MF -+- MF' = AF -H AF' = AV

Le milieu C du grand axe est dit centre de l'ellip^, et le segment B'B de la perpendiculaire h AA' menée par C (limité k l'ellipse) est dît pelil axe. Le point C étant milieu de FF', on voit immédiatement que le tiiangle B FF' est ïsoscéle; donc que BF = BF' ; or BF i- BF' = AA' ; donc BF = ^ =- AC. Le tliéoi-ème de Pytliagore donne alors :

ne = v^UF'"— CF» = i/AG'"^rcFV

La longueur FF" est appelée lUshuire focale. Les points A, A', B, B', sont dits sommets de l'ellipse. Les quatre morceaux (arcs) AB, B V, A'B', IJ'A de l'ellipse sont manifcslement ^/mt^nçucs (176) les uns des autres par rapport aux axes AA, B'B et au centre G.

De la propriété Tondamentale des Toyers de l'ellipse nos traités de géométrie déduisent la règle de construction suivante : a Pour tracer une ellipse d'un mouvement continu on prend un lil dont la longueur est égale au grand axe, et l'on fixe tes extrémités de ce fil aux deux foyers F et F' ; puis avec la pointe d'un crayon, on tend le lil, et l'on l'ait glisser la pointe du crayon sur le papier en maintenant le lil tendu. Dans cliaque position la somme des dis- ' tances de la pointe du crayon aux points fixes F et F' est égale à la longueur du fil ; donc la courbe obtenue est bien une ellipse >.

Pour les raisons que nous avons exposées plus liaut, cette construction mécanique ne pouvait avoir une valeur tliéorique anx

LIBUX GÉOMÉTEU<Jt]ES. ÉTUDE DES COURBES 2Jg

jeux des géomètres grecs ; elle est attribuée par un auteur ai-abe à trois frères (*), les lils de Mousa Ben Châgir (ix* siècle).

Dans le cas particulier où les deux foyers de l'eltipse sont confondus (la distance focale étant nulle), ces points coïncident avec le centre et il résulte immédiatement de leur propriété que l'ellipse se rétluil à un cercle.

345. Poyera et asymptotes de l'hyperbole. — L'iivperbole jouit d'une propriété analogue à celle de l'ellipse. Il y a dans son plan deux points (foyers) tels que la différence des distances d'un point quelconque de la courbe & ces deux foyers soit constante (') (égale pour tous les points de la courbe qui est, on l'a vu, composée de deux branches).

Soil A' et \ les paiots (sommets) où la droite F'F rencontre la courbe(lig. i53); le segment A'A est dit axe transverse de l'iiyperbole; la longueur FF' en est la dislance focale, le point C milieu de AA' et de FF' en est le centre.

Par raison de symétrie, il est commode d'attribuer k l'hyperbole comme à l'ellipse un second axe : cet axe est un serment B'B

porté sur la perpendiculaire en C à FF', ayant le point C pour milieu, et dont la demi-longueur CF est par délinition égale ù V'CF' — CA*.

L'hyperbole a comme nous l'avons vu quatre demi-branches {'], qui s'éloignent indéfiniment (branches inRnies). En étudiant ces branches, on démontre qu'elles sont respectivement asymptotes k des demi-droites passant par le centre C et se prolongeant deux à deux. Voici ce qu'il faut entendre par là. Il existe deux droites HH', H,'H,, se coupant au point C (fig, i53) qui jouissent de la propriété suivante : tes demi-droiles CH, Clli. CH'. CH', se rap-

(') Cf. WiEPCKE, Rech. «. Ut te. math, dux les OrUntaux, Jcurnal asiatique, tft.'ifi, p. 333.

(») ApoLi.on;iis, Conica, III. 5r.

(*| Cei demi-branche* sont maDifealement aymitriqura les unes des autres par rapport aux axes AA', BB' et au centre C.

