CHAPITRE PREMIER

LES NOMBRES

- Le inonde des nombres

1. — « Il conviendrait, — dit Platon au VII* livre de la République, — il conviendrait de faire une loi et de persuader en même temps ceux qui sont deslinés à remplir les premières charges de l'Etat de se livrer k la science du calcul, non pas pour ea faire une étude superHcielle, mais pour s'élever, par le moyen de la pure intelligence k la contemplation de l'essence des nombres (') n. Ce projet ferait sans doute sourire les politiciens d'au-

(') Et oinai, grlce 6 l'étude de« nombres, l'ime sera conduite de la ■phân dea chœei périasablea i celle de la vérité et de l'£tre {Ripubli^u, lir. VII, 535 bc).

- Lct Principal da I'AdiIjh malhémitigua, ■

3 LES NOMBRES

jourd'hui, mais il nous Tait bien connaître l'état d'esprit des savants grecs k qui il est donné de contempler pour la première fois le monde merveilleux des nombres. Monde non pas fictif, mais véritable, car les nombres, essences étemelles, ont une réalité plus profonde que les objets éphémères perçus par dos sens. Nous ne construisons pas, comme on ponrrait croire, les théorèmes de l'arithmétique : nous les voyous grâce À une mystérieuse faculté de divination que nous trouvons en nous et que les philosophes appellent ic intuition intellectuelle ».

Tel était le point de vue de Platon, tel était plus anciennement, celui des P)l)iBgoviclËns qui furent, à proprement parler, les fondateurs de la science rationnelle (').

Certes il n'est pas douteux que l'art du calcul avait déjà atteint en Orient un haut degré de perfection lorsque les Grecs commencèrent à s'y appliquer méthodiquement (au vit* ou au vi° siècle av. J.-C). Des témoignages précis en font foi, dont quelques uns remontent à une époque fort reculée : tel le Manuel d'Ahmes (<), où nous est révélée la science égyptienne d'il y a quatre mille ans ; telles aussi, i>eut iJtre, certaines inscriptions babyloniennes ({u'on nous dit être du xsV siècle avant l'ère chrétienne. Mais, quelles que fussent ses ressources, la science des Egyptiens et des Babyloniens n'élait en somme qu'un recueil de règles et d'artifices se rapportant à des problèmes pratiques : c'est pourquoi Platon refu-

['} Cf. Le Rationnel (r89S) et les autres ouvrages de M. G. Mii.haud.

('] Ce manuel a été public et traduit (d'après le Papyrus likind du Mulée Britannique) par ElSE^LOHR : Ein matkematUdtea Handbueh der alten JEgypten, Leipzig, 1877. On suppose qu'il a été écrit, entre ■iaaa et 1700 av. J.-C, pour des architectes, des ing.'nieurs et des arpenteurs. L'auteur, Abmet, se borne à énoncer des règles de calcul qui donnent la solution des problèmes concrets les plus usuels : ■ règle pour calculer un fruitier rond i>, t règle pour calculer un champ n, problèmes de partage, calcul du rendement en pain de certains volumes de farine, calcul de la nourriture absorbée pur les oies et les bceufs. Cependant t'analyse de ces diverses règles nous donne une idée approximative des connaissances théoriques du calculateur cgj'pticn. Il sait en quoi consistent les quatre opcralioni quoiqu'il ne paraisse pas très e^ipert dans la pratique de la mullipli cation et surtout de la division ; il manie des Iiaction* de numérateur i ; il connaît les progressions ; il résout mêmes certaines équations du premier degré dont les coeCndents sont des nombres entiers ou des fractions [siide Deux. Lw.). En soœmo Auxbs connaît, de l'Ari- Ibmétique, ce qui est indispensable pour la pratique du calcul; la science spéculative et désintéressée lui est étrangère.

