CHAPITRE PREMIER LE CALCUL ALaÉBRIQUE

/. — Ol^et et ambitions de i'algèbre.

267. — Uo savant do Bagdad, Mohammad ibn Mousa Al Khwarizmi, composa au ii° siècle un traité qui eut une fortune remarquable : VACdjabr w'al moqabalah ('). Ce titre est le nom d'une technique, ou méthode de calcul, que les Arabes avaient tirée de sources grecques et indiennes. Deux opérations fondamentales, eflectuées l'une et l'autre sur les sommes de nombres relatifs, le caractérisent : la djehr, qui fait passer d'un membre d'une égalité dans l'autre tous les termes afTectés (précédés) du signe — , de manière à ne laisser subsister dans chaque membre que des termes affectés du signe -\- ; la moqabalah, ou réduction des tecmes semblables (vide infra w 381).

L'al'djebr ou'al moukabalah est devenue l'algèbre moderne, et le nom d'AI-Klnvarizmi, transformé en algorithme (') s'est perpétué comme nom commun. Ainsi, èi défaut môme d'antres témoignages — et nous en avons un grand nombre — les mots suffiraient è attester l'origine orientale de notre calcul algébrique.

(') Ce traité a été publié avec uoe traduction anglaise par Rosek : Londres, i81i. Voir sur Kbwahieiii, <u|>ra, p. (!, note 3.

{') On désigne aujourd'hui par le mot algorilkme un système de notation Bymbotique quelconque.

268. — L'algèbre est, disons-nous, une lecKnique ayant pour objet te calcul; cette technique nous promet plusieurs avantages appréciables : grâce à la simplicité et h la fixité de ses procédés, elle prétend opérer rapidement, sûrement, mécaniquement, pertinemment.

En premier Heu. l'Algèbre sera rapide. Elle se servira donc d'abréviations dans le langage et dans l'écriture. C'est ,iinsi que déjà Diophante d'Alexandrie employait des signes abrégés pour désigner les puisssances (') et que certains géomètres grecs représentaient par des lettres de l'alpbabet les grandeurs (') ou nombres qui reviennent plusieurs fois dans un même calcul. — Quant aux opérations — effectuées ou à effectuer — elles seront indiquées par des signes conventionnels (') (signes opératoires) : tels les signes =:, 4-, etc., dont nous nous sommes servis dès le début de cet ouvrage, et qui sont d'ailleurs — notons-le en passant — d'origine as,iez récente [xvi" ou \\u' siècle, pour la plupart (')].

En second lieu, l'algèbre opérera à coupsAr, parce qu'elle réduit les calculs à l'application de règles fixes et de formules données une fois pour toutes.

D'où viennent ces règles et ces formules? Ce sont les défmitions mêmes des opérations fondamentales qui vont nous les fournir.

Le calcul arithmétique n'est autre chose, nous l'avons dit, que la combinaison de certains nombres suivant des lois déterminées. Cependant lorsque pratiquement nousavonsàfaire un calcul, nous oublions dans notre hâte d'arriver au résultat, les nombres com-

(') Vide supra, p. 11, not« i.

('J Les Grecs faisaient usage de ce Ungtge abrégé dans les démonstrations géométriques du type euclidien. Les moderne» — Jordanus Nemorahius en particulier |xiti* siècle, voir p. ii5, note i) — l'introduisirent dans le calcul proprement dit.

(^) Dana l'écriture égyptienne, une patte d'oiseau, orientée dans un sens ou dans l'autre, jouait le rûle de noj aignes -|- et — .

(') On trouve les signes -(-, — dans l'ouvrage de Wioman sîgnslc plus bas p. s8o, note 1. Cependant la plupart des auteurs du xvi" siècle se servaient des lettres p et m pour signifier plus ou Ttioins. Le sicne X apparaît dans le Clans mathematica d'OuGHTREo (Oxford, tG^i). — Le signe = lut employé en Angleterre au xvii" siècle; cependant les mathématiciens français du xvn' siècle exprimaient d'ordinaire l'égalité par la signe ») (peut-être un le, première lettre du mot eequatis).

OBJET ET AMBITIO:4a DE l'aLOÈOHE 2^3

binés et la façon dont tls sont associés : l'édiGce n'est pas plus tdt constniit que nous perdons de vue l'agencement des matériaux qui nous ont permis de l'obtenir; et, ainsi, la résolution d'un problème ne nous est d'aucun profit pour celte des problèmes suivants. En analysant cette faiblesse de l'aritbmélique nous voyons comment il convient d'y remédier. Pourquoi ne ferions-nous pas. avant même de donner aux nombres sur lesquels nous opérons des valeurs déterminées, une élude lormclle et a priori des dilTérentes coiubinaisoiis qu'engendrent nos opérations? Nous savons que ces combinaisons sont susceptibles d'être obtenues de plusienrs manières (l'ordre des opérations elTeituées pouvant être modifié). Il serait dès lors fort utile de savoir à tavance quelle est, parmi les dtfTérentes formes d'une même combinaison, celle qui sera le plus lacile à calculer. D'ailleurs telle forme avantageuse dans un problème le sera moins dans un autre. D'où l'intérêt d'une étude systématique déterminant les diverses transformations auxquelles se prêtent les combinaisons d'opérations. U conviendra, en outre, de nous mettre en mesure d'effectuer h, première demande les transformations utiles, en en déQnîssant le mécanisme par des formules immédiatement applicables.

369. — Nous connaissons déjh, remarquons-le, de telles formules de transformation : celles, par exem|>le, i|ui expriment les premières propriétés des opérations fondamentales (associa ti vite, commutativité, distribntivité). Ainsi les égalités

a-i-(» = 6-t-a, ax6 = 6Xn, aX (b -h r) = a X b-hax e. cic.

délinisaent <lrs transformations qui restent légitimes quelles que soient les valeurs numériqius fiijurées par les lettres a, h, c [la combinaison a -H 6 est toujours ÉquivalonLc h la combinaison b -h a, la combinaison a X bh]a cunibin oison b x a, etc.]. En associant ces égalités nous obtiendrons de nouvelles transformations s'exprimant par autant de formules que l'on np|>etle » formules algébriiiues ».

