LES ÉQUATIONS DIFFÉRISTIELLSS DD PREMIER ORDRE

dffînie comme lieu géométrique de points jouissant d'une mùme propriété.

503. — La détermination géométrique de la courbe intégrale comme lieu est le problème que Ton appelait au xvii* siècle problème inverse des langenlet. Il s'ngit, non plus comme au r° 58^ de déterminer la tangeote en un point quelconque d'un point d'une courbe, donnée, mais, inversement de déterminer la courbe, étant cnonufl la tangente en un point quelconque. Ce problème fut posé par Florîmond de Deaune en l'année 1637 et chaque inventeur de H règles pour les tangentes » (') d'en chercher aussitôt le» R converses » (*). Malheareusement l'équalton particulière dont Beaune proposait spécialement l'étude présentait une dlGBculté assez déconcertante.

C'était l'équation qne nous écririons anjourd'hnî «' = — - — (en appelant u la fonction inconnue). Opérant le changement de variable y:=a -ha — X, {vide n° 480) Descartes (') la transforma en l'équation ^ = ^ ^1 que noua pouvons écrire :

En intégrant, nous avons : log j' =: — â~^ '' ^°^ l'intégrale

générale (*) y = e^e ' (c, constante orbitraire).

Les fonctions y ainsi délinies sont, on le voit des fonctions transcendantes, et les courbes représenlalivcs sont du type de la courbe exponentielle.

Or CCS courbes ne sont pas de celles que Descartes étudiait

('j Voir p. Sai, noio 1.

(«) Voir en particulier la lettre de Dbscabtkb à Béai ifî3g [Œuv. de Dfi»carU*, t. tl, p. Tiio} et la note de Pau p. 53o sqq.

(*) DiscABTEi remplace en ontre la vnriabU x par 'la variaUe 3;,, jgal» i i/à«; noui poBToa» nous diapenMr défaire ce lecoad cbangement de variable.

(*) Vide, n" 558 ; en particubar si o = — 1, l'intégrale particulière pour laquelle c, = i est repretentèe par la courbe mtme que nous aroMfigurée (fig. 306).

538 L'ilXïÉlinE GÉOMÉTRIQUE

dans sa (îéoméln'e {vide n° 249); il y avait an surplus, semblait-il, quelque cliose de choquant h reprcsenler par une courbe ou l'onction ti'ansccndanUs la solution d'un problème dont l'énoncé n'implique que des opérations algébriques; ne convenait-il pas plutôt de déclarer le problème insoluble? C'est, on se le rappelle, une difficnllé du même geni-e que nous avons déjà renconliée dans la théorie des fonctions primitives (voir n° 453 et infra n° ÎS70).

563. — Quoi qu'il en sott, le problème de Plorimond de Beaune ne tarda pas à être résolu dans des cas nombreux et une étude systématique en fut faite par Barrow le professeur de Piewlon dans ses Lecliones </eomelricse (1669-70) [voir p. 621, note t]. L'identité du problème inverse des tangentes et du problème des aires (ou recherche des fonctions piimitives) fut alors reconnue, et la théorie dos équations différentiel le s — dont nous avons par avance posé les bases au chapitre 11 en nous plaçant au point de vue de l'algèbre pure — se trouva fondée.

664. Construction graphique da l'iatAgrale. — L'interprétation géométrique que Barro^v donnait des équations diiïércn tic Iles ne sert pas seulement à en illustrer la théorie. Elle fournit un procédé pratique permettant de construire effectivement les courbes intégrales des équations non encore intégrées, ou du moins des lignes se rapprochant beaucoup {arbitrairement) de ces coiu-bes intégrales.