LB MO:<I>E DBS ■tOtlBRES 3

Bail À ces peuples le nom d'amis de la science. A Pytfaagore, et aux pbilosopltes grecs en général, i-eWent l'iionneur d'avoir distingué et opposé l'une à l'autre VAritkinélique théorique et la Lo()islique ou art du calcul.

a. Qa'est-6* qu'un nombra? — On a beaucoup discuté et l'on discutera longtemps encore sur l'origine et la signification logique de la Dotion de nombre. Fort heureusement cette notion est de celle» qui se passent de définitions et de commentaires. Depuis l'époque reculée où l'humanité a appris à compter, le nombre est devenu l'une des données fondamentales sur lesquelles travaille notre pensée, donnée si immédiate, si claire h rinlelligence, qu'en cherchant k l'analyser, nous ne rûiississon» tout d'abord qu'à l'obscurcir. C'est pourquoi l'Ariltimélique a pu s'édiiier sur des déQoilious verbales et incomplètes, et n'en être pas moins tenue dans tous les temps pour la science parfiiite par excellence.

Soit une collection d'objets, par exemple un tas de pommes de même grosseur. Cette collection ou tas définit un nombre cardinal, lequel est plus ou moins grand suirant que le tas est plus ou ntoias gros. Formons en particulier, et rangeons devant nous une file de t*s de pommes comprenant respectivement une pomme, puis deux pommes, puis trois pommes, etc. Cette (île de tas défmit une suite de nombres dont nous poiiv<Hts comparer les grandeurs relatives. Chaque tas contient une ptHume de plus que le tas précédent, une pomme de mcwis que le tas suivant. Chaque tas est plus grand que tous les tas précédents, plus petit que tous les tas suivants.

La siùle de nombres qoe nous définissons au moyen d'un Us de pommes, nona pourrions aussi la défmir au moyen d'un las de poires on d'un tas d'objets quelconques. C'est pourquoi nous disons qu' « un nombre cardinal est une collection d'objets, dîslincts, mais quelconques, de la nature desquels on fait abstraction ». Nous conviendrons d'appeler « uiulés » ces objets, sur lesquels nous sommes en état de raisonner lors même que nous les avons dépouillés de toute qualité physique.

Tfous appellerons « suite croissante des nombres cardinaux n la suite des nombres qui comprennent respectivement une unité.

4 LES TfOMBRES

puis deux unités, puis trois unités, etc. Cette suite contient tous les nombi'cs cardinaux, — que l'on désigne précisément par les mots : lin ('), deux, trois, quatre, etc. Chaque nombre est supérieur h, tous les nombres qui le précèdent dans la Huite et inférieur k tous les nombres qui le suivent. Chaque nombre surpasse iTune unité le nombre précédent. Cliaque nombre ne figure qu'une fois dans la suite.

Dans la suite croissante des nombres cardinaux, chaque nombre a un ranff-qui est, par définition, le « nombre ordinal n correspondant. Ainsi, tin est le premier nombre, deux est le second nombre, etc.; par conséquent : au cardinal un correspond l'ordinal premier, au cardinal deux correspond l'ordinal second, et ainsi de suite.

Le mot « nombre » non autrement spécifié, — on « nombre naturel » — signifie en Arithmétique n nombre cardinal n, et c'est en ce sens que nous l'emploierons dans les premiers paragraphes de ce chapitre.

3. — Four raisonner sur les nombres, nous les représentons par des signes graphiques ou des figures. Mais ces symboles ne sont que des images conventionnellfs, images que nous substituons aux nombres abstraits afin de donner prise sur eux k nos sens et de les fixer dans notre mémoire. Les propriétés des nombres ne sont, en réalité, nullement condilionnées par les signes de l'arithmétique, et elles restent immuables tandis que ces signes vari.mt suivant les habitudes, les préférences, la langue, des individus ou des peuples.

L'arithméticien se gardera donc d'exagérer l'importance des signes, et il ne leur attribuera pas d'autre vertu que celle de la simplicité. C'est ainsi que les Pythagoriciens représentaient souvent les nombres au moyen de files ou de groupes de points.

(') L'unité, pendant longtompa, ne fut point coniidérée comme un nombre, malt seulement comme l'origine des nombres. C'est ce que TiiÉoN DE SuYtiM (auteur d'un ouvrage intitulé : Ce qui en malhimatique tel utile pour la lecture de Platon, ii* siècle av. J.-C] exprime en