IilguAfl trlgonométrlqueB d'an angl« géométrique
— Lorsque l'on raisonne sur un angle tel que MON (lîg. 77) qui n'est pas orienté, on n'a point de raison de considérer la longueur de l'arc MNO (compris entre les c5lés de cet angle sur le cercle de rayon i et do centre 0) comme négative plutôt que comme posi-
Fi«- 77- F'g- 7».
tivc. Il en résulte que, lorsque l'angle est aigu par exemple (arc MM <: ~ j, le signe du sinus et de la tangente correspondant à
l'aogle MNO n'est pas déterminé. Nous conviendrons de regarder l'arc MN comme positif et d'appeler u lignes Irigonométriques de l'angle 0 u les lignes trigonomé triques de l'arc positif de longueur MN. Ainsi le sinus, la tangente et le cosinus d'un angle aigu sont par déGnition, ceux d'une abscisse curviligne comprise entre o et
-; ce sont trois nombres positijs. Le sinus, la tangente et le cosî- DOB d'ua angle obtm (Cg. 7S) sont ceux d'une abscisse curviligne conaprîse entre - et tt (comme l'abscisse .VM , considérée plus haut, fig, 76) : h sinus est positif, la tangente et le cosinus sont négatifs.
173 LES gra:<dei;rs
167. Lignes trlgonomAtriquaa de certains arca. — Il résulte des définitions du r° 1B2 qu'une abscisse curviligne égale ko A pour sinus o et pour cosinus i ; nous écrirons donc :
o sin o =: o, cos o ^ 1 . lang o ^^ - =^ o.
Lne abscisse curviligne égale i, ~ (et, par conséquent, un angle droit) a pour sinus 1 et pour cosinus o ; nous avons donc :
la tangente de l'arc - est le quotient de 1 par 0 : c'est un nombre injinimcnl f/rund (x ) ; et, effectivement, si, sur la figure 7a, l'angle MOA était droit, la droite OM serait parallèle h la droite AZ et ne la rencontrerait en aucun point situé à distance finie.
Lne abscisse curviligne égale à rt a pour sinus o et pour cosinus — I ; en d'autres termes :
sin Tt = o, cos t: = — 1 , tang n ^ o.
Les théorèmes de la géométrie [lermettraient, d'autre part, de calculer les lignes tri go iiomé triques de nombreux angles remarquables. Ainsi l'on pourra démontrer que :
. TT it t'a , it . T \fi * i . n /» ,
.,n j = ».^ = -, lgj=,, «n^=\ . co.j = j. I8j = v'3,elc.
1B8. Tablea. — Comment passer d'une abscisse curviligne quelconque aux lignes trigonométriques de cette abscisse ou inver sèment? Il n'y a qu'un moyen de rendre ce passage aisément praticable ; c'est de construire une fois pour toutes des tables de concordance (') où seront placées en regard une série d'abscisses curvilignes très rapprochées les unes des autres et les lignes trigonométriques correspondantes ; à des abscisses curvilignes très voi-
(■) Pour coDRttuire ces tables on se servira des formules données aux numéros 180 et suivants, formules qui permettent de calculer le* lignes trigonamélriques d'une série indéHnie d'arcs de plus en plus grands (ou do plus en plus petitsi Iors<]u'o)i connaît déjà certains arcs pria pour points de départ.
GKJtKDELUS THIOOTIOMKTniqrBS I 78
sines correspondenl tnanifeslement (élant donné la dûfînitlon géométrique de ces lignes) des sinus, ou des cosinus, très voisins ; si donc, pour valeur approchée d'une abscisse curviligne a. dont je cherche les lignes trigonométiiques. je prends celle des abscisses figurant dans la table qui est la plus voisine de a, les voleurs correspondantes du sinus, du cosinus et de la tangente seront des valeurs approchées des lignes trigonomélriques de a.
Des tables de sinus ont été dressées par les mathématiciens liind(His (*), en particulier par Aryabhala (v* siècle, ap. J.-C.) et par Bkaskara (xi* sît^cle). Les Arabes (') Batlani et Abdul Wafa [vide 147) ont composé des tables de cotangentes et de tangentes. Au it* siècle Begiamonlunas (') construisit une table (publiée à Augfibourg en 1/190) qui donne les lignes trigonométriques avec une approximation de io~'. Mais c'est à Joachim Rha^lictu, de Wittenberg (lôi^-i^yô) que l'on doit les premières tables t ri gono métriques un peu étendues : elles parurent à Leipzig en i55i sous le titre : Canon doclrinœ triangulorum nunc primum a Georgio loachtmo Bksrlico in lacem éditas.
