LIEUX GÉOSI^TRIQUES. ÉTUDE DES

Considérons, par exemple, un ensemble de droites telles que AB, A'B', A'B' (fig, i63) dont la longueur est la même et dont les extrémités sont sur deux di-oites rectangulaires données \'0\, Y'OY. On démontre que toutes ces droites sont tangentes h une même courbe qui a la forme représentée par la figure i64 (chacune d'elles touche la courbe en un point et un !ul) ; cette courbe se trouve entièrement déie par le caractère * que nous en indiquons, k savoir qu'elle est tangente à toutes les droites jouissant de la propriété ci-dessus énoncée : elle est appelée kypocycloïde à quatre rebroussements, et l'on dit qu'elle est ['enveloppe de l'ensemble des droites considérées.

D'une manière générale toute courbe définie par ce ia\t qu'elle est tangente (en ses divers points) aux droites jouissant d'une certaine propriété commune est appelée courbe enveloppe ou enveloppe de ces droites. Nous reviendrons ultérieurement sur la théorie des enveloppes, et nous nous rendrons mieux compte alors de l'évolution considérable qu'a dA subir la notion de courbe pour que cette théorie devienne possible.

asa. Courbe» gaaobes. — Toutes les courbes que nous avons considérées jusqu'ici sont des courbes planes (situées dans un plan). Il est clair cependant qu'il est facile de concevoir des lignes continues (courbes) dont tous tes points n'appartiennent pas à un même plan. En elTel, il est manifeste que les surfaces de deux corps solides se coupent en général suivant une telle ligne : or nous avons vu que la défmition d'une ligne comme intersection de surfaces est considérée commeexcellente par les géomètres grecs.

Ne nous étonnons donc pas de voir ces géomètres étudier de bonne heure certaines courbes de l'espace, — courbes que nous appelons aujourd'liui courbes gaticfies ou à double courbure.

Ainsi Archj'tas de Tarenle étudie (') des Intersections formées

('} Cette étude était restée m reprise au xvu* siècle, par P. Coi

BoLTMUi, — Lea Priocipa da I'AuIjh milbinutiqne

rellement fort incomplète. Elle tut

LES FIOITRXS

p«r les surfaces de corpe contins tels que cyHadm, cônes, tores (vide p. a4i, note i). Vers la même époqua, Eudoxe de Cnîde s'occupe d'une coarbe appelée hippopède, qui est vraiseoiblableniMit l'intersection d'un cylindre et d'une sphère.

Une courbe plus simple et qui nous est plus faoïiltàre est Y hélice cylindrique (éhUi) étudiée par Arcliimède. Celte eonriae en forme de vis est tout entière située sur la surface d'un cyliadre droit et peut êlro ilélinie comme il suit :

fïg. .65.

Imaginonsun cylindre creux ayaut seulement une surface latérale, en papier par exemple. Fendant le cylindre suivant une génératrice AB, nous pouvons le dérouler et appliquer sa surface sur un plan ; la surface déroulée a la forme d'un rectangle .\A'BB'. Dans ce rectangle, traçons une droite quelconque, par exemple la droite BG, puis redonnons au cylindre sa forme primitive : la droite BC enroulée sur la surface du cylindre devient une ligne courbe BMC qui est est une spire tf hélice. L'hélice proprement dite se compose d'une infinité de spires toutes égales entre elles et se faisant suite (fig. i66).

L'étude systématique des courbes gauches fut inaugura au iviu" siècle par le géomètre Clftiraut.