SECTIONS PLACES DV CÔ:(E

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géoéraltsées {>âr Apollonius de Perga, dtHit le Traité des Conîijues iKiovutii, — l'un des plus beaux moauments de 1« ^çéofoétrie grecque, — Ht autorité jusqu'à la fin du xvu* fliède, ApoUouioe étudia en effet les into^ectioni que détenuioe sur la surface d'un cône ou cylindre droit ('), et plus généraleraent d'an cànc ou cj'liodre o6Zry«e quelconque ^voir p. g; et 99), un plan disposé d'une manière arbitraire. Il démontra que ces courbes ne difiêrent pas de celles qu'étudiait Archimède — ou, en d'autres termes, qu'étant donné l'une quelconque d'entre eUes. il existe toujours un câoe droit sur loque! elle peut £tre placée de telle sorte que son plan Boit perpendiculaire À une génératrice (ride supra).

330. — Il ne nousest pas possiblede reproduire ici les démonibraliotis d'ApoUonius qui sont, pour nous modentes, fort diilîcîles à suivre, habitués que nous sommes aux voies rapides de la géométrie algébrique. Lamétbode de Descaries nous permet, en effet, d'étudier par le calcul toutes les propriétés des sections cooiqoes sans sortir du plan, c'est-â-dire sans nous préoccuper du cône ou des cônes dont ces ^<s- '^'-

courbes sont sections. Desargues et Pascal, cependant, plus géomètres qu'algébrisles, se référaient encore à la définition première des secdons coniques. Ils surent en tirer un ii»iii nouveau en approfondissant k cette occasion la théorie de la projeclion ou perspective (197).

(*) On dénuiiitre en particulier que t'intenectian d'un cAne droit par im plan e*t : une ellipse «i le plan mené par la «oiiunet du cSne parallàlement au plan sécant est extérieur au cAne (dont on luppose la surface indéfiniment prolongée de part et d'autre du lommet) ; une hyperbole si le plan parallèle considéré coupe le cône (il le coupe alors suivant deux droites, génératrices du cSnel ; une parabole si le plan considéré est tangent BU cAne (c'eit-à-dire s'il ne le traverse pas, mais le touche, est en contact avec lui, le long d'une génératrice}. Exceptionnellement si le plan sécant paise par le sommet du cùne, l'intersection se réduit à deux droite* (deux génératrices}, ou à une droite, ou au seul sommet.

34i i-Es pici;iiEs

Considérons un cdne circulaire droit ou oblique et unesecUon de ce c<\ne, — soit par exemple une ellipse {fig. ij?)- A chaque point de la section correspond un point du cercle de base, savoir le point qui est sur la même génératrice du cdne : ainsi A' correspond à A, B' à B, M' à M ; nous dirons que ces points sont les projections coniques de A, B, M, le centre de projection étant S. et que le cercle et l'ellipse sont projections coniques l'un de l'autre.

Ces dcHnitions données, on peut demander s'il n'y a pas unecertaine corrélation entre les propriétés de l'ellipse et celles de a» projection conique circulaire. Ne pourra-t-on pas, en d'autres termes, déduire certaines propriétés intéressantes de l'ellipse, hyperbole ou parabole, du fait qu'elle a pour projection conique un cercle, c'est-à-dire une courbe dont les propriétés sont connues ^ ^ Tel fut le point de départ de la géométrie projective qu'inaugura Girard Desargues (') et qui fut développée plus tard par lesgéomètres du ïix* siècle.

340. — S'il s'agit de l'ellipse, d'ailleurs, on peut à volonté U' considérer comme projection conique ouj comme projection orthogonale d'un cercle. On démontre en eflet que la projection ortliogonalc d'un cercle dont le plan n'est pas parallèle an plan de projection est uneellipse (cette ellipse peut être constdéréecomme une section plane d'un cylindreoblique ayant pour base le cercle considéré). D'où un moyen de déduire des propriétés du cercle certaines propriétés correspondantes de l'ellipse.

(*j Voir § 3. L'ouvrage principal do Desabgves Mt le Brouillon Projtel d'vrte atleinle aux evenemena des rtncontrea d'un atne avtc un plan, i61^. Les œuvre» de Desargues que nous possédons ont été réunies en deux volumes par Poudra, Leiber, fd., iSt>{.