Partons de l'équation

supposée non-intégrée, et proposons-nous de déterminer d'emblée, par un procédé graphique, la ligure approximative de la courbe intégrale de cette équation qui est déterminée par les conditions initiales x^, y^, c'est-à-dire passe par le point M^ de coordonnées

Tout d'abord, te coefficient angulaire de la tangente à ta courbe -cherchée au point M^ est connu : il a pour valeur |^ d'après l'équation (a)] -.yô ^f{Xi,,y^. La tangente géométrique à la courbe en M, «st donc connue : appelons-la M, To(rig. 307}. Admettons, mainn:iut, pour un moment, qu'au voisinage de Mn, la courbe cherchéo

LES ÉQUATIONS OIFFfiReirr»LI.eS DO PHEMIER ORDRE SSQ

soit rectiligne, ce qui revient k assimiler un petit arc de courbe MitM k un segment de la tangente MgMi (assimilation d'autant moins éloignée de la vérité que l'arc est plus petit) . En d'autres termes prenons sur la tangente MgTo un point M| (de coordonnées xx, yi)

Fig. s

Fig. 108.

très rapproché de M, [0g. 3oS) et admettons que notre courbe intégrale passe par ce point. S'il en est ainsi, elle devra avoir, en ce point, une tangente dont le coetEci eut angulaire est y,' = f{x„y,); soit MiT, cette tangente; prenons sur elle un point Mt (de coordonnées Xt. y^), très rapproché de Mi et admettons que notre courbe intégrale passs par ce point ; la courbe devra avoir, en Mi, une tangente dont )e coelfîcient angulaire est^,' :=J(Xt, y») ; et ainsi de suite.

Nous obtenons ainsi une ligne brisée MuM,M,Ma, ... dont la figure se rapproche d'autant plus d'une ligne courbe que les segments M^Mi. MjMi, ... sont plus petits. D'ailleurs si nous regardons cette ligne comme une courbe ayant pour tangentes aux points successifs Mu, Mt, les droites M,T(, M,Ti, .... cette courbe

satisfera bien en tous les points Mo. M à la condition posée

parl'équation différentielle (1). Nous pouvons donc la considérer comme représentant approximativement (avec une approximation arbilrairemeitl grande) une courbe intégrale de notre équation (').

Observons d'ailleurs que le choix du point M, d'où nous sommes partis est abiiolument arbitraire. Nous pourrons donc construire

(') Ce modo de construction qui consiste i remplacer la courbe par un contour formé de petites lignes [lineoliE] tut indiqué par Jean Bernouilli en i6g4 {Modut generaliê eonalruendi omnea tequalionta differenliaUt primi gradua, ap. Acta erudilorum, novembre itig't ; Œuv., t. I, p. lal et suiv.). Déjà Leibnig en avait eu l'idée dès 1675.

fiouTuui. — Lea PnDcipai de l'Andjw mithimitiqi», il,

930 l'aUIÈBRB GÉOMitBIUVE

une ioGoité de coarbea int^p^les. [PlusprécUément, par tout point du pUn nous ea pouvons faire passer une].

066. — La construction que nous veoons d'indiquer constitue ce que l'on appelle une méthode graphique de résolution des équations difTérenti elles. La simplicité de cette construction nous inspire immédiate ment une idée : ne pourraîl'Onpassefonder'surelle.non seulement pour représenter les intégrales des équations, mais pour eu démontrer Cexistence? Il est, on l'a vu, un grand nombre d'équations difTérenti elles que nous sommes incapables d'intégrer (au sens du n" 478) : cela étant, rien, dans l'étatactuel de nos connaissances, ne nous autorise à affirmer h l'avance que ces équations ont efTcctivement des solutions ou intégrales: cependant nous pouvons toujours leur appliquer la méthode de résolution graphique décrite ci-dessus, et celte méthode nous conduira toujours à une ligne brisée Mo, Mi, ... qui se rapprochera arbitrairement d'une courbe (■) lorsque ses ctMés seront arbitrairement petits. [C'est un fait intuitivement évident qu'il en est bien ainsi, du moins lorsque /(se, j) est une fonction continue de x cl y]. Ne pouvonsnous, dès lors, considérer la potitioD-llmite prise par la Ugnfl brisée H«M, .... (lorsque la longueur de ses c^^tés tend vers zéro) eomne un* ooarbe int6Krale> et démontrer rigoureusement que la fonction représentée par celle courbe est une solution de notre équation?

