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Mais l'on a (théorème de Thalè»] :
ic (inlervertion des moyens, gfi) : vjr-; donc
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e qu'il fallait démontrer.
GÉOMÉTRIE UÉTHlQt;B 3I7
Ce rapport qui devait jouer iin grand rôle dans la géométrie du xix* siùcle {vide Deux. Lier., ch. iv) porte aujoui'd'hui le nom rapiwrl anharmonique des quatre points a, b, c, d. Il est déjà sous une forme plus ou moins explicite, k la base des travaux de Girard Desargues (u[Vie(>i/7a, p. 2i4,nole i) et de Biaise Pascal; ces géomètres font graviter autour des propriétés des transversales une foule de propositionsexprimantdes propriétés métriques ou qualitatives des figures composées de droites, ou de droites et de cercles, ou, plus généralement, de droites et de sections coniques \vide injra, S 5{.
Dans le cas particulier où le rapport anliarmonique est égal à i.
on ft Qg — rjg- Les points C et D sont donc conjugués harmonique par rapport ù A et B, et il résulte du tliéorème de Pappus que les quatre droites forment de même une division harmonique sur toutes les transversales. Les quatre droites constituent alors un faisceau harinoniqae (n° 204).
221. Hexagone de Pappus. — Parmi les corollaires lirée par Pappus lui-même du théorème que nous avons énoncé nous signalerons la suivante (SuvaYu-ï/, I"v. II, prop, iSfj). Quand an hexagone C) a ses six sommets placés Irais à trois sur deux droites, les li-ois points de concours de ses calés opposés sont en ligne droite {c'est-à-dire : sur une même droite).
212. Hexagone de Pascal. — C'est un résultat de même ordre, mais plus riche de conséquences, qu'apporte Biaise Pascal dans*Ie fameux placard, Essay pour les coniques, qu'il fit imprimer en i64o, à l'âge de seize ans ('). II démontre que quand an kexa-
(') polygone à 6 cAteB; il l'agit ici d'un hexagODe quelconque, non d'un hexagone régulier.
(*] Ce placard, st suggestif et plein de promenés, ne pouvait manquer d'attirer l'attention, venant d'un si jeune homme. Descartes jugea que l'auteur avait ' appris de M. Desargues >. C'était la vérité, maîi le mérite de Pascal n'en est pas moins grand, i Je crois, - — remarque fort justement Leibniz, — que M. Desargues a eu raiïon de dire que le jeune Pascal, âgé de iC ans lorsqu'il fit son traité des eoDiques avait profité des pensées de M. Desargues ; il me semble que Pascal l'a reconnu luimâme. Cependant il faut avouer qu'il avait poussé les choses plus loin >. Ajoutons que Desargues, doqt le génie créateur ne devait être reconnu que longtemps après sa mort, s'exprimait dans une langue étrange et peu
<fone est înacril dans an cercle [c'est-à-dire a ses six sommets sur une mémeciroonférencej les trois points de concours des côtés opposés sont en ligne droite.
Ainsi, sur la Rg. 137, les points de concours des côtés A6 et ED, BC et FE, CD et .\F de l'hexagone ABCDEF sont trois points là, M| N situés sur une même droite.
Pascal savait que le même théorème reste vrai si l'hexagone, au lieu d'être inscrit dans un cercle, est inscrit dans (') une ssctiou conique (cf. supra, p. 3I3, note 1) quelconque. Il se proposait d'établir comp]ètem«int cette proposition, — qui est de nature purement qualitative — et d'en déduire une théorie g:énérale des sections coniques; mais le grand traité qu'il préparait ne vit jamais le Jour (').
intelligible. Pascal se distingue au contraire par la clarté et la netteté de ses vues et de son exposé. Voir, sur Desargues, in/ro, p. 5ii, note 1.
Le théorème fondamental de Paical est énoncé en ces tenues dans VEatay pour les coniquet (Œuv. de Pascal, t. I, p. a33) ; 1 Si dans le plan MSQ, du point M partant le» deux droites MK, MV ; et du poiot S partent les deux droites SK, SV ; et que K loit le concoun dei droites MK, SK et V le concours des droites HV, SV, et A le concoun des droites MA, SA, et fi le concours des droites MV, SK ; et que par deux dos qnat<e points A, K, \t, V, qui ne soient pas en même droite avec les points H, S, comme par les points K, V, passe par la circonférence d'un cercle oMipant les droites MV, MP, SV, SK es point 0, P, Q, N : je dis que les droites MS, NO, PQ sont de même ordre {c'eaUà-dire : concourantes) >.
(*) c'ctt-à-dire : a ses six sommets sur le contour de
(') Cf. Œuv. de PatcaL t. II, p. aaii, tqq.
GëOMÉTHIE HÉTUQUB aiQ
Dans VEtiay pour Us conique* de iCjo, cependant, ï^scal énonce déjà plusieurs conséquences remarquables qu'il a déduites de son théorcme, entre antres le théorème de Ptolémée (n" 300) et une proposition équivalant an théorème suivant, qui est resté connu sous le nom de théorî-me de Deaargucs (') :
Un cercle quelconque, les côtés opposés et les diagonales d'un quadrilatère inscn'l dans ce cercle déterminent sur une tra/isversale quelconque 6 points M et M', P e( F, Q e/ Q* (voir fig. ia8) tels que les rappoits anhai-momques des points M, M', P, Q, d'une part et M', M, P*, Q' (tautre part, soient égaux ; autrement dit :
... PM QM P'M' Q'M'
W PM' ^QM'—PTlf 'Q'M"
On exprime cette propriété en disant que les trois couples de pmnls M et M', Q et Q', P et P' sont en tnvolution (•),
Fig. ...j
213. PuIflSBQce d'an point par rapport & an cercle. — Soit donné un cercle quelconque et un point P dans le plan de ce cercle. Menons par )e point P deux sécantes quelconques (fig. 139) qui coupent respectivement le cercle en A cl Bet en C et l>. Je dis que l'on a l'égalité