35o LES FIGUKEâ

prochent de plus en plus, lorsqu'cm les piolooge în^fùiiineiil, de» quatre de mi-bran cbes d'hyperbole ; plus précisément, on paat toujours trouver sur cliaque demî-brukclie un point uaex éloigné pour que sa dislance (') à Li demi-droite corresponduile soit arbilrairemcnt petite fc'eat-i-dire iaCérieure à tout nombre que l'on se %er* donnû à l'avance aussi petit que l'on voodra). f.es dioites H'il el ll'ill, sont appelles asyinplofes {is-JiLiz-.<o-.<n) de l'hyperbole (°).

246. Dir«otrioee et flxcantrioité. — Les trois sections coniques, ellipse, hyperbole et parabole jouissent d'ooe pcopriélé ^ commune remarquable ('). On démoaire en eSel :

1° Qu'étant donnes (fig. i5^) une droite iodé- ^ iinio 1>I), et un point 1*', le iieu ifMmétriqiu da

\p fioinU M tels iftu U rnf^rl 'les 'lisUinces^XW rtSIF lie M 'Ht i)oinl F el à la droite soU cnnulnnt et éifol à un nomhrc ilniiitè est une secUiui conique ;

■i° Que, réciproquement, étant donnée une section

conique quelconque, oii fieut loujiMi-s Irûux'er (ions

son plan ane ilitn'le DD, el un jMiiiil F lel que le riii>fiorl ilfs dii-

l'iiices il an poiiil M île la courbe à V et ii DD, suit amsliuil (éi/ai à

an mi'me nombre pour tous les points île la courbe).

On étabht de plus que :

MF ■>" Si le nombre constant auquel est égal le rapport .... est tnjf-

rieur à i, la section conique est une eltijise et réciproquement.

Si ce nombre est supérieur â i, la section conique est une hyperbiik et réciproquement.

Si ce nombre est l'^n! à i , la section conique est une parnbole et réciproquemint.

.'i" Dans le cas de l'ellipse ou de l'hyperbole le point F se tronie ôtic l'un des |)oints que nous avons* délinis plus haut et appelés foyers. La droite DDi est appelée illrecfricr (').

\ chacun des deux foyers F, F' correspond une directrice, en sorte que la section conique peut être définie à volonté comme lien

r I La dûtince d'ua peint 1 ime droite a été débùe au n" lyj.

l'i Apollonius, Conica II, prop. a.

'h Pappus, S'jvtiY^'T'!' ''^- ^'"p prop. '.tî".

l'i Hecla Direcîrix, iDb I.a. Hibe, Setli»nti Conica, Paria. iftSS, lir. Il,

LIEUX GÉOMÉTHIQUEa. ÉTtDE UES COUIIBES

géométrique des points dont les dlstauces i F et DD, ou c

lieu géotnétriqite des pcùnts dont les distances k F' et D'D,', sont

dans un rapport constant ((ig. i53).

Le i'ap[>ort constant est le même quel que soît celui des deux foyers auquel oo rapporte la courbe, pn démontre que ce rapport est loujoius éijal na rapport île ta distance focale île la section conîijae à la hnf/ueur de son grand axe {cas de l'ellipse) ou de son axe Iransverse (cas de riiyperbole). On appelle ce rapport (depuis Kepler) excentrieiié de l'cUipsc! ou de riiyperbole (').

Dans le cas de \aparnbole, le point F est encore appelé /oyer et la droite DiD directrice. (1 n'y a plus en ce cas qu'un foyer et qu'une directrice, et la propriété énoncée ci-dessus équivaut

(') Nous avons vu que le cercle est un cas particulier de l'ellipse. Il résulte de la dëBnition de l'excentricité que l'excentricité d'un cercle est nalle, puisque pour le cercle la cKstaoce focale est nnllc {n"3.V^).l*s deux foyers étant confondus au centre du cercle. Que devient alors la directrice ? Puar donner un sens à cette question, considérons d'abord une ellipse d»nt la torine se rapproche beaucoup de csUe d'un ctrck tGg. iliyV-, ta distance focale étant très petite, il en est