Hàtons-nons de dire que ce mode de démonstration a été effectivement utilisé et qu'il est aujourd'hui passé dans la [watique courante. Mais l'exemple du problème de Beaune (062) nous montre que des difEicultés, alors insurmontables, devaient arrêter au XVII* siècle ceux qui auraient voulu l'employer. Le raisonnement que nous avons esquissé soulève en effet deux questions préalables auxquelles il n'était alors pas possible de répondre : Sous quelles conditions une ligne tracée sur le papier est-elle une courbe géométrique, et sous quelles conditions une courbe r^résente-t-elle une fonction ?

(') Je pnodt ià le mot < court>e ■ dans aon seni le plu* ginéral ligae traces d'uo trait coatinu.

FO>CTI05S PBIMITirES MmÉSRHTfiBB PjUI DES AIRES

S. — Fonctions primitives r^résentées par des aires (Intégrales définies).

666. — Délerminer la, ou, plue exactement, les Jonctions primilhes, d'une fonction y ^ /{^)- c'est résoudro ou intégrer l'équation différentielle y' := /[x) [vide, W7] : le problème de la recherche des fonctions primitives (ou calcul des intégrales indéfinies, voir ch»p. II, S5) n'est donc qu'un cas particulier du problème étudié au S 4. — Mais l'on peut donner de la fonction primitive une interprétation géométrique spéciale, fort avantageuse, qui n'a poiut d'équivalent dans la théorie générale des équations différentielles. Nous allons exposer cette interprétation, non point exactement telle qu'elle se présenta historiquement aux premiers algébrietesqui en firent usage, — carelle fut tout d'abord rattachée à de» considérations relatives aux o inlîniment petits » dont noua ne parierons que plus tard (Troisième Livre) et qui ne {eraient. pour l'instant, que l'obscurcir à nos yeux — , mais telle que se la peut âmaginer le lecteur qui est en posaessioD de la notion moderne de dérivée.

667. — C'était, nous l'avons vu, i'ua des plus anciens problèmes de la géométrie classique que celui qui a trait à la mesure des aires et <les volumes, déterminés, dans le plan ou dans l'espace, par des lignes ou dee corps diversement situés. Archimède était passé maître en ce genre de calcul, où il employait avBC le plus grand succès la méthode dite d'exkaustio/i{cî. a" as, 64). De nombreux géomètres des temps anciens et modernes (') étudièrent Archimède, le commentèrent et s'engagèrent sur ses traces.

L'une des questions le plus fréquemment posées était la suivante : mesurer ou calculer tme aire pkne (segment plan) déterminée par une courbe connue et par deux droites rectanguluires, ou bien par une courbe, deux droites parallèles et une troisième perpendiculaire [telles les aires 0MB et .\MNB, couvertes de hachures sur les figures ci-contre]. Ainsi, Archimède avait déterminé la valeur de

[') Voir Tni». Liv., ch. ii S i.

533 l'algèbae géométrique

l'aire 0MB dana le cas (') où l'arc OM (sur la fig. aog) est un are de la parabole qui a pour sommet O et pour axe OB [cette courbe est telle que les carrés des ordonnées de ses points sont proportionnels (*) aux abscisses : y' = 2px {vide 628) : elle est donc représentative de la fonction y = \/apx]. Généralisant la question. Fermât avait étudié le cas où la courbe OM ou MN est une parabole d'un genre supérieur : » J'ai quarré (') — écrît-îl à Mersenne ('), en i636 — infinies figures comprises de lignes

Fig. 509.

