Etude graphique des équatloas. Méthodes d'approximation

571. — Considérons la courbe représ«ilative d'une foDc^on y =/(a:). Aux valeurs de x ponr lesquelles /(x) est nulle correspondent dfs points de la courbe d'ordonnée nulle, donc des points situés sur l'axe des x. Par cooséquent la recherche des racines de

536 l'a.lgèbre géométrique

réqualionf{x)= o revient à la détermination des points de rencontre de l'axe des x avec la courbe représentative def{x).

Partant de cette remarque, dous allons nous servir de la figuration de/(x) pour compléter les résultats auxquels nous a conduits l'étude algébrique des équations.

573. Théorème de Belle. — Lorsqu'on ne peut pas calculer la valeur exacte d'une racine inconnue d'une équation, il convient d'en chercher une valeur approchée : on s'efTorcera donc de déterminer un intervalle a, (i qui comprenne sàrement la valeur Ç de la racine cherchée (c'est-à-dire soit tel que a < Ç < ^), et ne coa- Uenne d'ailleurs aucune autre racine de l'équation.

Les valeurs a et fi (extrémités de l'intervalle) sont deux valeurs approchées {') de |, l'une par défaut, l'autre par excès : nous dirons que « est une limite inférieure, et ("B une limite supérieure de la valeur ç. Plus l'intervalle ce. jS sera petit, plus grande sera l'approximation avec laquelle il déterminera l'inconnue £.

La recherche d'inlervalles a, (i aussi petits que possible comprenant chacun une racine et une seule d'une équation donnée quelconque, algébrique ou transcendante, se trouve être ainsi le problème fondamental d'où dépend la résolution approiîmative des équations. Ce problème fut approfondi par les algébristes de la fin du xvii* siècle.

Dans le traité [•) qu'il publie en 1690. Michel RoUe insiste, le premier, sur la relation qu'il y a entre les racines d'uneléquation /{x) = o et les racines de l'équation /' (x) = o {équation dérivée dirons-nous, cf., 431). Si /(a:) est un polynôme, f'{x) est un polynôme de degré moindre; il y a donc avantage à ramener, comme le fait Etoile, l'étude de l'équation proposée k celle de l'équation dérivée. D'ailleurs les remarques de Rollo permettent de ramener h son lour l'étude de l'équation /' (œ) ^ o à celle de l'équation de degré moindre /"(x) ^ o ; et ainsi de suite. D'où le nom de cascades (') donné par Rolle k la suite des équations

{') C'est pourquoi Bolle les appelle des AypotMses (ouv. àté à la note suivante ; liv. second, chap. ni, p. io3|.

(*) TraiU d'algèbre ou PrinciptM gtniraux pour résoudre Im question* d« mathématique, par M. Rolle, Paris, 1690.

{'] Loc. cit., liv. second, chap. vi, p. laS.

ÉTUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODES d'aPPROIIMATIOS 537

y ^x) ^ o, f{x) ^ o,que l'on est amené à considérer |>ouf étudier l'équation f{x) = o.

Le théorème londameolal énoncé par HoUe peut élre formulé en ces termes :

Sohf(x) une fonction qae F on considère à C intérieur d'un intervalle a, b, oà elle est continue ainsi que sa dérivée J' [x). Entre deux racines consécutives (') a et ^ de la dérivée, appartenant à f intervalle à, b, il existe aa plus une racine de la fonction. — Entre deux racines consécutives de f{x) [dans C intervalle a, fc] il y a au moins une racine de f (x).

En effet, par hypothèse, lorsque x croit entre a à j3, la dérivée /' {x) ne s'annule pas, et conserve donc le même signe ; la fonction ne cesse pas de croître ou de décroître : donc la courbe repré-

Jn.

Fîg. 114. Hg. ai5.

sentative ne peut franchir qu'une fois l'axe des x ; pour savoir si elle le franchît ou non, il suffira de voir si ses extrémités sont de part et d'autre ou du mËme côté de l'axe des x, — c'est-à-dire si J{(t) etf{p) ont des signes contraires (comme sur la fig. ai^) ou le même signe (comme SUT la fig. ai5). Si /(a) oa f(fi) était nul, — c'est-à-dire si le nombre a ou /S était racine de f{x) — la courbe ne pourrait en tout cas pas rencontrer l'axe en un second foint d'abscisse comprise entre a et |9 (*).

