P\ . PB =: PC . PD

Cl 1 Propriété, dit Pascai, dont le pramierinventeurcst M. Desarguet, lyonnai*, un dei grands Mpiiti de ce temp* et dca plu* vetsét aux nu- ULématiquM > (ci. Œiw. de Detargut», &à. Poudra, I. II, ^. ■•.<»■;] Le thiorime reste vrai, ici encore, «i l'on remplace le cercle par une aectioB conique quelconque.

t*) D'une manière générale, suppotona donnéi deux couples de point» P, P' et Q, Q' sur une même droite (^1. On démontre que, *i l'on désigne

330 LES FIGCRES

Supposons, par exemple, que le point P soit extérieur nu cercle et menons les droites AD et DC. Les triangles PAD et PCB sont semblables puisqu'ils ont mânic angle P, et que l'angle D égal l'angle 1) (ces angles ont même mesure d'après le n* 187). On en déduit, en égalant les rapports des côtés homologues :

PA PD PÛ~Ffi

proportion équivalant à l'égaliCé (')).

Ainsi le produit P\ . PB est une grandeur qui reste la même quelle que soit la sécante PAB (pourvu que le point Pet le cercle ne changent pas). Celte grandeur, indé[>endanlc de la position de la sdcanlc, est appelée puissance (') du point P par rapport au cercle (noua le désignerons par y)). Lorsque la sécante, tournant autour du point P, devient tangente au cercle, les deux points d'intersection A, U de la sécante et du cercle viennent se confondre en M ou en N; d'ailleurs on a toujours PA . PB =/) et, par P'F' 'î°- conséquent, pour la position-limile de la sé-

cante, PM' ^ p. Donc la puissance du point P est égale au carré de la tangente PM ou PN (PM est égal i PN). Joignons, d'autre part, le centre 0 du cercle aux [X)ints P et M (fig. i3o) :

par M un point quelconque de la droite (A) il existe sur cette droite un point M' et ua seul tel que l'on ait la relation (4),

PM QM PM' Q'M'

PM' ■ QM' ~ FJÎ ■ Qlf Cette relation définit donc une correspondance de point à point, laquelle est appelée involution : à un point quelconque M de {\) elle fait correspondre un autre point M' de la mJme droite. D'ailleurs cette correspondance est réciproque ; si l'on remplace M par M', on obtient comme correspondant de M' le point M, car, d'après les règles du calcul des fractions, l'égalité (4) entraîne comme conséquence l'égalité