MF

'" de même de l'eiceatricité, donc do rapport ij^u

défiai ci-desgus pour un point quelconque M de la courbe. Mais MF n'est pas nécessairanMnt petit; il faut donc que MH loit très grand, cl cela quel que soit le point M de !a courte que l'on tonsidère. J'en conclus que la directrice est une droite très éloignée. Plus t'eUipse se rapproche de Fa fifure circulaire, plus la directrice est éloipiéc, Nous eiprimerwns ce fait en disant que quand l'ellipse devient un cercle, la directrice est rejetée à Vinfini.

sSs LES F1GCRE3

k la définition que nos traités de géométrie donnent ItabitiicUcment de la parabole : La parabole (fig. i56) est le lieu des points d'un plan équidislants d'un point fixe appelé foyer et d'une droite fixe appelée directrice. La parabole a une exceii/r/cfVt' égale à i.

Le point de rencontre A de la courbe avec la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice est le sommet de la courbe ; la droite AF prolongée est Vaxe. Les deux parties de la courbe sont symétriques par rapport à l'axe.

247. Diaindtr«8. — Coupons une section conique, une ellipse, par exemple — mais les déliDitions et énoncés qui suivent s'epg, pliquent k une conique quelconque — par une

série de droites toutes parallèles les unes aux autres (Qg. i58). Ces droites coupent la conique suivant des segments tels que LM, L'M', ... que nous ap< pellerons cordes de la conique {cf. n" 186). — On démontre que le lieu géométrique des milieux de toutes les cordes (d'une même conique) parallèles à une même direction est une portion de droite Fig. i.iH. ^qye Pqi, Jit conjuguée à la direction considérée, ou aux coixles qui ontcetle direction). En particulier, si la conique est une ellipse ou une byperbole, le lieu est une corde EE' qui passe par le centre C de la conique. Cette corde, et d'une manière générale toute corde passant par le centre C, est appelée tliamèlrc de la conique.

Appelons, d'autre part, d'G la corde (diamètre) parallèle à LM, L'M' et passant par le centre. On démontre que ce diamètre est le Heu géométrique des milieux de toutes les cordes de la conique qui sont parallèles au diamètre E'E (lequel est entièrement déterminé par la direction de LM, L'M', ... et par conséquent de G'H). — Ainsi le diamètre G'G joue par rapport au diamètre E'E le miîme rûle que E'E par rapport h G'G. Les deux diamètres sont dits conjugués (irjïuftïî Sii(iEt^oi) (').

I tout dinmtire de la coiùijue correspond u» diam^lre conjugué.

Le diamètre conjugué d'un axe est le second axe de lu conique.

Dans le cas de la parabole le lieu géométrique des milieux des

(') Apollonivr, ConUa I, prop. i6.

UEUX QËOM ETRIQUES. ÉTUDE DES COURBES 353

cordes parallèles à une même direction est encore appelé diamilre (conjugué à la direction des cordes correspondantes). On démontre que tous les diamètres de la parabole sont parallèles entre eux et parallèles à l'axe de la couvbe.

Nous aurons l'occasion d'exposer plus loin une remarquable propriété des sections coniques qui joue un grand rdie dans le traité d'Apollonius et où interviennent les diamètres conjugués {peux. Liv., cil. m).

348. Lieux géométriques définiaBant de» oourbea nouvelles. — Les lieux plans et solides sont-ils les seuls lieux que puissent considérer les géomètres? N'est-il pas possible, en d'autres termes, de définir des lieux (géométriques qui ne soient ni des droites, ni des cercles, ni des sections coniques, mais bien des courbes nouvelles (non encore reçues en géométrie) auxquelles leur qualité de lieu géométrique servirait précisément de définition^ I.es géomètres grecs avaient été amenés de bonne hem-c, par l'étude de divers problèmes, à considérer de telles courbes.

