Ueux géométriques. — Etude des courbes
341. Llenx géomitrlquas. — Supposons qu'il soit demandé de construire un point jouissant d'une certaine propriété géométrique et que l'on l'econnaisse la possibilité de construire, non pas tin tel point, mais une infinilé de poinls jouissant de la même propriété : si l'ensemble de ces points constitue une courbe, cetle courbe est appelés lieu (jéométrtqae (tinoc) [ou, plus explicitement : lieu géométrique -des points jouissant de telle ou telle propriété].
Les théorèmes des paragraphes pi-écédents déterminent immédiatement un très grand nombre de lieux géométriques qui sont des droites ou des cercles : ainsi le lieu géométrique des points équi-
distants de deux poinls donnés A. et h est la perpendiculaire xy élevée sur ta droite \R en son milieu {Hg. i^g) ; d'après le théorème da a° 304, le lieu géométrique des }.oinlx dont les distances à deux poinls fixes A e( B est dans un rapport donné k [c'est-i-dire le lieu des points M lels que au ^^ A'] tst un cercle dont le centre est surAB.
Ces lieux géométriques, et tous ceuv qui, (Xtmmc eux, se trouvent être des droites ou des cercles, sont appelés Ueux plans
343. — Soit demandé, par contre, le lieu géométrique des i; points lels que le produil de leurs distances à deux droites fixes, d'une part, et le carré de leur distance à une troisième droite fixe, d'autre part, soient dans un rapport donné. 11 s'agit, en d'autres termes, étant donnés les 3 droites D, E, F et le nombre k, de trouver le '^' ' ' lieu des points M dont les distances
V y, z aux trois droites D. E, F (Qg. i5o) satisfont à la relation
»i6 LES FIGrRBS
C'est le lieu à /mis limites {liycus «'/ Iiva lliienx), — souvent appelé lieu de Pappiis — mais déjà étudié par A[x>llonius r ce lieu est une section roHJV/we.
Section conique {') aussi est le lieu à t/ualre ilroiles — lieu des points tels que leurs distaoces respeciîves x, y, z, u ît qnctre droites données satisEassent. k la leUtton x.z=k.j'.a {k éâaai im nombre donné).
D'une manière géoérale, tous les lieux géométriques qm se trouvent t^tre des sections coniques son! appelés Jifitc soliile*{^)
243. Propriétés des lieux soUdei. — Nous avons va qoe pour donner des sections coniques une (léliuiiion rigouccuse les géomèties grecs crevaient devoir recourir à une conatruclioa aier^oinétrique. Il est probable cependant que c'est en étutliâak certains problèmes de géométrie plaïke (^) que l'on fut aneoé en bit à
Cl Apollokil-s et Pappis traitent un problème plua général en supposant que les diatances du puint M Kax droites données ne soient p*8 ,- comptées 3UI les pcrpcudtculaitea à ce» dmilM»
mais sur des segmenta faisant hvcc les droites donDécs des angles doniiis |dont la valeur eat ilxée une lois pour toutes). Soit par exsa^le a un angle égal à l'angle donné (Ilg. i:>i), (D| l'une des droites données, M un point da Neu; ta diatattce de M i la draite iDi, doat il eat question dans l'énonce, ne sera pas MH, mais
'S' '""' Pour certaines positions exceptionnelles des
droites données, il p«ut arriver que k lieu géamëtrique soit un cercle ou une droite [lignes que le» modernes regardent comme dea cas particuliers de sections coniques].
l'i Primitivement on donnait également le nom de lieux solides à toutes les courbes déSniei comme intersections de corps solides telles que les courbes gauches dont noua parferons au n" a^a. Mais Papi'ub faisait rentrer ces courbes dans la classe des tieujc fincuircj, laque lie comprend tous les lieux qui ne sont ni droite*, ni coniques {i>ide injra, 'iV^, cf. Heath, ApoUonim of Ptrgu, p. XXXIl). Nmh Teirans d'ailleurs plus loin (Deitr. lit-., ch. m; quelle est la aignitiration probable do l'expreasion f lieu solide Il et pourquoi elle ne peut s'appliquer i)u'au\ sections coniques.
l'i IIeath suppose t.lpolhniiii oj Perga, p. XVII. sqq.) que c'est à l'oGcasinn du problème do la duplication du eubo (voiri^flttx. Uv., cb. iv) que Mkkechme, le premier (\-ide p. i^i, note 11 s'occupa des s coniques.
UEUI GÉOMÉTHIQL'ES. trVDE DES COVHIIES oij
s'occuper de ces courbes. C'est à titre de lieux (/éomèlriques, en tout cas, qu'elles interviennent te plus souvent dans la géomélrie grecque.
Un contemporain d'Euclide, l'athénien Aristée (■), avait composé sur les lieux solides un traité, malheureusement perdu, qui semble avoir exercé une grande influence. Archimède et Apollonius allèrent plus loin dans la même voie. Ainsi fut constituée une théorie générale des sections coniques qui occupa mpidentent une place d'honneur drns l'édifice de la géométrie. Parvenue déjà à un haut degré de perlectïon dans l'antiquité, elle devait devenir, avec les découvertes de Kepler sur le mouvement des astres, la base de l'astronomie et de la mécanique céleste; et c'est aussi par l'étude des coniques que s'essava et s'affirma au xiii* siècle la nouvelle méthode de géométrie instituée par Fermât et Descartes.
Sans chercher à repitiduire les démonstrations difficiles des géomètres grecs, signalons quelques propriétés fondamentales des coniques qui étaient connues d'eux et que nous retrouverons et établirons plus loin par la géométrie algébrique.
244. Foyers de lellipse. — Voici tout d'abord une propriété de l'ellipse qui sert souvent aujourd'hui k définir cette courbe (*] : A l'intérieur de l'ellipse (c'est-.Vdîre d'une ellipse quelconque) il j a deux points app^és foyers ('), jonissanl de cette propcîélé que la somme de leurs distances h un point quelconque de la courbe est constante (') {c'est-i-dire égale pour tous les points de la courbe).
Appelons F, F" les foyers et A, A' les points où la droite FF' prolongée rencontre l'ellipse; le segment AA' est dit fjraml axe de l'ellipse; on a, par hypothèse :