Ces premières « formules « — j'entends premières en simplicité, non en date, car on n'éprouva |)oint tout de suite le besoin de les écrire explicitement — ces premières formules mettent en

Dooraoui. — U* Princip» ik l'AuljM mithèmillque i8

37^ ■•E CALCLL AliQÉOniQUE

évidence les caractères fondameataux que nous letrouvoas dans tout«s les autres.

Premier caraclâre : les rormules de l'Eilg^bre, depuis François Viùte ('), portent d'ordinaire sur des lettres, et c'est ainsi qu'elles fournissent à l'avance des règles invariables, applicables k une infinité de questions : autant de valeurs dlQërentes on donne aux lettres, autant l'on a de problèmes pour lesquels vaut la même règle.

Second caractère fondamental : l'analogie que l'algèbre établit entre les nombies fournis par des problèmes ditTérents est une analogie de structure. Imaginons, por exemple, que deux questions fassent intervenir, chacune, une quantité (') débnie comme produit d'une somme de deux nombivs par le carré d'un troisième : l'algèbre notera cette ressemblance en écrivant les deux quantités sous la même forme : [a + b) x c' ou (') (n -t- fc) . c'. et elle ne se préoccupera pas de savoir si les va/<purs des nombres a, b,c dillërent d'une quantité à l'autre.

Noua découvrons ainsi l'un des principaux secrets de l'algèbre, secret bien simple, mais dont encore il fallait s'aviser : Vaigèbre, en principe, n'ejfenliie pas les opéralioiis : supposons, par exemple, qu'elle ait à parler de la somme de n et de b : au lieu de calculer cette somme ou de la désigner par une lettre a, elle écrit a + b ou (a ■+- b) et ne cherche pas plus loin. Dès loi-s, dans une formule algébrique, la structure ou compotilioii des nombres apparaît toujours. Cela permet de voir du premier coup d'œil la connexion qu'il y a entre une formule et tels ou tels problèmes, différents par les nombres qui y figurent, mais semblables parles opéi-ations qui y interviennent. D'autre |>art. ta foimnle est toujours prèle à Nubir immédiatement de nouvelles transformations.

{') En établissant une dislinction systématique entre la logittiea numeroaa {calcul nuinériquel et la logUtiea speciosa (calcul portant sur de* lettres), Viète constitue l'algèbre moderne en science aulonomo. jCf le Couri mathématiqut d'lli:nicaNE, t. II, ilil-> où les deux- alftibrea sont appelées : algèbre nûoibreuse (.'t algèbre apicieuse]. Sur les symboles littéraux en algèbre, voir aussi p. a8i, note i et n" aSo.

l'j J'entends ici par le mot ■ quantité •: trésuUal d'un* opéraiiont, ou : 1 meaurt d'une grandeur, affectée du signe + ou — s, par conséquent ; t nombre retalif «. Voir aussi infra, a^Zo-,'

l 'l Voir sur ces signes, le Prem. liv,, cb. I. | 3.

OBJET ST AUBtTIOIS DE L ALGEltItE 37^

370. — En dérinilive. l'algèbre est une Règle {Itegtila, disateot les algùbriatGS de la Renaissance, Ars cerlis lei/ibm et jirœceplU eonUiita, disait un commentateur de Desairtes (') ) : c'est la règle, ou, plus eADCtentenl, l'ensemble des règles d'après lesqtieties on ell'ectuecertoincs transforma tionsouconibinaisonsdites algébriques; en général, ces combinaisons sont celles (]ue définiasent les opéranilions fondanicnlales de l'ariUiinétique: mais rien ne nous interdirait d'en imaginer d'antres (ride infra, cliap. t, $ I),

Ajoutons que, comme nous l'avons dit plus haut (266) les r^28 de l'algèbre visent h devenir mécaniques, c'est-à-dire applicables par tous et toujours, sans intervention de l'intelligence. C'est pourquoi Descaries te croit autorisé h nous donner les préceptes de son algèbre sous forme de commandements, sans les expliquer, sans noua demander de refaire l'elTort intetlecluel qu'il a lui-même accompli une fois pour toutes et pour tous les hommes : a L'addition, dit'il ('), se fait par le signe -h ... Comme pour ajouter ak i>, j'écris n -t- b. La sousti-aclion se fait par le signe — . Comme pour soustraire a de b, j'écris b — a. S'il est question de multiplier des lettres l'une par l'autre, il les faut joindre ensemble, etc. ».

Il ne faut toutefois yms conclure de \h que l'algèbre soit une règle aveugle : c'est un art qui exî^^e, chez celui qui l'exerce, de ^adresse et du savoir faire. En cITet, parmi toutes les transformations possibles dune formule, l'algébriste doit choisir celle qui est appropriée au calcul qu'il entreprend ('), et 11 peut faire ce choix plus au moins pertinemment. Pour résoudre une équation, dit l'Indien Ithaakara, « on iiréjiare ailroilemenl deux membres en équilibre, en ajoutant, retranchant, multipliant ou divisant » (*) : la règle n'en dit pas plus long : i l'algébriste de voir par lui-même comment il apprêtera son équation (').

(■) Erasmivs Bahtholinus dana son Epitre Dédicatoiro de l'édition lalioe de la Géomélrie (vide tnfra, p. ■!81, note i\.

I', Calcul dt Montitur Deêcarlta, Œw. le Descarlea, t. X {vide infra, A. m). — Cf. le Cours malhimathique d'HERicoHE cité ci-dessus.

("l Excogilanda ab artifice — dit Viête {De rtcognîtiorte aquationum ap. Optra MaAem,.heyde, 18.^6, p. r,3i — et lendanda, quae tuo fini magis inttrvire ranjicitt figmenia.

{*) Cité par RoDF.T, Journal asiatique, t. XI, 1178, p. 17.

\'l L'apprit de l'équation (De emendatii>n« aequationum) joue un grand «Aie dam l'slgèbre de Viète. Cet apprit se tait su moyen de i Iranaforma-

376 LE CALCUL ALOËBHIQUB

371. — ^o US comprenons maintenant quelles sont les conditions auxquelles il faut satisfaii-e pour être un habile algébriste. H Taut savoir oublier la ai^niiicalion des éléments combinés pour ne plus Taiie allcntion qu'uu mécanisme de la combinaison. Il luut considérer les formules comme des assemblages, que ion retourne en tous sens, que l'on compose el décompose de toutes les manières — par la iljehr, par la moukabalah ou d'autres procédés — afin de faire apparaître de nouvelles combinaisons intéressantes. L'algébriste jongle avec les formules ; il les triture, il les pulvérise, suivant l'Iieureuse expression employée par Brahmagoupla pour désigner une méUiode fondamentale de son algèbre : « celui qui con- « naîtra l'usage de la mélliodc pulvérisatiice, des chiffres, des (I quantités négatives et |>ositives, de l'élimination du terme moyen a [irwis/ormation utilisée doits la Uiéorie des équations], des sym- « bolea et expressions [algébriques], celui là, dit Brahmagoupta, a deviendra un maître parmi les savants (') ».