Telle est la quaiiralrice. dont l'invention est attribuée an sophiste Hippias (ï* siècle av. J.-C.) — lieu géométrique des points jouissant de la propriété suivante ; OX et 0\ étant y deux droites rectangulaires, B un point lîxe sur OV, M un point quelconque du lieu et P sa projection sur OB, on doit avoir

>B ajigleXOM.

, OB aTigleXÙY' - " ■

^ [la fig. iSg représente la por- '* '■"■''

^' ' °' tion de ta courbe située dans l'angle X0\ ;

elle coupe OY en B]. — Telle est aussi la spirale d'ArchlmhU (') (fig. i6o) lieu géométrique des points jouissant de la propriété suivante : OX étant un axe fixe, k un nombre donné, M un point du lieu, menons la droite OM : on doit avoir (pour loul point \f du lieu) :

longueur OM , angle MOX ~ '

l'unité d'angle étant par exemple le degré.

(<| AncniHÊDE, T,t^\ ï\'\*ai-i. Cf. Heatu, Archimedta, p. iSr.

Au n" siècle (av. J,-C.}, deux nouvelles coarbes furent dêTinics, la cnnchoîde par Nicomède, la cisnaïilr par Dîoclfes.

Soit donné un axe OX et une perpendiculaire ZBV h cet »\c (fig. i6i). Appelant M un point quelconque à droite de Z\, menons la droite OM qui coupe ZY en P. La conchoïfl4' est le lieu gèomélrique des points M tels que ~x la distance PM soit constante (et égale k une longueur donnée). La figure ci-contre indique fig. 161. la £3rme de la courbe

qui a deux branches îndéilnioient prolongeablcs. 0 H

Soit donné un cercle de centre C, un diamètre OA de ce cercle. Menons en A la tangente au cercle, puis par le point 0 une sécante arbitraire qui rencontre le cercle en B et la tangente en D, et prenons enfin surcette sécante (llg. iGs) une longueur OM égale à BD. On appelle c/.vsQïile (') le lieu géométrique des poînU M obtenus en faisant c cuper è la sécante OD toutes les positions possibles.

34S. — Les divflrses courbes dont il vient d'être question sont, d'après la terminologie de Pappus, des tosoi -/pajtjitxol (lieux lim'airex ou mécaiw/ues , traduit Descaries). La forme générale de ces courbes était facile h déterminer, mais pouvaîl-on cependant regarder leur définition comme complète ? Leur existence était-elle sufReamment prouvée? Il y avait là uno difficulté logique qui dut pendant longtemps gêner les géomètres. Pour expliquer et discuter leur po'uit de vue nous ne saurions mieux faire que de citer iii-exlenso le magistral début du second livre de la Géiunétrie de Descartes : De la nalare des lignes coarbes :

H Les anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmes de la géométrie, les uns sont plans, les autres solides, et les autres linéaires : c'est-à-dire que les uns peuvent être construits en ne '

CI NtcouÈDE avait, paraît-il, imaginé 1 décrire la ciisoïde mécaniquement.

