Arrangements. — Etant données m lettres distinctes
on appelle arranycmcnts de ces m lellres /) à p tous les groupements que l'on peut former en plaçant p de ces m lettres h la suite les unes desaulres dans des ordres dilTércnts (cette définition suppose que (') p < m). — Deux arrangements seront regardés comme distincts s'ils diffèrent soit par l'oi-dre, soit par la nature des lettres qui y figurent. Dans le cas où p = m, les arrangements ne sont autres que les permutations des m lettre» considéi-ces (d'après la définition du n° 257).
Exemple, — Soient données quatre lellres ni. «ï, ai, a^. Les arrangements de ces quatre lettres deux à deux sont
a,ai et a^ai ; 0,03 et OjO, ; aïo, et ai,a, ; asa.i et a^ai : o^i et a^ai ; a^t et oiOs ;
ces arrangements sont au nombre de la.
On démontre, d'une manière générale, le théorème suivant :
262. Théorème. — Le m>mbre des arran'jemenis de m lellres p à p est égal au produit de p nombres entiers consécutifs décroissant à partir de m. En d'autres termes, ce nombre d'arrangements, que je désignerai (suivant une notation consacrée) par le symbole A£,,est :
(3) Ali = m. (.n-i) ...(«.-/,+ i).
Pour démontrer ce théorème nous emploierons de nouveau la méthode récurrente.
Supposons formés tous les arrangements des m lettres p — là p — I , dont le nombre est désigné par .\J^~'. Prenons l'un de ces arrangements et écrivons h la suite l'une quelconque des m — (p — i ) c'est-à-dire m — /> -1- i lettres qui n'y figurent [las {') : en opérant
(') Voir sur co sigoe, p. J7, note 1.
(*| L'arraDgement dont nous parlons ayant p — 1 lettres, il y s tn — Ip — ij, c'est-à-dire m — p + 1 de nos lettres qui n'y figurent pas.
LE CALCUL GOMBtSATOIHE 300
ainsi avec ces m — p -i- i lettres auccessivemenl, nous obtenons m — p ~t- 1 arrangements de nos m lettres p k p. Faisant la même série d'opérations à partir de l'un quelconque des arrangements des m lettres;) — i k p — i,nousobtiendron3A,;-'yo« (m —/>-(- i) arrangements de nos lettres pkp, donc en tout A^-' .(m — /» + i) arrangements.
Je dis que les arrangements ainsi obtenus sont tous dUlincts et constituent la totalité des arrangements des m lettres pkp.
En effet : l'Deux quelconques des arrangements obtenus comme il vient d'être dit sont dislincls, car, ou ils sont déduits d'arrangements des m lettres p — i Kp — i qui sont distincts (et alors iU dillërent par l'ordre ou la nature de leurs p — i premières lettres), ou ils dilTërent par leur dernière lettre. — a" Tout arrangement des m lettres p k p est formé d'un arrangement des m lettres p — I à y» — I suivi d'une dernière lettre dilTérente ; donc cet arrangement est l'un de ceux que nous avons construits tout & 1 heure.
.\insi le nombre A^"~' .(ni — p -f- i) obtenu ci-dessus est le nombre total A£, des arrangements de m lettres/) à/), et nous avons la formule
(3) AE,= A^-'.(m — p-l- 1),
qui est valable pour toutes les valeurs du nombre entier m.
Or le nombre des arrangements de m lettres i & i se réduit évidemment k m. Donc An ^ m. La formule (3) nous donne par conséquent
Al = Ai.(™.+ ,) = mx(m-,)
Ai = Ai(»i - 3 + 1) = Aï, ■ (™ - ") = " X (m - 1) X (... - >)
et ainsi de suite ; fmalement
Ai = m X (m - 1) X (-n - a) ... („, - p -H 2) X {m - p + .)■
303. Remarque. — D'après la définition du n" 201, les lettres qui figurent dans un même arrangement sont toutes distinctes. On a quelquefois l'occasiondcconsidérerdes groupements de lettres qui ne satisfont pas à cette condition : on comptera ces nouveaux grou-
36<> LE GALCCL COMIII:«A.T01RB
penaeots par des procédés analogues à ceux que nous veaoDsd'employer. Ainsi l'on appelle arrarigemenU avec répétition de m Ictlret p à p tous les groupemenU que l'on peut former en plaçant p lettres ou plus h la suite les unes des autres dans des ordres différents, une même lettre pouvant figurer plusieurs fois dans le mâme groupement. On démontre que le nombredes arrangements ainsi définis est égal aa protlait de p nombres entiers consécutifs croissants à partir de m, c'est-à-dire à mx {m -t- t) ... X (m + /» — i).
Ainsi, par exemple, les arniagemeats avec répétition de trois lettres a, b, c deux à deux sont aa, bb, ce, ab, ba, ac, ca, bc, cb, aa, bb, ce ; leur nombre est 3 x 4 = i s .
364. Combinaisons. — Etant données m lettres distinctes Qi, Ut, .... Qm, et un nombre entier/), on appelle com^inaûo/iftf/c m lettres p à p tous les groupements que l'on peut former en prenant p de ces m lettres (sans qu'il soit tenu compte de l'ordre dans lequel on les range). Ainsi deux combinaisons ne sont i-egardées comme distinctes que si elles diffèrent par la nature des lettres qui y figurent. Une même lettre ne figure qu'une fois dans chaque combinaison {').
Pour évaluer le nombre des combinaisons de m lettres /> Jt jj — nombre que nous désignons par C™ — nous raisonnerons comme II suit :
On obtient tous les arrangements de m lettres /i à p en considérant successivement toutes les combinaisons de ces m lettres php et formant pour chacune d'elles toutes les permutations des p lettres qui y figurent.
