut que la déiivée seconde, — sin x, est : négative pour les valeurs

'' •+■ aTT, -' H- IfT, ... et f — a::, ...

positive pour les valeurs

donc la courbe représentative présente des maxima aux points correspondant aux premières de ces valeurs et des minima aux points correspondant aux secondes. Aux maxima l'ordonnée est

égale à I [puisque sin - ^^ i, etc.]; aux mi'ni'nia elle est égale à — i.

De IJi résulte que la courbe a l'allure représentée ci-contre. Elle

est indéfiniment prolongeabic dans les deux sens et ses boucles, qui

l'ai.gbrre géouétiiique

se succèdent sur la figure à des intervalles de longueur ^n, ont loutes exaclenieut même forme et même dimension puisque, quel que soit le nombre x, on a sin (x -+■ 27t) = sin x.

La courbe repicsentativo de la fonction sin x est appelée sintisoîtle.

Le cosinus est représente par la mi^me courbe géométrique, mais difléremmeut placée par rapport aux axes de coordonnées (').

558. Courbe exponeatlelle. — A l'inverse de la sinusoïde, la courbe qui roprésenlc la fonction e^ (n° 429) ne pi-ésente aucun maximum ni minimum, puisque ta dérivée e^ ne s'annule pour aucune valeur de x. La courbe est toujours montante (l'ordonnée varie de o à + x ) et a l'allure indiquée par la fig. 206.

y Elle coupe l'axe OV au

point A situé à la distance f (unilé de /o/ijuftir) de l'origine puisque pour a; ^ o, l'ordonnée e" a pour valeur 1 .

Elle est appelée courbe cxponenlielle.

Suivant une remarque que nous avons faite (p. 5oti, note 1), la mâme courbe représente la fonction de y, x =^ log y ou Ly, inverse de la fonction y ^ C. D'où une inétliodc graphique permettant — nne fors la courbe construite — d'obtenir immédiatement le logarithme népérien d'un nombre quelconque. Désignant par N, sur l'axe OY

(') On le constate en rappelai

l'étude graphique des FO:4CTio'fs d'une variable 5^5

l'exlMmité de l'oidonnëe égale au nombre proposé, menons par N la prallèlo à OX, qui coupe la courbe exponentielle en uu point M : le logarithme da nombre est l'abscisse l = OP ilii point M.

Kn appliquant ce procédé grapbiqiie, on aperçoit imniédialcment sur la figure les propriétés suivantes des logarithmes {vîile n° 146) : Seuls les nombres positiTs (flores par des jxiint de OV audessus de l'axe des x) ont des logarithmes; — le logarithme est positif ou négatif suivant que le nombre est supérieur ou inférieur à I ; — le logarithme de o est infiniment grand négatif.

569. Etude de la variation d'une fonction. — En résumé l'étude de la u variation » d'une fonction univoque porte principalement sur les points suivants : i° détermination de l'intervalle ou des intervalles oîi la fonction existe [si la fonction existe pour toutes valeurs de x, on dira qu'elle existe dans l'intervalle — ao , -^ oo ]; 2° détermination des valeurs de x (s'il s'en trouve) pour lesquelles y devient infini ; étude de l'allure de la courbe au voisinage de ces valeurs (n'SSS); 3* détermination exacte (ou, à défaut, approximative) des maxima et des minima qui séparent les intervalles où elle est croissante ou décroissante ('); délermination (exacte ou approchée) des valeurs prises par la fonction en ces maxima et minima ; 4* tracé de la courbe représentative. C'est par cette série d'opérations que l'on parvient par exempte à la courbe représentée par la fig. 199 que nous avons considérée au n° 563.

B60. Dérivée Infinie ('). — .\ppelnns y' la dérivée de la fonction y =: /C^)' ^' voyons ce qu'il advient si cette dérivée prend une valeur infinie pour une valeur isolée, Xt, de la variable. Nous supposerons qu'au voisinage de cette valeur, la courbe représentative présente — comme il arrivait dans le cas étudié au n" 6S4 — une branche unique et continue.

(') Si la fonction, ou plutBt la courbe représentative, présente dea points d'intlexion pour lesquels y' et y' sont nuls, on dclermincra ces points par la mime occasion. La courbe peut d'ailleurs présentera 'autre* point* d'inflexion où la tangente n'est pas parallèle à l'axe des x (points où y' » o, !/' ^o] : noua parlerons ullcrieurement de ces points 'cbap. iv).

( ') Voir nu chap. iv, J ti la discussion complète à laqucllo donne lieu la définition de la dérivée d'une fonction algébrique.

5^6 h'\UiÈBR£ r.ËOMÊTRigUE

Considérons alors un point M de la courbe que nou» rapprocherons de plus en plus da point Mo correspondant h l'abscisse j^g- Lorsque la valeur absolue de / est arbitrairement grande, la direction de la tangente définie au n° 654. ayant un coefficient angulaire arbitrairement grand — se rapproche arbitrairement de la direction parallèle à taxe des y. Noo» en concluons qu'aux points de la courbe représentative oA la dérivée a une valeur inouïe, la tangente à la courbe est parallèle à taxe des y.