372. — Ces remarques nous expliquent l'histoire de l'algùbro. Les savants grecs ne pouvaient pas être de bons algébristes : ils prétendaient, en elTet, saisir par l'intuition, voir d'une vue iatelicctuclle directe, des ^tres mathématiques aussi réels ou plus réels que les objets sensibles (n° 1 ) ; comment, dès lors, auraient-ils pu négliger ces ôlrcs [larfaits, et faire table rase de la réalité i>our y substituer d«s symboles? Les promoteurs de l'algèbre lurent, en Cîrèce. ces iogisticiens ou calculateurs, que Platon mettait au ban delà science {saitm, n* 1 et p. tai. note 1}, et l'une des principales innovations de l'Alexandrin Diophante — en qui l'on veut voir le premier algèbrîste — consista simplement à appeler arithmétique ce que l'on prenait avant lui \>anr de la logistique (').

lioM • telle que Vtxpurgatio, la trantmutatio, l'aruutrophe, i'antilhetit, etc. Mais les Ira ns formation s de Viète sont en gcni rai fonJces sur dei contidcrations géométrique* qui devraient reiter étrangères il'alicébriste {vide

(') CoLEBRooKE iAlgel>ra from Me tanscril of Brahmagupta and Btioêttara, :fli7, p. I'.!."i!,

{■) 0 II a, dit Paul Tanmebv [La Giomitrie grecque, iRHS, p. ho\ intitula Bon ouvrage 'A5^l)^r,Tiïi, alon que la matiire en avait été juiqu'à lui considérée comme appartenant à la logistique. Cette innovation est plus qu'une simple affaire de mots ; elle révèle le sentiment très juste que la matière dont il s'agit appartient à la science abstraite el primor-

OBJET ET AUIUTIO:i8 DIS L ALGÈBRE 377

Ati rebours des savants grecs, les Hindous furent avant tout des calcidotcurs ('). Esprits pratiques, ils ne se préoccupaient point de rendre leurs lliéories rigoureuses et belles. Il n'y a pas même cliez eux de ibéorie scientifique à proprement parler, mais seulement des rèjfles, formulées en vers, le plus souvent, et sans démonslralion. « Dis-moi [''). chère et belle Lilavati — ainsi s'exprime Bhaskara — toi qui as les yeux comme ceux du faon, dis-moi quel est le résultat de la multiplication, etc. ». Et la réponse suit. Bhaskara nous donne, sur ce ton. un ensemble de règles, qui constituent <• une facile méthode do calcul, charmante par son élégance, claire, concise, douce, correcte, agréable à apprendre ». — Un recueil de recettes et de formules, voilik donc ce qu'est la science pour les Hindous; c'est pourquoi ils furent de grands algébristesC).

diale et non pus ù iiuo science appliqués et concrète n. — Selon une remarque iJo IIameel |Zur Gesch. d. Malhtm. in AUertum u. Minulatler, Leipzig. 1N7.V. le but de Diophakte était moins d'enseigner dei mélhodes que d'obtenir une colleclion de léiutlats. Par là. le point de vue du snvant alexandrin ac trouvait fart éluigné du point de vue de l'algèbre moJiTne que noui venons de chercher à définir, — Il y a pareillement (quoique pour d'autres raisons) diverjrcnco absolue de tendances entre raigèbrc moderne et celte partie de la géométrie i;Tecque que l'on a souvent appelée algèbre géométrique {vide infra, le chnpitre m de ce Deuxième Livre).

1') Ln science hindoue subit-elle indirectement des influences grecques? C'est là une question obscure que nous ne saurions trancher ; il est fort possible que l'on ait eu aux Indes quelques échos des travaux de

DiOPHANTE.

(') CoLEBnpoKE, op. cit. 'supra p. 276, note 1), p. 6. Le traité intitulé Lilavati (La charmante) est dédie h une femme à laquelle Bhaskaha

(^j C'est ici le lieu de f.iire une remarque importante. L'algèbre des Hindous et de leurs continuateurs, les Arabes, n'i-st point une algèbre spéiieiise au sen^ do Vièle ; je veux dire que dans cette algèbr- les nombres ne sont point syjtéjnatiquement remplacés par des lettres. Ce caractère de la science liindouc.est souligné par les hislort-ns des mathématiques qui veulent voir dans l'emploi des symboles littéraux une condition essentielle de l'algèbre [cl. Nessglmann. Geack. d. Algebra d. Griechen, passim: voir aussi Heath. Diophantus of Alej'andria, Cambridge, i(|in, p. i)|]. Nous croyons cependant que l'absence des formules iiltûratcs n'empêche pas la science hindoue de manites'er à un haut degré lei tendances pnr lesquelles nous avons défini plus haut l'cspril alg bristc. Aussi bien ne faudra! t-il pas exa<CL'rer l'importance detf services rendus par les l'jltres dans le calcul. On peut fort bien établir los formul s générales de l'algèbre lors même qu'on remplace les lettres

378 LE CALCUL ALCiltRIQUE

Lorsqu'au début de la Renaissance, les tendances pratiques et utilitaires s'allièrent k de solides études théoriques, Talgèbre prit défini live ment son essor [nous reviendrons longuement sur celle époque au rhapilre m]. Cependant bien des atgébristes du nvi" et du xvn* siècle se trouvent encore gênés par les habitudes d'esprit qu'ils tiennent de la tradition grecque. C'est le cas du grand mnlltématicien vendéen, François Viète (lô^o-ifioS). à qui l'algèbre doit tant par ailleurs, et qui Dpérii, dans la tecliniqiie même de cette science, les plus heureuses réformes ('). Les lo'ns de passe-passe des algébrtsLes hindous eussent été pour Viète des non-sens, car il oe pouvait pas raisonner sur les grandeurs sans se les représenter ('). Il ne combine que des objets de même espèce (des hrimoghies) et, suivant la tradition diophantine, il s'interdit de voir dans les quantités négatives autrechose que des grandeurs retranchées {riile 127). Il se croit donc obligé de distinguer, et de traiter l'un après l'autre, une longue suite de problèmes qui ne diflîrent que par leur interprétation concrète et ne feroient qu'un pour un algébristc moderne.

