GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE
nous voyons que OP' = OM' -4- PM* (puisque le triangle MOP est rectangle). Donc la puissance {p ou PM') du point P égale le carré OP' de la distance de P au centre du cercle moins le carré OM' du rayon.
On démontre pareillement que, lorsque lo point P est intérieur au cercle, le produit PA . PB (puissance du point P par rapport au cercle) reste invariable lorsque la sécante APB tourne autour du point B ; ce produit est égal au carré du rayon moins le carré de la dislance de P au centre da cercle.
214. Figure* inversai. — Bomons-nous h définir ces ligures. Donnons-nous un point 0 (centre d'înversion) et un nombre k positif ou négatif; puis "i ^-p
considérons un point quelconque M du plan; '~\ii- r
h ce point M nous ferons Correspondre un 1 I
point M' ainsidéfini(fïg.i3i): i" le point M' /nST"'^' '''^ est sur la droite OM ou son prolongement,
'savoir de même côté de 0 que M si k~>-o,
-de l'autre côté si /; < o ; a° le produit des longueurs OM, CM' est égal
à la valeur absolue de k\ donc la distance OM' est égale à 7-,^ (').
Aux termes de cette déHnition (si O et fc sont donnés) il correspond à tout point M du plan un point M' et un seul. Cela posé, considérons la figure formée par l'ensemble des points M' correspondants a tous les points M d'une courbe ou ligne quelconque (G) : celte figure est appelée figure inverse de la ligne (G) ou figure transformée de la ligne (C) par rayons vecteurs réciproques ('). H résulte immédiatement de notre définition que si (Ci) est la figure inverse de (G), (C^ est réciproquement la figure inverse de (Ci).
On démontre que la figure inverse d'une circonférence qui ne passe pas par le centre d'inversion 0 est un cercle. En particulier, au n" 313 le cercle de la figure est sa propre figure iuvcrsc par rapport au centre d'inversion P si l'on jtrend pour valeur de /; le nombre positif OP' — OM'.
(') Nous désignons par [k\ la valeur absolue ilu nombre k.
1*1 D'où le nom ■ rayons vecteurs réciproques a. On appelle rayon feclew uno droite telle que OM qui joint un point lou centra fixe 0) i un point variable : ainsi, dans la théorie de k lumière (à laquelle est empruntée t'expresiion veetew) un rayon lumineux.
323 LES PUUIKCS
On démontre que la figure inverse d'une droite qui ne passe pfts par le centre d'inversion 0 est un cercle qui pisse par le centre d'inverM(».
3i5- Relations trlgonométriquas witra !«■ étémaiita d'un triangle reotangle. — Nous avonsdéTini au n" 153 cerlaiaes longueurs remarquables (grandeurs trigonométriques) que l'on peut associer k un angle quelconque et que bous avons appelées siniu, coiiniu, la/tgenle,... Entre les longueurs des câtés d'un triangle et les grandeurs trigonométriqnes relatives à ses angles, il j a des relations métriques qui sont fort souvent utilisées dans les catcnls pratiques (astronomie, géodésie» arpentage) et qui jouent également un rôle important dans l'algèbre théorique.
Considérons (fig. i33) te triangle rectangle AOB dont l'angle A est droit. Portons sur OB une longueur OM égale k l'unité de longueur [sur la figure, cette longueur est inférieure k OB; il n'y aurait rien h changer à nos raisonnements si le point M tombait sur le prolongement de OB] et menons MP parallèle k BA. Par défmïtîon, la longueur du segment OP est le cosinus (positif) de l'angle 0, la longueur PM en est le sinus (positif) [le cosinus et le sinus sont positifs, tJiV/cn° 156, puisque l'angle 0 est aiguj. D'ailleurs les deux triangles OAB, OPM sont semblables, et l'on a :