Considérons, d'autre part, deux racines consécutives de f{x) : il y a sûrement entre elles un maximum ou un minimum [donc une racine de/' (x)], puisque la courbe, suivie avec continuité d'une racine à l'autre, part de l'axe des x pour y revenir.

573. Remarque. — Il résulte du théorème de RoUe que si une équation de degré n a n racines réelles, x Xn, l'équation déri-

(<) Par iraciae de f',x] inous entendons < racine de l'ëqualïon /,x) = o> ' {et. 3&()). — Deux racines eonaêcutive» sont deux racine* entre lesquelles ■M s'en trouve lituée aucune autre.

i>) Le nombre i ou % est d'ailleurs, en ce cas, racine multiple de f(x]. jVoir n» 431].

538 L'ALOisHB G£(»ltaltIQDB

vée a aussi toutes ses raâaes réelles, celles-ci étant respectivement situées entre les racines de l'équatiou primitive. Eo eSst, dans chacun des intervalles (x,, x,). (x,, z,), ..., {x,^,, x.), qui sont au nombre de n — i, il y a une racine de l'équation dérivis : ce qui donna n — i racines réelles de cette équation ; elle n'a pas d'autres rai;Ines puisqu'elle est de die^é(') n — i.

S74. Séparatlou des raolnaa d'une équation. — Supposons que noDs sachions calculer toates les rarânes réelles def[x) situées dans un intervalle a, b oh f(x) et /'{x} sont continues. Appelons-les a, p, '/, ... )., et calculons les valeurs /(a), ^(a), .... f{b) — valeurs de la fonction pour x ^ a, x = «, etc. — de manière k connaître leurs signée. Chacun des nombres a, a, ... i. u fournira o ainsi, — à moins qu'il ne soit racine de/(a;) — l'un des signes + ou — . Cela fait, il résulte du théorème de Rolle (*) que chacun des intervalles (a, a), {a, fi), ... ()„ b) contiendra i ou o racine de f{x) suivant que ses extrémités fournissent ou non {') des signes contraires.

Sur la figure aif>, par exemple, lea signes correspondant aux nombres de la suite de IkiUe s<Nlt :

L'éqnation présente i racine dans chacun des intervalles {a. ce), a, fi), {&, 6) et o racine dans les inlervallea (j3, y), \'/, &) {*).

{'] Lh dériva d'uD polynôme de degré n, toit a„«" + ... + oar, + x, eat, on le tait, un polynoma de degré n — i, savoir n.a„x''~^ + . + «[.

{<) La déduction est immédiate pour les intervalles |i, 3), (^, 7), etc. Pour ce qui est de J'intervaMe (o, i) [ou |X, bl] obaervoDi d'abord qu'il eantieat au pbi* une racine (car s'il en ooDtenait deux, il y aurait entn elles une racine de la dérivée d'après la seconde partie du théorème de Rolle) : donc il en contient une on sira luivant qu'entre a et s ta courbe coupe ou non l'axe des x.

|>) Dani le cas particulier oà l'une dos extrémités d'vn intervalle (a, ^) est racine de {{x), il n'y a, noua l'avons dit, aucune autre raciike dams c«t intervalle.

(*) Considérons encore, pour prendre un exemple numérique, l'équation du troisième degré

f{x) = T^ — 3a + 1 = o ; fix)= 3i*— 3 = 3(0!' — r).

Les racines de la dérivée sont — 1 et + 1. Envisageons alors llnter-

£tDDE graphique des ÉQOATIOaS. IliTBODSS D'&PPnOXIHATIOTI 53g>

I>a suite des nombres a, a, j3, ..., X, & est souvmt appelle «uite de Rolle relative à 1 "équation /{œ) = 0.1*8 nombreade cette suite- « séparent » le* racines simples (') de/(x).