273. — En somme, aux premiers temps do l'algèbre, ceux qui ont réussi dans cette science sont ceux qui n'avalent pas de scnipulea théoriques. Il fallait en être dépourvu, par exemple, pour se permettre d'o|)éi'cr sur des quantités inconnues exactement comme si elles étaient connues. Or c'est là l'une des caractéristiques et, pour beaucoup de savante, la caractéristique principale de l'algèbre.

Avec l'assistance de Dieu — ainsi débute l'algèbre d'Omar al— Khayyam {') — et avec son concours précieux, je dis : u L'aln gèbre est un art scientifique. Son objet, ce sont le nombre u absolu et les grandeurs mesurables, étant inconnus mais rap- V portés à quelque chose de connu, de manière à pouvoir Sire « déterminés; les choses connues sont des quantités ou des

par des nombres ordinaires, à condition que l'on no tasse et t, à aucun moment de la dfinonalration, des vateurs particulières de ces nombre*. C'est ainsi que procède encore Pascal au xvii* siiclc.

(') Vide tupra, n" a6g.

[') Les symboles sont pour Viète les formes de choses rccllei \rtrun% formae).

(') h Algèbre d'Omar Alkkayijami, traduct. Wœpcke, Berlin, i8.ii, p. 5. Khayjram mourut à Bagdad en uar — Ct. n" 4n-

OBJET BT AHMTlOIiS DE L ALGEBRE 379

« rapports individDelleinent (lél«rmîn^ (tio/r n" 07) ainsi qu'on ■ le reconnall en les examinant atlentivement ; ce qDon cherche « dans cet art, ce sont les relations qnt joignent les donn^ da « problème i r(înoDOnue]. qui de la manière susdite forme l'objet « de l'algèbre (') b.

Supposons, par exemple, qne l'on aacbe que le nombre 2, moins te triple d'une quantité iotjonnue, égale celte même quantité, plus te nombre 7 : nous désignerons la quantité inconnue par la lettre x, et nous écrirons l'égalité [équalion)

Ajoutons, de part et d'autre du signe =, une mdme quantité

d'où, «n divisant |*ar ^, la valeur de x; x ^= —ë-

Pour atteindre ce résultat, qtii paraît aujourd'hui si élémentaire, le géomètre ou le pur arithméticien prend des voies détournées; comment poiirrait-îl, en elTet, introduire de but en blanc dans ses raisonnements la soustraction, ou la division par k . d'une quantité qui n'est pas connue? Au regard de l'intuition une semblable opération n'a pas de sens. L'algébriste, lui, ne s'embarrasse pas ponr sî peu ('), et il parvient instantanément à la solution du problème.

L'olgâLre — dit pluB rapidement Héricone {Cours maOtématique, tS%i) — est l'art de trouver la f^nadeur inconnue en la prenant le ù «Ile était connue tt trouvant l'égalité entre elle et les longueurs

I') Ainn JoaAHNKa Wicmanti (fotr la noie »uiivinle) ne se gène pas p*w additioninr de» œufs avec dn denren, TÎolant aînii le premier principe de l'Arithmêlique. Voiri comment il s'exprime (Cantoh, VorUa, t. II, p. aîo) : Ejfna- hal kaufft fi Eytr — s & pro ^ S + i «/. Na iatdie frag wie kupt ein tg. — Addir die geminderie Zat der ^ zu der jwgeUglen Zal der 3- Und MfrfroAir die sat de» dingtte [iiumtrme-, re», Ding] twn der andtrn tal yrêa glegektn. Und dividir die Ùberige xal der ^ mil der Ubrige tal der g^aufflen war, und der eelbige teylung quocitnt berieht die frag.

aSO LE CALCUL ALGiBHIQUE

274. — (I II csl d'habitude, chez les algébristes, — ainsi poursuit « l'algèbrede Khavjam — de nommerdans leur art l'inconnue qu'on «se propose de déterminer : chose». — Cette habitude se conserva longtemps. L'algèbre fut la Hèyle de la chose [Regola délia casa, «n italien), et il y eut en Allemagne une école d'algébristes que l'on appella Cossîxles {'). En latin, l'inconnue était souvent désignée par le mot» radix » etson carré par le mot «ce/isiw» {'). ,Vinsi,dans les relations où figurent l'inconnue et son carré ((!i/u<i//on5 f/u^eco/KJ degré, vide in/ra, S lî ; les premiers algébristcs ne dépassèrent pas ce degré), on dislingue trois sortes de nombres : radix, census, numeri simplices (nombres ordinaires, connus). Quelle différence d'espèce y a-t-il entre ces nombres? C'est là une question que l'algébrisle conséquent avec lui-même ne se posera pas.

276. — L'algèbre ne raisonne pas seulement sur des quantités connues et des quantités inconnues; elle opère également sur des quantités variables nu indéterminées ['). Et, en effet, les combinaisons ou transformations (vide S 3) que l'algèbre fait subir à une formule où entre la lettre x (telle que Z.a.x ■+- a), sont évidemment indépendantes de la valeur donnée à x. et restent par conséquent valables quelle que soit la valeur {variable indélermiuée) de la quantité x (cf. n" 269).

D'ailleurs, dans une formule telle que i.a.x ■+■ a, il est toujours permis de supposer que la lettre a tient ta place d'une quantité délerminéeC") par exemple une longueur physique que l'on est K chaque instantenétat de mesurer) tandisque^cesl une t<arfci6/e (par exemple, la distance de la terre au soleil qui n'est ni mesurable, ni fixe). Pour les opposer aux variables, on dit que les quantités déterminées mai fixes nu constantes.

276. — La distinction des connues et des inconnues, desdéter-

l'i Le premivt Cossislc qui ait laissé un nom est Johaknes Widjiakn d'Eger (magister de l'université de Leipzig. ti\,Ki), auteur d'un ouvrage intitulé : BehtntU undhultiche Rechnung au/ alUn Kau/fmamttchaft, Leipzig,

{'l Cas locutions eonl employées dans les traductions latines de l'algèbre de Khwarizmi [Vide supra, n" 267). Voir en particulier la traduction publiée par Lisni {Hitt. dea te. math, en IbUie, t. I, ifl38, pp. a53-54).