appareil permettant de

3,Nze:J.ïGOO<^IC

LIEUX GÉOMKTBlQVeS. ^TCDE DES COUHUES 355

IraçBid que des lignes droites et dei cerdes ; ati tien que 1» autres ne le penvent ttre qu'on n'y emploie poar le moina quelque section «onitfue ; ni enfin les autres qn'^Ki n'y emploie quelque autre ligne ptas composée. Mais je m'étonne de ce qu'ils n'ont point, outre cela, distingué divers degrés entre ces lignes plus composées ('), et je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques plutdt que géométriques. Car de dire que c'ait été & cause qu'il est besoin de se servir de quelque machine poar les décrire, il faudrait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu'on ne les décrit anr le papier qu'avec un compas et une règle, qu'on peut aussi nommer des machines. Ce n'est pas non plus à cause que les instruments qui servent i les tracer, étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes; car il faudrait pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la Ju.stease des ouvrages qui sortent de la main est désirée, plutôt que de la Géométrie, où c'est seulement La justesse du raisonnement qu'on recherche, et qui peut sans doute être aussi pariaîle touchant ces lignes que touchant les autres. Je ne dirai pas aussi que ce soit à cause qu'ils n'ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu'ils se sont contentés qu'on leur accordât qu'ils pussent joindre deux points donnés par une ligne droite et décrire OQ cerde, d'un centre donné, (jui paiaflt par un point donné : car ils n'ont point iait de scn^uile de supposer outre oela, povr Uaiter des sections coniques, qu'on pût couper toot cane donaé par «n plan donné. Et il n'est point besoin de rien supposer, pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici inlroduîre, sinon que deux on plusieurs (ignés puineot ftlre mnee l'use par l'aubv, et que leurs intersections en marquent d'autres.... Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles [les lignes] qui étaient plus composées que les sections coniques^ c'est que les premières -qu'ils ont oofuidérées ayant par basard été la spînle, la quadralrioe et semblaUes, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques et ne sont pas du nombre de cclks que Je panse devoir ici èbe reçues, k cause qu'on les imagine décrites par denx mouvements séparés et qui n'ont entre eux aucun rap-

(') na* cens^«é<M : «'«it-à-din d'un degré pins élève, voir Deux. ItVr.,

LES FieCRES

port qu'on puisse mesurer exactement, bien qu'ils aient après oxaniiné la conchoïde. la cissoïde et quelque peu d'autres qui en sont, toutefois, à cause qu'ils n'ont peut-être pas assez i-emarqué leurs propriétés, ils n'en ont |>as l'ait plus d'état que des premières (') 1),

250. — Nous aurons occasion de souligner au chapitre u l'importance de la révolution qui, avec laGéomctriede 1637, achève de s'accomplir. Remarquons seulcmenlpourl'instant, que si un dernier scrupule empêche Descartes d'étendre k la quadratiice (') et à la spirale ce qu'il dît de la conchoïde et de la cissoïde ('), nous sommes aujourd'hui plus audacieux. Sans nous préoccuper de savoir par quel mécanisme une courbe géométrique peut être tracée sur le papier, nous convenons de donner ce nom î\ tout ensemble de points formant une ligne continue et jouissant d'une même propriété géométrique ('). Toutefois, en nous plaçant au pointdevucde l'algèbre, nous serons amenés à établir une distinction capitale entre la spirale et la quadratrice d'une pari, la conchoïde et la cissoïde d'autre part : les secondes sont des courbes algébriques, les premières sont transcendantes [vide Deux, lia., c^t. iv].

261. Courbes envaloppoB. — \ la conception générale de la ligne courbe que nous venons d'indiquer les géomètres ne devaient pas même se tenir ; ils allèrent plus loin dans la voie ouverte par Descartes, et c'est ainsi qu'ils en vinrent à regarder comme parfaitement et nponreusement dcHnies des courbes qui sont déterminées, non plus par une propriété de leurs points, mais par un ensemble (une infinité) de droites jouissant d'une propriété com-

(■) Après ces déclara lions. Descaries introduit incootinent un grand nombre de courbes nouvelJcs qui sont des lieuse géométriques te rattachant au problème général de Fappus (lieu à !>, ou 6, ou, plus généralement, à un nombre quelconque de droites) dont nous avons considéra plus haut des cas particuliers.

(') Les déHnitions de la quadratrice et de la spirale, telles que nous les avons données, ne soulèvent pas, remarquons-le, la question que pose ici Deacartes, savoir par quelleB combinaisons de mouvements ces courbes pourraient être engendrées ; ce ne sont pas des dèfitiitiont gêné' tiquas.

{'} En fait cependant on n'étudiera que les courbes dites analytique» (voir Deux, liv., ch. iv).