676. ExtrAmltés d* la suite de Bolle. — Les înterralles (a, a), (a, j3), ... que nous avons considérés ci-dessus chH tons été supposés compris dans un intervalle (a, b) où /{x) et f{x)sont continues. Dans le cas où /{x) est un polynôme, cette fonction et sa dérivée sont continues pour toute valeur Gnie de la variable ; nous pouvons donc prendre comoie nombres a et 6 des nombres de valeur absolue arbitrairement grande, l'un négatif, l'autre positif : nous dirons alors — en nons référant aux signes introduits au n' 398 — que la suite de Rolle est composée des nombres — ac, a. ^, ... À, -t- «J .

D'ailleurs, lorsque l'on donne à x une valeur positive ou négative très grande, le polynôme /(x) a nécessairement le mAm« signe {*) que son terme de plus haut degré, soit OnX". Si n est un

TBile — 3 + 2, qui comprend — i at -{- i et écrivont sons cbacun de» nombres — 3. — :, i, a, les aigtua qu'ils foumiiient [c'est-à-dire lesàgnn de /(— 2), /[— i). /{i)> i(^l]> i">"" obtenons :

d'où résulte que l'équation proposée a une racine dans chacun des intsrvalles (3, — 3), [~ I, + i|, (i, a); elle a ses (roû racines réelles.

(') Si f x) a des racines multiples, ces racine* font partie des nombrea d, p, ..., X. Nous pourrioni d'ailleurs nous dispenier de considérer le cas oCi / X) a des racines multiples, ^tant donné que la résolution d'une équation po}ynomale quelconque pent toujours être ramenée à la résolution d'équations dont toutes le* racines sont simples {voir 433).

CI Soit / XI polynôme de degré n et ordonné sous la forme Uni" + a™-il"-' + ... + a.x + o,.

Noua pouvons écrire

Lorsque x devient arbitrairement grand en valeur abaolae, tous les terme»

54o l'aLO^RE GÉOUËTRIQtlX

nombre pair, a?' est un nombre positif, quel que soit le signe de x ; nous exprimerons ce fait en disant que/'( — oc) et/(+oo)ont tous deux le signe de a^ [1rs extrémités — œ et + oo de la suite de Rolle fournissent le même signe i. Si n est un nombre impair, K" a le même signe que x : donc /(+ » ) a le signe de a, et J{ — 00 ) a le signe contraire ('),

Ainsi, lorsque l'on aura aflaire à un polynôme, il sera commode de prendre comme extrémités de la suite de Bolle, les nombres — oo et +00 - On devra cependant déterminer autrement ces extrémités si l'on veut avoir des valeurs approchées des racines, «t non point seulement les séparer. On prendra alors comme va~ ieur de n an nombre inférieur à a, aussi rapproché t/ue possible fie a, et tel que f(a) et f{ — oo ) aient même signe, et comme valeur de b un nombre supérieur à )., ausssi rapproché que possible de )., telquef{b) etf(-h os ) aient même signe (').

676. — Lorsque l'on a u séparé > les racines d'une équation J(x) ^= o, la question qui se pose est la suivante :

Etant donné un intervalle c, d qui contient une racine inconnue simple (')|, et une seule, fune équation algébrique ou transcendante, et dont les extrémités sont, par conséquent, des valeurs approchées </eç(n°672), comment obtenir des valeais de ^plas approchées que c et d? Comment déterminer, en d'autres termes, an intervalle c', d intérieur à l'intervalle (c, d) [plus petit] qui comprenne, lui aussi la valeur ê ?

La question ainsi posée peut être traitée indépendamment du

de la parenthèse, saut le premier, tendent vers o ; donc la quantité entre parenthèses a pour signe le signe de On, et f',x] a le signe de x^.On-

C) De là résulte qu'une équation de degré impair a toujours au moins une racine réelle (cf. n» 35H).

|t) Ld théorème suivant, par exemple, fournit une limite supérieure des racines positives : supposons pour fixer les idées le dernier coefficient a, potitil, tt désignons par s ta somme des faUun absotues des coeffieûnU négatifs dé l'équation, par p la différence entre le degré de l'équalion et l'exposant du premier terme à coefficient négatif (j'entends par > premier i eefui

gui a U plus haut degré) : le plut grand des deux nombre» i ** y/ ^ *•' limite supérieure des racines de l'éguation. — On déurmine semblablement une limite intérieure des racines négatives. (*) Voir p. 5i9 note i.