(■'1 rXfiOiî noviouiv iùpioTiv, dit Diofhante.

OBJET ET AMDITIOnS DB L'ALoInRE qSi

minées et des indélerminées, des iixes et des variables, est essentielle è qui se préoccupe d'interpréter, par la géométrie ou d'une autre manière, les résultats de l'algèbre. Mais à l'algébriste proprement dit, nous ne saurions trop le répéter, la nature des symboles qu'il manie doit rester indifTérenle ('). Plus le mécanisme combinatoire qu'est Talgibre saura s'abstraire de tn idéalité, plus il étendra sa portée et son cbamp d'application . Une mélbode imiverselle, une clef de toutes les sciences, voilîi ce que, depuis le moine espagnol Raimond Lullc (xiii* siècle), toute une génération de philosophes rêvait de constituer. Et, si ces philosophes ont été pourla plupart de médiocres mathématiciens, ils n'eu sont pas moins guidés par le principe même d'oii procède l'algèbre. Celle dernière

I*) C'eat faul« d'avoir ndopté Iranchement cette attitude que let algibriitcs turent longtemps relanUs dnns leur marche en avnnt. L'iiistoire du symbolisme algébrique noui en fournit la preuve. On g'babitua facilement à repréiienter les indéterminées ou le» variables par des lettres (les lettres tenant ainii la plnco de nombres dont on ne connatt pa» la valeur). Mais n'était-ce pas pêcher contre le Lon-«eat que de figurer par des lettres les quantités dont on pouvait écrire directement la valeur numérique ? Vièle eut le grand mérite de comprendre le grand avantage que prétente, en ce cas encore, l'usage des signes littoraux (voir cependant, p. 384, note i) : en ne déterminant pas tout de suite les valeun des quanliUt atnnueê, on obtient des formules qui sont applicables quelles que soienL les valeurs (déterminées) que l'on donne ultérieurement à ces quanlilés dam tel ou tel problème particulier. On appréciera l'importance de ces formules uii ent.e une pluralité d'indéUrminief, si l'on songe qu'avant Vièto c'est à peine si l'on pouvait considérer simultanément, dans un calcul, plusieurs quantités inconnues : pour y parvenir, Stevin devait adjoindre aux signes Tiguranl les puissances successive* de l'inconnue jigTiet 1, 2. 8, ... ou 1), %, l^,...] les mois

seeunda, tertia, ... (ou, en abrégé, sec., ter ) indiquant qu'il est

question d s pui3Banco*d'une»<cond<oud'une/roiji^meinconnue. Il écrivait mple'of. Zeuthek, Geadi. dtsMath.i.xyt* u, itvii* Jahrh., p. gb] : taec CD tant égales à i (î) M etc. ili + queli/ues i , co qui siffle ! a première» puissances de la première inconnue [c'est-à-dire : un multiple déterminé de la première puissance d'une inconnue y, ou, si nous adoptons le symbolisme de Viète ; le produit a. y, dans lequel a désigne un nombre déterminé quelconque] ég^nl la première inconnue (soit x] multipliée par la seconde incormue 'y , plus quelques x' (ou i.i', h étant un nombre déterminé] : nous écririons aujourd'hui tout simplement :

Lorsqu'ils considéraient plusieurs inconnueii simullanémeni, les Hindous lis distinguaient parfois en figurant leurs puissances avec des couleurs différente*.

a8j LE CALCUL ALGÉBHIQtE

D'a-t-elle pas été a|>[)clée .4 Tsmur/na comme l'Art de Kaimond Lulle (art par «xcelleacc, arliiun ors)? L'idée d'uae langue algébrique universelle (') liante les csprila jusqu'à la fin du xvu* siècle (elle n'a point disjiaru de nos Jouis), et le grand algébriste Leibniz s'en est continuellement inspiré : l'Algèbre — qu'il préférait appeler An ou Sy/ilfièse combinaloire — est selon lui une caractéristique universelle (•< qiae aijil île calcula in tmivergum n), c'est-it-dire un langage symbolique permettant de réduire tous les raisonncmenls à des cooibinaisoDS de formules (dans lesquelles pourront d'ailleurs intervenir d autres opérations que celles de l'Arithmétique). «< On n'a plus, dit M. CouUirat ('), à faire attention au contenu réel des idées et des propositions ; il suffit de les combiner et de les transformer suivant des règles algébriques u. Ce serait — si ce [rauvoit être — le triomphe du mécanisme intellectuel.

277. — Mois bornons notre ambition, et contentons- nous de faire connatlre, dans l'esprit que nous avons cherché k définir, les règles et les formules de l'algèbre élémentaire. Pour bien mettre en évidence le mécanisme et la souplesse de ces formules tout en respectant les exigences de U rigueur logique dont lioua ne saurions faire, nous modernes, aussi bon marché que les Hindous, nous présenterons tout de suite les règles de l'algèbre sous la forme qu'on a coutume de leur donner aujourd'hui. Cependant nous ne devrons pas oublier que, comme nous l'avons dit plus haut, l'algèbre ne parvint qu'après une longue élaboration ii cette simplicité, et surtout k ce degré d'abstraction, qui frappent tant le lecteur des ouvrages modernes. La conception géométrique de l'algèbre en )>articulier, fut un înlermédiairc nécessaire (voir n* 373 cl chap. 11I> S ■) enli-eleerèglesde calcul des Hindous et le symbolisme abstrait de notre époque. Nous reviendrons longuement au chapitre ni sur cette conception et sur le travail de mite au |M)int qu'elle permit d'accomplir en algèbre au xtii* siècle.

(■j t Polygrapliia not^ el unii/ertali» ex combinaloria arle dUeelat, ■ An signorum, vulgo ehara'Ur univtnalU et lingua pltiheopliica ■ diieot les tit'csdcdcux ouvraftes (de KmcREn et Dalcarno) paru» en i66Set i66i.