Il résulte de là que le nombre A|;, est égal à C;;, fois le nombre des permutations de /) lettres^ c'est-à-dire (voir a° 259) k
CJ, X I X 3 X ... X /».
(') Si l'on écarte cette condition, on obtient lei combinaisons de m tettrea p à p anet répilition (comparer n" :i63). On démontre que le nombre de cet combinaisons est égal à
LE CALCUL CQltBIII&TUlaE 367
Tenant compte alors de la valeur de A^ (n" 262) on voit que (')
m ci,^"x'--;;^-;j;-''+').
Pour m = /j, la formule donne
Remarque. — On déduit aisément de la formule (4) que l'on a, quelque soit m,
C». = CJ-'. Cl, = CS"', etc.
En effet, on a, par exemple :
, m.{m-x) ;„.(;n-i)...r,»-(;B-a)+i.-j iH.(».-i)...3.
Divisant lei deux termes de cette dernière fraction par le produit 3,4 ... (m — 3) (m — a), il reste un numérateur m.{m — i) et an dénominateur i . a.
285. — La règle qui fournit le nombre des combinaisons de m objets p k p paraît avoir été connue du ma^iématicien hindou Bhaskara (xii* siècle), du moins pour lea petites valeurs de m et de p. Elle est très explicitement formulée dans un petit mémento en vers lalins (*) qui fut composé par William Buckley (King's Collège, Cambridge vers i55o).
Entrant dans plus de détails, Pascal déduit le nombre C'!„ des propriétés de son triangle arithmétique (n" 19). Il nous fait connaître, d'autre part, à la fin de son traité des Combinaisons ('), la for-
(■) Voit LilofHtti (cf. p. ii6, not« i), ch. iv, trad. Coi-EBftooKB, p. 4y-5o Bhukani se demande par exemple de combien de manières on peut combiner diSérenta goiiti, tels que le» goûta sucré, piquant, amer, salé, acre, acide. . — Il eherche également cmunent on peut déterminer les permutations des divenes variétés de mètres usités en prosodie depuis l'uM (ven monosyllabique) jusqu'à Vuttriti (vers de 16 syllabes).
(') Ce mémento [Arithmetica memorativa) a été imprimé à la suite de la Dialtetiee de SeroN. Londres, 1639. {BM. N., B. io863).
(■) Composé en i654, Œutr., t. III, p. 556 sqq.
368 LE CiLCUL COHBrNATOinE
mule de C^ qui fut trouvée par l'un de ses amis M. de Gagnîères {'). Cette formule est exactement, celle que nous avons donnée plus haut.
Datis namcHs — dit Pascal {OEuv. île Pascal, t. III, p. agi — ('. y., 2, 6, iiwenire quoi moiUs 2 coinblnatur in G, — Assumatar iniiait (Gagnières), prof/reisio duorum terminonun, qaia minor numerux esl 2, inchoando a majore 6, ac rclrogrediemlo, seu delrahendo, unilalcni ex annqaoqm- iermbio hoc modo : 6, 5 ; deinde nssumatttr altcra pmi/rcsxifi inchoando ab ipso minore 2, ac simililer relrogrediendo hoc modo : 2, i. MullipUcenfur invicem iiumeri primœ proqressionis 6, 5, silqtw produclus 3o. MtiltipUcenlur et iiumeri secundœ proi/ressionis 2, i, si tfjae produclus 2. Didividalar major produclas per minorem : qaotiens esl qusesilus.
266. Probabilité mathématique. — Le calcul des probabilités est conleiuporain du calcul combinatoire : il a été créé de toutes piî'ces, ou peu s'en faut, de i654 à i656, par Fermât, Pascal et Huygens (voir les références données au n" 262). Nous n'aborderons pas ici l'étude de ce calcul ; nous voulons seulement indiquer et éclairer par un exemple élémentaire la déSnition sur laquelle il repose.
Soit une variété de cas possibles, dont certains sont favorables à un événement, certains défavorables ; on entend par probabililé de t'éoénemenl le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des cas possibles.
Supposons, par exemple, que nous jetions deux dés. Quelle est la probabilité pour que nous amènious un 6 ?
Pour avoir le nombre total des cas possibles, appelons A et B nos deux dés, et écrivons tous les couples de cbifTrcs que peuvent donner les deux dés, en plaçant toujours le premier le chiffre donné par le dé .\ et le second le chiffre donné par le dé B : nous obtenons ainsi 6 couples commençant par i (le second chiiTre pouvant être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6) et de même 6 couples commençant par a ou par 3, etc., donc en tout 6 X 6 ou ."iô cas possibles.
Parmi ces cas, combien sont favorables h l'événement dont nous
CI Voir EurGACNiÈBES, au t. III des Œui'. de Pascal, l'Appendice II, p. S<,7.
LE CALCUL COMBItlIOIHE sCq
nous occupons? Nous avons d'abord 5 cas favorables pour lesquels le chiffre 6 est donné par le dé A, le dé B marquant un aulre chiffre (i, 3, 3, j ou 5) — de même, 5 cas favorables, pour lesquels le chiffre 6 est donné par le dé B, le dé A marquant un autre chiffre — enfin un dernier cas favorable est le cas où nous amenons le double 6. Le nombre total des cas favorables est donc 5 -)- 5 -♦- i
ou 1 1 . J'en conclus que la probabilité cherchée est ïig '
Ce seul exemple suffit à faire pressentir la connexion qu'il y a enlrele calcul combinatoire et la théorie des probabilités. Le lecteur qui désirerait poursuivre l'étude de cette théorie pourra consulter l'excellent ouvrage de M. E, Borcl : Eléments de la théorie des probabilités (a* éd. igio).