ÉTUUE CRAPHIQIIE DES ÉQUATIONS. MÉTHODES D'APPROXlMATlOn 54

théorème de Ro)le(') et ne suppose point, par conséquent, que l'on ait déterminé les valeurs exactes des nombres de la suite de Rolle, c'est-À-dire des racines de /"(x). Noua, nous nous placerons toutefois d'emblée dans l'hypothèse oà Pon est sûr {") que flnlervalle c, (l est compris à rintérieur de Can des inleroalles de Rolle — tels qœ (a, ,3) — définis au W 674.

En ce cas la dérivée f'{x) conserve un signe constant dans l'intervalle c, d [puisqu'elle ne s'annule pas] ; l'arc de courbe CD qui représente /(j:) dans cet intervalle ne cesse donc de monter ou de descendre, en traversant d'ailleurs l'axe des x, puisque, par hypothèse, f{x) a une racine dans l'intervalle. — Nous ferons en ontre cette hypothèse quey(x) ne change pas de signe dans tinlervalle c, d. De le résulte que ("(x) est toujours croissant ou toujours décroissant. Or /{x) est (B54) le coefGcîent angulaire de la tangente à la courbe au point d'abfcisse x et d'ordonnée /{x) ; dire, dès lors, que ce coefficient varie sans cesse dans le même sens pour X croissant àeckd, c'est dire que la direction de la tangente (en un point qui parcourt l'arc de courhe de C à D) ne cesse de se rapprocher, soit de la direction parallèle k l'axe Oy, soit de la direction parallèle à Ox.

677. — Dans ces conditions, quatre cas de Tigure peuvent se présenter (') :

i' Si /(c) >- o et J{d) <; o, la courbe est descendante. Si le signe de f[x) est — , fix) va en décroissant ; la direction de la

C) Les extrémités c, d de l'intervalle coniidcré peuvent être des nombrea de la «uite de Rolle ou peuvent être d'autrea nombres [llntetvalle e, d étant par exemple, un intervalle compris dans l'un des intervalles [a, 1], (i, ft), ... considérés au n° 574].

C) On pourra loujoura obtenir un intervalle c, d satisfaisant aux conditions que nous allons énoncer en appliquant le théorime de Rolle aux fonctions /ia;|, /'{x), /"(i). ... [méthode des cascades, voir n° bjii «t en étaayant diveises valeurs particulières de x, [c'est-à-dire calculant les valeurs de / x,, ou f-^x',, ou j'ix], pour diveises valeurs de x voisines de la racine inconnue, et comparant les signes des nombres obtenus]. Nous n'entrerons point ici dans le détail de cette opération dont l'intérêt est purement technique.

C) Dans le 1" et 4« cas on dit que la courbe tourne lei y positif* (cf. p. 5io, note i).

Sis

l' ALGÈBRE aÉOlféTHlQUE

tangente le long de l'arc CO va se rapprochant de la direction Ox, et la conrbea l'allure représentée parla fig. 317;

2" Si f{c) > o et f{d) < G, le signe de f'[x) étant —, la di- 'rectîon de la tangente le long de CD va se rapprochant de la direction Oy, et la courbe a l'allure représentée par la figure 318 ;

3" et 4" Si /{c; < o et/(rf) > o, la courbe est montante. Elle ■a l'allure représentée par la figure 219 ou l'allure représentée par Ja figure 320 suivant que le signe de/°(x) est — ou -t-.

FiK. >"7- Fis- "8.

Tels ïont les quatre cas en présence desquels nous pourrons nous trouver si nous partons d'un intervalle c, d satisfaisant aux conditions que nous avons énoncées et qui se réduisent à ceci : /(c) etf{d) ont des signes contraires et les dérivées /'{x),/'{x) ne s'annulent pour aucune valeur comprise entre c et d.

Pig. ,

Fig.:

Cela posé, voyons comment nous obtiendrons des valeurs approchées de Ç, par déjaal et par excès, qui soient plus voisines de ia racine que les nombres c et d.

Nous allons nous placer, pour fixer les idées dans le premier des quatre cas ci-dessus énumérés. Le lecteur n'aura pas de peine à appliquer aux trois autres cas la méthode ou les méthodes que nous allons exposer.