1*1 La hgique de Leibnii, p. lot.

ij.m ET Exi>itEssio:is alckukiqles

J. — Symboles et expressions algébriques.

378. — L'algéhrisle, avons-notis dil, étiiJîe len assemblages que l'on peut former avec des nombres relatifs, ces nombres élant cunniis ou inconnus, fixes ou variables, rcpré^enlos par des lettres ou ()ar des cbilTres, et reliés |»ar des signes opératoires convenus. — Les assemblages do lalgèbro étant, construits de toutes pièces, rien ne nous enipècbe n priori d'en imuginor autant qn'il nous pbiraenci-éflntdc nouveaux signes opératoires (cf. 270) ; co|>endanl nous n'userons )his, pour le moment, de celle liberté; nous nous contenterons d'étudier les combinaisons formées par le moyen des opérations arithmétiques fonda mentales, combinaisons que nous conviendrons de nommer « exprcxxhns alt/éhrir/ne.t ».

379. — Nous appollei'ons plus particulièrement « expression algébrique ralion/ieUe a tout assemblage de symboles algébriques dans la composition duquel n'entrent que des additions, des soustractions, des multiplications, des divisions, ou élévations & des puissances entières. Nous avons vu que moyennant certaines conventions les cinq opérations énumérées ci-dessus peuvent être efIi»ctuéeB sur des nombres relatifs quelconques ; donc lotUe expression algébrique rationnelle, composée avec des nombres relatifs, représente un nombre relatif.

Il n'en est pas nécessairement de mâme des expressions algé* briques non ra^onnelles (irrationnelles).

Considérons, par exemple, l'expression y-^ a dans laquelle n est un nomWe positif; cette expression ne représente aucim nombre, car il n'existe pas de nombre dont le carré soit un nombre négatif (n'ISB).

Cette circonstance — iiolons-le tout de suite — a été j>ouf les premiers algébristes une grande source de diiricultés. Nous avons dit en effet que l'algébriste de profession ne craint pas de raisonner sur des nombres inconnus, ou, en tout cas. Mir des nombres dont il oublie momentanément la valeur. Or, s'il fait abstraction de la valeur de a, il i'jnore si le symbole ,' — a présente ou non un sens, et il n'a point de raison d'écarter d'avance ce symbole. Ainsi, si l'on n'y prend pas garde, l'algèbre se trouvera déborder hors du

^8^ I.E CALCUL ALOÉBHIQUE

domaine des nombres rcblifs : on y rencontrera des eiiprcssions qui cesseront occasionnellement d'être nombres nu le redeviendront sans que rien soit changé pour ccin à leur mécnnismc. Le innlhémalicien soucieux de rigueur logiquo ne jieut raisonner sur de semblables expressions sans faire à leur sujet des réserves formelles. Aussi longtemps, du moins, qne la Ibi^oiie des nombres imaginaires n'est point constituée (voir cliap. v, S à), il lui faut exercer un contri>Iu sur les calculs où entrent des racines nlin de teconnaitre et de rejeter les formules qui ne icprésr:itent |>as des nombres. A cette restriction près, cependant, les expressions irrationnelles se prêteront aussi bien que les rationnelles à la combinaison algébrique.

280. Notations. — Noua n'entreprendrons point de faire ici riiistoirc des notations algébriques ; car il n'v a aucun lion direct entre le progrès de ces notations ut les [irincijws tliéoriques de l'algèbre. Parmi les nombreux systèmes de notations qui furent essayés, l'un [tau à peu se dégagea cl se fixa insensiblement sous la l'orme que nouslni connaissons nujourd'bui. C'est de ce système seul qu'à quelques exceptions près nous nous occuperons.

Suivant la notation moderne, une expression algébrique se compose de lettres et de nombres aritliméliqncs, reliés par les signes +, — , X (<"' ■)■ ■ (''" baire de fraction), et parfois alTeclés d'exposants entiers ou fractionnaires (comme dans a"). I^s lettres sont prises arbitrairement dans l'alpbabet grec ou latin. Cependant, même pour le choix des lettres, nous ])Ouvons adopter certaines conventions simples qui nous aideront à nous retrouver <lans nos formules. C'est ainsi que. depuis Descartes ('), on a coutume de repi-ésenter par les dernières lettres de l'alphabet x, y, z, ii. v, w les nombres inconnus ou variables et par les premières letti'es a, b, c. etc., les nombres connus ou déterminés.

I') Sur l'algèbre apicUuse, voir p. njj, note i et a8i, noto i. Penilaot longtemps on n'ogn figurer par des lettres que les nombres positifs qui teuli représentent de véritables ^randt'ura. Les Cartisiens Hvdde., De reduelione aquationum, 16.Î7, tmilé inséré dnn! l'édition latine de la GéomitrU ; Geomttria à Benato DeacarUa, -î* éd.. t. I, Amsterdam, i6.'i[il furent les premiers a déaif^ncr indifféremment par des symboles littéraux non «rifctés de dignes (tels que a. h, c. .... x, ,..) des nombres pouvant eiro i volonté positifs ou négatifs. (CI. Deux Liv., ch. iv, $ 't .

9TMBOI.es et EXPHESStOnS ALQ^IDItlQUEfl 3S!>

Elaot donnée une combinaison d'opéralions, les propriétés de celles-ci (comiDutalivité, associa livi lé, etc.) permettent d'en modifîer l'ordre sans altérer la valeur de l'expression qu'elles définissent. Aussi une expression algébrique peul-elle être écrite de plusieurs manières. L'algébrisle, dont le râle consiste h retourner les formules en tous sens, devra dès lors se demander quelle est, pour telle ou telle expression, la fornie la plus avantageuse et commenton passera rapidement d'une forme à une autre. Voici, à ce sujel^ quelques règles universellement adoptées en raison de leur commodité.

