Arcs de signas contraires, arcs Biiiqdéin«ntalr«B
Les égalités relatives an cosinus montrent que l'on a en particulici' i,') cos a ^ C03 ( — à). On voit tl'autrc part, «n se reportant & la figure 79, qne, sil'arc a est terminé en M, par exemple, l'arc — a a pour extrémité le point M), situé sur la perpendiculaire MP k OA ; d'où résulte que l'on a (*, : sin a ^ — sin ( — a). Il en est de même si l'extrémité de l'arc a est en Mi, en Mi on en Ma. donc, '/ne/ que soil a. Divisant le sinus par le cosinus, on déduit Je là que ; tang « = — lang ( — a}.
Les égalités (4) relatives au sinns montrent qne l'on a d'.inti-e part :
D'ailleurs si l'arc a a pour extrémité M, l'arc tc — a» pour extrémité M,, d'oii nous concluons (voir fig. 79} que :
cos (iE — a) = — cas a;
il en est de même quelle que soit l'extrémilé de l'arc a, donc quelle que soit la valeur de a. — Divisant le sinus par le cosinus, nous voyons que : tang ;';t — a)^= — tang a.
Ainsi nous avons les égalités suivantes, valables quel que sot't le nombre relatif a :
' sia a ^ — sin ( — a) ; sin u ^ liu {jc — à)
(5) roia = cos ' — a); cos a ^= — cm (b — a)
Ui^ a = — taag (— a) ; tang « = — Uog (ir — a).
Deux arcs [tels que AM et MA' sur la fig. 8o| dont la somme est égale ïi rt sont dits mpplémentaires ; leurs lignes trigonométriqiics
l'I On le voit en donnant i fc la vftleur o dans les formules (il. <,') Let sinus «ont de signes contraires et l'on démontre que : loBgeaoi Mf = loDgwar FM,.
1^6 LES GRANDEinS
salisfont aux égaillés écrites ci-dessus; la dcnomiiiation « supplémentaire I) rappelle que les angles MOA el MOA' (fig. 80) sont supplémentaires (n° 04).
eM II résulte de la définition des arcs siipplémen*
|a taires que tout arc a a un supplémentaire et un seul (') et que, si b est supplémenUii-e dea, a est Fig. 8n. supplémentaire de b.
161. Lignes trlgonométriquei de t'aro ' ;: + »). — D'après la Tormulc (4) relalive à la tangente, on a, quel que soit a :
lang (it + aj = lang a.
Tour avoir la valeur de sin '7: -t- a), nous pouvons observer que
sin (n -\- a) = sin ( — t: -\- a -t- i.ir).
sinus égal d'après le n' 160 à sin ( — n -1- a), donc, d'après le n' 160 à — sin ii: — a), donc k — sin a.
On démontre de même que cos (it + a) =; — cos a.
162. ArcB complémentaires. — On appelle arcs complémentaires titax arcs dont le somme est égale ii -*; tels sur la fig. yt) les arcs AM et MB ; la dénomination » complémentaire » rappelle que les angles AOM et M0I3 sont complémentaires (n'*64).
Désignons par a et h les arcs complémentaires AM, MB, tous deux ^wsitifs sur la fîg. 81. Abaissant MP perpendiculaire ;ur OA nous avons sina = PM.co8a = OP. "«■ ""■
Cela dît, supposons un instant que pour déterminer les lignes trîgonométriques de l'arc 6, nous prenions, non plus le point A , mais le point B comme origine des abscisses carvUignes ; Tare BM compté à partir de cette origine est négatif et égal à — />; il aura pour sinus (négatif) la longueur OP (affectée du signe — f, pour cosinus
CI Si l'arc ou abscisao curviligne a est un nombre comprit entre o et 7!, il en eitde mémo de l'arc supplémentaire égal à it — n; c'est le cai qui SB présente sut la figure 80. Si l'arc a est positif et supérieur à ic, l'arc supplémentaire est négatif.
GnAÎIDEOHS THIG0:iOMÉTniQUES l'J-J
la longueur OQ. Mais QM n'est autre ctiose que le cosinus de a, et OQ =^ sin a. Donc, nous avons :
sin ( — 6) ^ — cos a el cos ( — 6) =: sin a ;
donc [puisque sin { — 6) =? ain b, cos ( — b) = coi b' : sin b=coia, cos 6 = BÎn a.
d'où
lang /^ — al = ^-^ = colg a.
On démontre facilemeat que ces formules sont vraies quelle que soit la position du point M sur le cercle trîgonométrique (').
163. Calouli trlgonométriquea. — Pour que l'on ait effectivement avantage à substituer les lignes ou grandeurs trigonomé- Inques aux arcs qu'elles représentent (voir n" 147), il faut que l'on sache effectuer commodément sur ces grandeurs les opérations ■ qui correspondent aux opérations relatives aux arcs.
On y parviendra en appliquant certaines règles ou formules générales, sur lesquelles nous reviendrons plus loin (/Jeux. LiV., ch. I, S lo).
Afin de faire comprendre la nature de cca formules, énonçons dès maintenant celles qui sont relatives à l'additioa :
Quelles que soient les valeurs (nombres relatifs quelconques) des
(■) Dea fonuulea des &<" prjcédenta oa peut déduire lea expressions aui- -vantea de .û> (' + % =»• (' + f]- Remarquant que
■on a, d'aprèa le a" i6i, «u, d'apris i6o «t 163,
BoDTaovi. — L« Principei da l'Aaaljas matbéouliqi». la
i^ LES GRAUDETRS
arcs on abscisses carvilîgrtes a et £, les vsktm 'Aet^cssinas «t «fflur dc la somme de ces arcs — que nons désî^eroTis psr les symlmlescos (a + b), fiin (a -<- b) — seront donnés par les égalités
cos (a -H t) = cos a . CM 6 — sin a . «in b sin (a -H 6) ^ ïin a . cos 6 H- CM a . sin 6
d'où l'on déduit
'«(-')=Bs^:-
\insi, si l'on connaît les lignes Irigonométriques de deux arcs a et b on obtiendra par des oi»ératiDOs arithmé tiques élémentaire» les lignes irigonométriques.
Nous ferous connattre dans notre Deuxième Livre diverses applications do ces formules, 11 nous suflitpour l'instant d'avoir s^nalé le prolongement que le calcul trigooométrique vient donner, à son tour, h la science des nombres. Déplus en plus cette science déborde hors du vieux cadre pylliagoricien pour s'engager, à la suite des géomètres^ des astronomes et des calculateurs, dans desvoies dont nous ne pouvons pas encore prévoir l'aboutissement.