678. Méthode des parties proportlosnellea et méthode de Ne-wton. — Traçant (sur la figure aat où estreptodoiteladïiposition de la figure 117) la droite CD qui coupe l'axe dea x en N,

irvDB grjIPBiqvb des ÉQUATiona. h^thodeb D'AppHoxiUATion 543

et menant au point C U tangente à la courbe qni coupe l'axe en L, nous voyons que le point de rencontre M (d'abscisse |) de la courbe et de l'axe est situé entre L et N. Si donc nous appelons / et n les absdaies respectives des points L et N , nous aurons / ■< ^ < /t. D'ailleurs — étant donné la disposition de la courbe et le signe du coefficient angulaire de la tangente en C — les points L et N sont évidemnoent

situés entre les pieds des perpendiculures abaissées de C et D sur l'axe. Donc les valeurs / et n satisfont anx conditions requises au a" 576.

Calculons ces valeurs :

i<* On voit facilement (') que la droite CD est la droite représentative de la fonction y =f[d) + -^ j "{'"' {x — d)- En effet. cette fonction prend la valeur /(c) pour œ = c et la valeur /(d) pour » ^ (/; donc la droite qui le représente est la droite qui passe par les points C et D dont les coordonnées respectives sont n, /(c) et d,f[d). L'abcisse du point IN (point delà droite CD dont l'ordonnée est nulle) est la valeur de x pour laquelle

c'est par conséquent n = d — (d-~c) yû/ =

2" On voit facilement que la droite CL — dont le coefficient an^laire (tHl) est par hypothèse /'(c) — est la droite représentative {') de la fonction y=^f{e)-^{x — e)f"i:). L'abscisse du point L est la valeur de x pour laquelle cette fonction s'annule, c'est-à-dire pour laquelle

c'est donc (■) : I = t — û«) .

I ) CI. diap. iT, î 4.

(*) Vûlechap. IV, S4- OnToitqneponrx^e, cette fonction eit égale à /(e|. Donc la droite représentative est la droite de coefficient angulnire f[t) qui passe par la point C.

(^) Dans le caa de figuro que nous considdrons, on a /(c) > o, ({e) < o, donoj!|j<o, d'oui >c.

5^4 l'illoèbhe géométrique

Telles sont les expressions des valeurs approchées {') de § que nous substituerons aux valeurs approchées primitives c et d. Les méthodes qui fouroissent les nouvelles valeurs consistent, on le voit, k remplacer la courbe CD (dont il s'agit de trouver le point de rencontre avecOj-), soitparla corde CD, eoit par la tangente en C k la courbe. La première méthode est (*) souvent appelée méthode des parties proportionnelles ; la seconde a re(;u le nom de « méthode de Newton n {').

En appliquant à nouveau ces méthodes à l'intervalle /, n, on déterminera un troisième intervalle, plus petit, qui contient la racine inconnue £ ; et ainsi de suite, chaque nouvel intervalle étant plus resserré que le précédent et faisant, par suite, connaître la valeur de Ç avec une approximation plus grande.

(■| On peut facilement calculer une limite supérieure de l'erreur que l'on commet lorsqu'on prend l'un des nombres J ou n comme valeur de la racine £ [entendona : on peut calculer un nombre s tel que l'on ait lûremant \ — (< a et n ~ f < s)- 0» trouvera l'expretaion de cette limite dans les traiiég d'algèbre.

(<) Cette méthode est ainsi nommée parce que la ligne droite (ici : la corde CD) est une ligue telle que raccroisiement de l'ordonnée, lorsque l'on passe de l'un ù l'autre de ses points, est proportionnel i l'accroissement de l'abscisse [la relation qui définit les points de la droite CD peut

s'écrire Z. z^ = ">. Iss valeurs x, et y^ étant les coordonnées d'un point

fixe, X et If les coordonnées d'un point variable sur la droite, m un nombre constant].

(') Nbwtom applique en particulier cette méthode à l'équation y''— 3]/ — 5

^o qui a une racine comprise entre a eto -| [Numeralia lequalionum a/Jec-

larum reaolulio, apud AnalytU ptr aquationet numéro terminorum infiniUi», Londres, 1711 ; cf. JVoffoni Opiucula tnaUum., t. I, 17^41 P' io-ia>.