Lorsque les logarithmes furent inventés, le calcul logarithmique et le calcul trigonométrique se prêtèrent naturellement une assistance mutuelle. Aux tables donnant les lignes trigonomélriques des abscisses curvilignes se substituèrent des tables donnant les logarithmes de ces lignes (*). Cent de semblables tables que l'on se sert encore aujourd'hui : les abscisses curvilignes y sont évaluées soit en grades, soit plus souvent, et conformémentà l'ancien usage, en degrés, minutes, secondes.
169. Arc:j oorrespoiidant A une ligne trigonométrique donnée. — Les tables trigonomélriques ou Irigonométrico-loga-
(') Cl. BuAU-NnûnL, loc. eiU, p. îî.
(') Ibd., p, 57.
f) Rbciomontanus (de son vrai nom, Johann MQller, i^-iR-i\-j^) liait en Italie, en Allemagne et en Hongrie. II intitulait sa table table féconde : i tabellam.., iwn injuria /œeundam appellart libuit, quod muUifariam ac mirandam utililaUm iiutar foscuTtd» arborii parare tcUat i,
(*] heu premiirf» tables do logarithmes, celles de Neper, sont préciiâment des table* donnant les logarithmes des sinus et non ceux des nombre* proprement dit g.
1^4 LES GKÂ?IDEUR8
rithmiques jouent le même rôle que les Ubles logarUhraiqnes donl nous avons parlé su n° 145. Il y a c^>eDdaal, entre ces deax espèces de ublea, une différence importante. A un nombre correspond un seul logarithme et inversen^ent. An contraire, tandis <ja'k nne abscisse curviligne (i un arc) correspond iid seul sinus, il correspond à un sinus donne (compris entre — t et + i) une infioilé B d'abscisses curvilignes. De même pour uo
M,/^, .l!?^!!^'^ cosinus ou une tangente donnée.
/ I ^y' \v Donoons-Dous en effet un tituts qod-
r [77 ïH* conque (') OQ : tout arc terminé au point H V-'' \/j ou au point Mi (fig, 79) aura pour sînusOQ.
'^- * Appelons alors a la plus petite abscisse curvi-
''«. 79- ligne AM du point M, et, par conséquent (*),
n — a la plus petite abscisse curviligne de Mi : les aladssef curvilignes a — ii.k.r. et K — a + i.fc.rr, ou — a -t- (a.A + i)n où k esl an nombre entier qaeie«nque (positif ou négatif) oiU toutes k même sinus OQ ,
Donnons-nous pareilletnenl an cosîitas qadcoiMpie (') OP : loat arc terminé au point M ou au point M, (Sg . 79) aura pour cosinus OP. J'en conclus )jae les abscisses carvitlgne-s a, — û et, d'une maniire générale, a -+- i.k.x, — « -t- a.t.îi, (où A- est a» nombre entier rjaetcon'jae positif ou négatif) ont tnutes le mvme cosinas OP.
Soit enfin AT une tangente : tout arc terminé au point M ou au |M>int M, (fig. 79) aura pour tangente AT. J'en conclus que les abscisses curvilignes a et tc + n (77 + a est une abscisse corviligne de l'arc AMj) et d'une manière générale les abscisses curvilignes a + i.b.Ti, Cl + 71 + 2.A'.n, ou, en d'autres termes. Us abecisses a ■+■ k.K, où k est un entier positif ou i*égaijf guelcoague, ont louies la même tangente AT.
En résumé, nous pouvons écrire les égnlités suivantes qui seront
('I Sut la figure -jij no»a supposons ce «ifliu poutif ; lel couciusioiu sont les mêmes «'il est négatir, c'est~à<l4r« si Q est au-dessous de la droite OA.
Cl On voit tmiBédiateaMnt que i'arc AMi est égal i une denu-^ùcMktérence (a) maint ub arc égal A l'arc m.
(') Sur la figure -jç) nous supposons ce cotinua poùtit ; le* coodusions sont les mêmes s'il est négatif.
GHA^DEl'IIS TRIOOTtOMÉTniQl'ES l~i
«ucks. qad gae soit le nombre rehiif a, pour toute valeur enUire posilive ou négative de A' :
, sia a =Hii (a ■+■ a.A.i:) =^ un ^ — o -f- (a.fc +- i)-':. '4) î cos a := cos (a H- a.A-.n) = co» ^ — o + a.fc.nj
tang a ^ lang (d + k.it).