281. HonAmea ('). — On appelle morrâme un produit de nombres relatifs dont certains, tout au moins, sont représentés par des lettres. Comme on a lo droit d'intervertir les facteurs, on convient de placer en tête du monAme tous \es fadeurs ntimériqius (facteurs qui sont donnés sous forme de nombres ordinaires) et en queue tous les fadeurs représentés par des lettres. Ainsi le monôme 5.0. ( — 7) . (i . (I s'écrirn : 5 . ( — •j).a.b.a. D'ailleurs, on a l'habitude de réunir en une seule puissance les facteurs égaux (ainsia, dans noire exemple) cl d'elTectuer la multiplication des facteurs numériques ; en sorte que le monôme défini ci dessus s'écrira (— 35). a'. 6. — Ces convenlinns failcs nous remarquons que nous ne donnons lieu h aucune confusion sî entre deux facteurs litléraui quelconques (facteurs représentés par des lettres), ou entre un facteur numérique et un facteur littéral, nous omettons le signe . ou X - Ainsi nous pouvons convenir d'écrire ( — 35)a*6, ou tout simplement. — Sba'b (voir, sur la jiarenlhèse, p. 1^6, note a) nu lieu de ( — 35) .a* .h.

liin définitive, donc, tout monAnie sera composé de trois parties juxtaposées : i" un signe (-+- ou — , le signe + pouvant être sousentendn); :i° un nombre arithmétique ordinaire (nombre positif, rationnel ou irrationnel) ; 3" un groupe de lettres juxtaposées, qui (leuvent être all'ectées d'exposants entiers, el dont chacune représente un nombre {élevé éicntucllement h une puissance entifsre) lequel nombre est facteur du monôme (c'est-à dire facteur du produit qui constitue le monôme). Par exemple, les symboles 3703;', — 3a'tc'

(') Contraction pour mononome (de fiii'ii, unique et dv->u7, nom).

38ti I.E CALCtI. AI-CI^UIIIQUI

repl'élViilciil des iiioiiômes. Si le nombre miilinictiquc rsl ôgol à l'unilé, on omet de l'écrire {une joit a = a). S'il est nul, le raoQÔiue est nul (o/oix a^ o).

L'ensemble du sij^ne et <lii iioiithre arilliin^tiqiie coiislilueiil un nomltrc rclnlil' ()iosilir ou lu-ijnlil') qni est iipiHrIé coefficient (') dn luonàme. Le gi'0'i|)c de Iftli-cs est 1» [mrtia iittérale. Le 8if:nc (»iignc du coelIicienL) est le signe dont c»t affecté le moniïiiic.

Deux iiionàmes sont dît seinbUihles lorsqu'ils ne diflÀrent que [>ai' li'urs coelFicienls. Leur somme ou leur dtlTérence est alors uii Liionôine semblable h ciiacui) d'eux nyai'l |M)ur coellicient lu somme ou la dilTùrence des deux coeflîcicnts. Cbaquc fois que, dans une expiession, se trouvent plusieurs montâmes semblables [Ktuvant ëlre ainsi i-éunis en un ))ar addition ou soustraction, on ne manquera pas de les réunir en cfTet; cette simplification s'appelle t réduction des termes semblables n.

Un inonAme qui n'aurait pas de partie littérale serailun nombre relatif ordinaire. Ainsi, par extension, on pourra regarder les nombres relatifs eux-mêmes comme des monômes.

383. — t'.cs conventions et règles posées, noussommesen droit de

considérer loulc expression algébrique comme le résultat d'o|Térii-

tions etl'ecluées sur des monômes L'algébriste.alindc rendre les foi^

muies facilement lisibles, mettra toujours ces mon(^mcs en évidence

en eu réduisant d'ailleurs h nombre le plus possible : ainsi, par

. ..... a (fl.r -H fw) -4- (i.r — be ■ ,. ,

exemple, il n écrira i»as — — -^ -^ 5"^^~a" • mais bien (ce qui

est la mi^me cliose

283. Polynômes. Polynômes ordonnés. — Pour écrire les expressions algébriques composées de monômes, on suit certaines ré^'les, dont tes unes s'appliquent mécaniquement et sont imposées par l'usage, tandis que les autres dépendent plus ou moins du flair «t de riiahilcté de l'opérateur.

Soit à additionner (") plusieurs monômes alTect^s des signes

l'i Le mot cof/ficiena a élé employé parViÈTE 'Adhgiaticem ipeeioaam; Opéra, p. -tS .

.'. Noua p'iuvona toujours r.imener la soicstractian à une addition, en -changeant lu signa du monâme souitrait.

* SYMBOLES ET EXPRESSIONS At-GÉBRIQUES ^8"]

+ OU — . On les jnxtapose en les séparant deux ù deux par les signes -i- ou — , et on obtient ainsi une expression <jui n'est autre {d'après les règles de l'addition des nombres relatifs, que la somme des monftmes, considérés et que l'on appelle polynôme (de ^ti-J. pluMcnrs et •n'uitt, nom). Les inonAmes sont dits • termes t de la somme ou du polynôme.

Dans tout |>ol\nome, l'ordre de succession des termes est arbitraire (en vertu de la comniulalivilé des sommes). CcjKïmlant. si nous voulons mettre de l'oi-dre dans nos l'ormules. nous n« rangerons pas les termes au liasard. Nous les classerons d'après certains caractères, le plus souvent d'après leurs u degrés a.

Soit un mondnie dont l'un des fucleurs est la leltrc x élevée à une certaine puissance ('} p [les autres facteurs ne cootenant pas X d'après les règles adoptées plus haut pour la composition des monômes] : nous dirons que le nombre p est le degré rfii monôme oar ra/iporl ia; ou enx. Ainsi le monôme 6a'6x* est de degré 3 eu x, de degré a en a, de degré i en 6.

Considérons maintenant un polynôme dont les termes, ou dont certains termes, contiennent la lettre x. Chaque terme contenant x a un degré en x; quant aux termes qui ne contiennent pas x, on dit qu'ils sont dei/fiyrt^ocn x. Convenons alors, lorsque nous écrivons un polynôme, d'écriie d'abord les termes de degré o en x, puis les termes de degré i et ainsi de suite. Le [H>lynùme ainsi disposé sera dit « ordonné par rapport aux pnissances crolssan'es de X ». Si noua renversons ensuite l'ordre des termes et plaçons en tète le ou les termes de plus haut degré, nous obtenons un polynôme « onhnni par rapport aux puissances décroissantes de x 3. Le degré en ir du ou des termes de plus haut degré est apiKtIé fl deyrif en X du polynôme » ,

Exemples. — Le polynôme 6x' -*- 3x* — x -<r i est de degré 3 en .-c et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x. Le polynôme a-h bx -\- 3x — c'x' -+- 2 l>x* esl un polynôme de degré a en x ordonné par rapport aux puissances croissantes de x.