courbes ; comme, par exemple, si vous imaginez une figure comme la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées [ordonnées] soient en proportion des [proportionnelles aux] lignes qu'elles coupent du diamètre {') [abscissesl. Cette figure approchera delà parabole et n'en diffère qu'en ce qu'au lieu qu'en la parabole OD prend la proportion des carrés, je prends ici celles des cubes; et c'est pour cela que M. de Beaugrand à qui j'en fis la proposition l'appelle parabole solide ». La parabole solide est représentative de la fonction y ^ \/2px ; Fermât n quarre » semblablemeni les segments plans 0MB déterminés par des paraboles quarré-quarrées, qaarré-solides, etc., c'est-à-dire représentatives des l'onclioos y:=\/iipx, y ^:\/2px, etc. Or, en cherchant à quarrer les segments plans définis par de telles courbes ou d'autres semblables, on ne pouvait manquer d'apercevoir l'étroite connenité qu'il y a entre ces problèmes de quadrature et la notion de dérivée d'une fonction.

(') Le legment plan eat alors un o tegmtnt paralwlique 1.

(■) C'est-à'iiire que le carré de l'ordonnée d'un qiukonque des p«ints de la courbe est égal à l'abscisse multipliée par un nombre constant.

(») Evalué laire da.

(•) Œuv. de Fermât, t. II, p. 73.

(') En parlant tout à l'heure de la parabole ordinaire, nous avons suppoié que OB (sur la lig. 201)) n'était pai un diamètre quelconque, mais l'axe de la courbe. Les hypothèsea de Fermât «'appliquent en réalité k un cas plut général. Comparer, a" 529.

porterions primitites hbpbésehtégs par des aires

868. — Imaginons que, sur la iîgure aïo, où nous avons trac4 deux axes de coordonnas rectangulaires, le point A reste fixe tandis que le point B est variable sur l'axe des x h droite de A : appelons a l'abscisse constante de A, x l'abscisse variable du point B. Supposons, d'autre part, que MN soit un arc d'une courbe quelconque — représentative d'une fonction y ^ /(x) — compris entre les parallèles à OY menées par A et B : l'aire du segment plan AMNB varie quand x varie (c'est-à-dire quand B se déplace) et sa valeur se trouve (pour chaque position de B) déterminée par la valeur de la variable x. Donc l'aire du segment AMNB est, au sens large du mot, une fonction de X.

Admettons que nous ayons en effet le droit d'assimiler cette aire aux (I fonctions » proprement dites, dont nous avons fait plus haut l'étude, et désignons-la par F(x).

La fonction F(a:) est évidemment continue si la fonction J(x) est elle-mémecontinue, car l'aire AMNB varie arbitrairement peu lorsque B se déplace arbitrairement peu. Nous allons voir, d'autre part, que F(x) admet une dérivée, qui n'est autre que la Jonction fix) d'où nous sommes partis.

A partir de la valeur OB ^ x, donnons à la variable indépendante un accroissement Ax ; le point N' de la courbe qui a pour abscisse OB' ^ a; -H àx, a pour ordonnée B'N' ^ y -t^- Ay [en appelant y (c'est-à-dire /(a:)) l'ordonnée BN (égale k B'K, fig. an), et Ay F accroissement KN' subi par cette ordonnée lorsque l'abscisse passe de la valeur x à la valeurs + ^x\. L'accroissement correspondant AF de la fonction F(a;), c'est-à-dire de l'aire AMNB, est manifestement l'aire BNN'B' limitée supérieurement par l'arc NN' ; la valeur de cette aire est comprise (fig. an) entre celles des rectangles BNKB' fde dimensions \x, y] et BHN'B' [de dimensions Ax et y -*- 4y]. donc entre yAx et (y -4- Ay)Aa:. Son rapport à Ax est par conséquent compris entre j- et y -H Ay ; lorsque l'accroissement Ax et l'accroissement A;^ tendent simultanément

PIg. :

vers zéro, le rapport

As:

- compris entrey et une quantité y-hày

L'AIAÉaaB OéOMiTUQVB

qui tend vers y — a ^our Unàie y ou f{x) : nous avons donc, conune noos l'avionB anooneé : F'(x) =/(x).

