A'R' A'C BC
riipimrls 'nj ' "rr- • nr -'"'"' '''" ruiifnirls fijaux (je désigne par
A'B',.-' BC les longueurs des côtés des deux triangles). Les côtés, les angles ou les sommets des deux triangles qui se cori-csi^adeat deux à deux sont dits honwh'jiws (cf. p. io3, note 3). Deux côtés homologues sont njiiitisèx a des angW liouMilognes.
196. — Noas avons rappelé au n'fiOie ihéort'me «dit lltéorème de Tholès ». On déduit de ce tliéorime que deux triangles semblables pûiivenl toujours être ilisfuisds (comme Icx trinngles ABC el \DE sur la Jigure iis) rie façon que ileux *le leurs cotés atùiciilent, les troisièmes côtés étnnt jtaraltètes. H en résulte en particulier que lieux triangles scmblahles ont leurs angles hamologues ^gaux chitcnn à chacun.
Kn cOirt les triangles, étant supposés placés comme MW". el XDK
sur la figure ii^, ont même angle A ; les angles ADE et ABC, d'autre part, sont égaux comme correspondants formés par des parallèles et de même les angles AED et À'E'D'. Kcciproqucment, si itcux triangles ont leurs nnijks égaux [il suffit poui- cela qu'ils aiont deux angles égaux cliacun à cliacun, les troisièmes angles étant alors égaux d'après le n" 170] ces deux Inangles sonl semblables ('). En effet on démontre qu'ils peuvent A être en ce cas disposés comme les triangles ADE et y~^ ABCdelafigurc 112.
g^~~~~J De la similitude des triangles, le géomètre passe
facilement à celle des polygones. Un polygone, en effet, '^' "*' peut toujours être décomposé en triangles. Deux polygones seront, dès lors, dits semblables s'ils jicuvenl être décomposés eB triangles semblables se correspondant deux à deux.
197. Figures semblablea obtenues par projection ou perspective. — Pour obtenir des figures semblables de jurmes r/urlconques par un procédé régulier, on pourra opérer comme il suit :
Donnons-nous deux plans parallèles que nous appellerons jilaii P et plan P', et un point 0 hors de ces plans. A un point quelconque A du ^ / |>lan P, nous ferons correspondre le point A' du plan P' obtenu en menant la droite OA et la prolongeant jusqu'à sa rencontre avec le plan P' / (le point A est appelé point homologue, ou image, ou projection de '*' " i-entreO, du point A]. Opérant de même pour tous les points d'un segment du plan P, tel que AB ou CD, nous obtenons sur le
(<) C'est \k le ■ prtmitr eaa de aimilitudc ' des triangles. Le second et le troiriime cat de similitude «'énoncent en ces termes : Deux triangles sont eemhlabUi toraqu'ila ont un angle égal compris entre deux cûlés proportion' lub. — Deux triangle» sont stmblablei lorsqu'ils ont leurs trois côliê proportionnels [c'est la proposition que nous avons prise comme définition au début du présent numéro : ai l'on adopte une autre délinilion (équi- >a]enle) de la similitude, cette proposition devient un théorèmo].
GËOIIÉTHIE MÉTBIQI'E 305
plan P', un segment (') A'B' ou CD' image (homologue) de Alt ou CD. On démontre que deux figures correspondantes des pians P et P" formées de sej^rmenls homologues sont des figures semblables. Nous avons ainsi un mode de construction de figui-es semblables (*) qui s'applique à des figures de toutes Termes — car à une ligne biisée ou courl>e quelconque du plan P correspond évidemment, point par point, suivant le procédé indiqué, une ligne € semblable » du plan P' — et qui se rattache immédiatement à la définition intuitive de la similitude qui nous a servi de point de départ au cbapitie n, $ 3.
108. Remarque : divers modea de projection. — Le mode de projection que nous venons de définir est la projeclion conique {') ou centrale appelée aussi pcrsiieclive (de centre 0). H existe, nous le savons, d'autres sortes de projections.
La projection orlhngonnle, en particulier, ou projection tout court — d'une ligne sur un plan P est la figure formée par l'ensemble des projections ottliogonales des points de cette ligne (voir n" 180).
Plus généralement soit donnée une direction quelconque définie
(') En elTet, le théorème du u" (|o montre d'adord que tous le« rapports OA- OB OC . '
OÂ' 0B~' 5c ' '" '""'^ eg""" entre eux, et, d autre part, que tes rap-
AB' C'D' ports ^g , -gp , ... BOnt égaux aux premiGn.
(*) Le> figures semblables ainsi obtenues sont dites figures Iwmothitiqut* par rapport au centre O. D'une manière générale, soit O un point ou centra fixe, A un nombre positif rationnel ou non. On appelle point homothétiquB d'un point A par rapport au centre O dans le rapport fc le point A' de la demi-droite OA lindéfiniment prolongée) qui est tel que l'on ait
longmar OA' ,
langutnr UA
On appelle figure homothétique d'une figure donnée la figure formée par tes points homothétique»d«t points de la figure donnée. — Il résulte de cette définition que, si la figure proposée est tout entière située dans un plan contenant le centre 0, la figure homothétique est également plane et située dans le mSme plan. On a alora affaire à une AomoiAéiis dan» U plan [Exemple : Sur la figure 1 12 ta droite DE est homothétique de fiC].
(*) Voir in/ra, n" 339.
par une dEoite(') (D)aou parallèle au plan P. On apçe\h(irofeclioit sur le plan P d'un poJuL quelconque \ parallilemenl à la direttion (D), le poiat de cenconLre .V du plan P avec la parallèle ù (D) menée par A. D'où un nouveau loode de projeclîOD d'une figure quelconque(fîg. \l^).
Le plan P sut lequel on projetle est appelé Fig. 1 1&. duis tous les cas plan de projection.
190. Théorème â« Pythagore et théorèmes connexes. — Soit ABC un [riangierecUngledont BCest riijpolénu8e(rig. ii5) : le carré de la longueur BC esl ét/al à la somme des carrés des longueurs AB et AC ,' aulremenl dit :