Ainsi raite AMNB limitée aiipdewiu da l'ate dM x par la etnubB nptèieiitatiTa d'ooe fonotion eontiiua f{x) aatn 1h abaoiw OA = a et Ofi = x flgox» gèonitriipMiMnt noa lonettan srimitiv» àe f{x). Cette fonction primitive n'est déterminée, eomme il dtnt 6tre, qu'à une constante arbitraire près, puisque l'absciaoe a des points j\ et M est arbitraire, Aînti, en déplaçant la droite AU mr la âgure an, on fbittne une aire A|U,NB qui est, tout comme AMNB, une fonction primitive def{x) : les deux fonctions prioiitivea différent entre elles de la valeur du morceau A, M, MA, valeur qui est absolument indépendante de la position du point B et qui est, par coaséquaU, une constante par rapport à x [voir, pour plus de détails, le TroU. Livr., cbap. ii, S ^]-

Sra. — Si la courbe était située au-dessous de l'axe dei x, Ift dimension BN du petit ractangle BB'KN (Gg. 313 oîi sont conservées les notations du n* 668) ne soraîl pas égale à l'ordonnée y du

Fig. „,.

point N, mais bien à — ;^, puisque y serait négatif. Donc le rapport de l'accTOissement de l'aire AMKB à l'accroissement Ax de la variable aurait pour limite — y, pour Ax tendant vers o. Mais nous pouvons faire en sorte que ce rapport ait toujours pour limite y =/(x) en adoptant la cxiovention suivante : les aires des segments plans situés au-dea&ous de l'aie des x seront regardées conune ayant des valeurs négatives ; si alors l'arc de courbe MN coupe une ou plusieurs fois l'axe des x, ce que nous appellerons u aire AMNB » sera la différence entre les aires des surfaces déterminées par l'an; MN au-dessus et au-dessous de l'axe des x [sur la figure 3i3 la différence ; {aire AMC -h aire DNB) — aire CPD] ; l'aire AUNB sera positive ou négative suivant que les portions situées au-dessu& d«s X l'emporteront ou non sur les portions situées au-dessous.

ilUDB GR&PBIQUE DES iQOATIOnS. HÏTRODE D'APPHOXIUATIOn 53»

Moyennant celte convention, l'aire AMNB fonction de l'abscisBe variable x du point B, aura tonjoars (lonqoe x croîtra de Ax) un accroisaement de même signe que y^fix), et sera par conséquent toujoora une fonction primitive de/(ir).

570. Fonctions dont l'Intégrale n'est pas caloolable. — La construction géométrique que nous venons d'étudier soulève mie question extrêmement importanteet délicate (comparer n" 605). L'aire que nous avons appelée AMNB [je me place, pour simplifier, dans le cas de la fig. a 1 1 où l'arc MN est tout entier au-deisus de l'axe desœ] est, nous l'avons vu, une fonction primitive de f{x). Or cette aire existe, évidemment, et se comporte de la mAme manière aux yeux du géomètre, quelle que soit la fonction/(aT) (supposée continue).

Cependant nous savons (n° 453) qu'il existe des fonctions continues qui n'ont pas de fonction primitive, du moins tant que nous nous enTermons dans le domaine des fonctions algébriques et transcendantes classiques.

N'y a-t-il point Ih une dissymétrie choquante? Et, plutôt que de nous en déclarer satisfaits, ne vaut-il pas mieux élargir notre notion de fonction en considérant la mesure de l'aire AMNB [qui varie d'une manière continue lorsque le point B se déplace avec continuité] comme déiinissant en tooé cas une fonction F(x) de la variable x? Nous nous bornons pour l'instant à poser la question, carce sobt les fondements mêmes de l'algèbre des fonctions qui se troavent un mis en cause. Nous ne devrons loucher h ces fondements qu'i bon escient et lorsque nous serons sûrs de pouvoir les remplacer par d'autres qui soient également solides (voir cbap. v et Trois. Liv. chap. i, 8 J).