284. — Au lien d'ordonner par rapport h une variable, nous pourrions ordonner par rapport k l'ensemble de deu!i ou. plusieurs

('1 Far définition, tous les exposants qui figurent dans l'expression e sont des nombres entiers positirs.

vai'iables. On appcWe degré d un monôme par rapparia deux variables X ety (ou degré en x et y) la somme des degrés du monôme par rapport à j^et par rapport k y (le degré par rapport Ji une lettre donnée étant considéré comme nul si le monôme ne contient pas la dite lettre). Ainsi les monômes 6 x'y, axy*, 3ay^ sont de degré 3 en j; et 7. Ou définira semblablement le degré par rapport à un nombre quelconque de lettres. Gela dît, (ont polynôme contenant les lettres xet y peut être ordonné en x et y suivant les puissances croissantes ou suivant les puissances décroissantes. Ainsi le polynôme

est ordonné en a; et j* par rapport aux puissances croissantes ; il ne contient pas de terme de degré i . Son degré en a: et y est le dejré du ou des termes de plus haut degré (ici : 3). — Nous verrons au cours des cbapitres suivants, poui-quoi il est a>antageux d'ordonner tes termes des polynômes d'après leurs degrés.

Remarque, — Une somme ou une différence de polynômes ordoniiés se présente de prime abord sous la forme d'un {X)lynoiiie, mais lion point nécessairement d'un polynôme ordonné : on l'ordonnera en iiiodiOant l'ordre de ses termes.

285. Produits. Faoteura communs. — Il résulte de la délïiiilion dit monôme que la multiplication d'un monôme par un monôme donne un nouveau monôme que nous savons écrîi-e immé-, diatemcnt. Kien de nouveau à dire, par conséquent, sur cette 0|)éi-alion.

Soit maintenant à multiplier un polynôme par un monôme ou par UD polynôme. Four indiquer celte opération nous [Miu vons nous servir de la parenthhe () ou du crochet [], dans lesquels nous enfermons les nombres qui sont eux-mêmes les résultiils d'o|>éralion3 supposées eiTcctiiées. Aînsî le symbole [a + £W — i'jj'J.ISc* H- 1] signifie : produit de la somme *«p- /)OJ(!e c^t/(ii'e (c'est- à-dire du polynôme) 2 + ax — b'x^ par la somme supposée effectuée {polynôme) '6 c* -\- 1 .

Nous savons qu'en vertu de la f/û/n7>u/fWf^ delà multiplication (n° 7), le produit iVane somme de termes par un nombre est

SVMDOLBB ET EXPRESSIONS ALGÉHHIQUBS 289

^gal à la tomme dex produiU des termes par le nombre ('). Aiasi, le produit d'un pol) nome par un monôme eut un [lolynome, «I il en est de même du prodoit d'un polynôme )>ar un polynôme. Itenipiacer par un polynôme un produit qui est indiqué ou moyen d'une parenthèse ou d'un crocliet. ce sera, pour l'algébrtsle. Il effectuer la maltiplicalion » ou « développer je produit ». D'ailleurs, pour écrire convenablement le u pix>duil développé [ou <i développement du produit »], il y aura lieu d'appliquer Ie« règles relatives à l'ordination des polynômes (n" 383-4).

366. — Mais — et c'est ici qu'intervient le flair dé l'algéfariste — il ne sera pas toujours avantageux, pour les calculs à venir, d'efTecluer les mulliplïcalïons. Ln exemple simple va nous «n convaincre immédiatement.

Considérons t'cxpi^ession {x' — xy + i),o : 3a'6, que nous ■écrirons ^^* " V^tT~"~' ^" n'effectuant jMia la multiplication indiquée au numérateur nous mettons en évidence celle circonstance que le numérateur est le produit de n par un autre nombre ; or ledénominatcur est également le produit de u par un autre nombre (3 ab) ; et, puisqu'on ne change )>ob la valeur d'une Traction en divisant les deux termes (numérateur et dénominateur) par un même numbrt', la fraction peut Ctrc écrilc sous la l'oime sim[iHfiée :

Ainsi, l'algëbriste préférera souvent ne pas elTecluer les multiplications de polynômes et monômes 11 se conteolcra de juxtaposer les facteurs du produit (entre parenthèses ou crochets, si ce sont «les polynômes) et de les séparer par des si^^nes x ou des |x)inls; on, même, il conviendi'a d'omettre les signes x ou ,, en remarquant que cette omission uel'ex|>osc à aucune confusion (cf. 381).

('l Noui exprimons symboliquement U propiiélë de ditliifaulivilô ci\ écrivant que \a + b, .e = ac + be [O" l'Ia;. Dans celle formule, Ici tymbolet a, b, c sont des nombroi rulutiti quelconques et, par consëqueni , peuvent élr« remplacét par dci exprcsions algébriques arbitraires i on «ura, par exemple, le druit d'écrir« :

Sur la disposition que l'on donne aux calculs dans la pratique, voir 1m traiiés d'algibre iHémentaire.

UauTiiui. — Lu rriocip» da l'Amljie mgiUnialiqiH. ig

SgO UE CklJZVL ALOBDaïqUE

Ain&i, [Kir eicmplc, les 8vnnl>olr8 3(i[36 -4- c (i + &'){, («' + ii) (c -H 3), représenteront des produits [h première eipression est on produîl dont l'un dea Tacteui-s est lui-même la somme d'un monàrae cl d'im produit.]

l\emai-ques. — Lorsqu'on écrira le produit d'un polynôme par un nionônu-, on placera de préférence l« mondmc en télé, ou du moins son coefticient. Ainsi on ne l'écrira pas (6 + c)3x, omis 3«(fc -H c) ou 3(6 + c)x.

387. — L'.ilgébriste ne se contente \tai de laisser non cfTectués certains iirodnîta algébri(]ues ; il trouve parfois avantageux de remplacer un polvDomc par un produit non effectué.

Considérons, par exemple, l'expression — — -i.tl L'algc-

briale remarque que le numéroteur nVst autre que le produit a{x* — xy -)- i): cti rempla<,'aut le polynôme par ce produit, il voit tout de suite que l'on petit réaliser In simplilication indiquée au n° 366. Lorsque l'on substitue ainsi à une somme de termes le produit d'un monôme par ime somme, on dit que ton met ce monfiine en facteur commun (le monôuie est a d.ins l'exemple donné ci-dessus) : cet opération n'est possible, bien entendu, que si a figure comme facteur dans chacun des termes de In somme.

288. Sommea et produits algébriques en général. — Les convcutiona et rcmai'qucs qui précèdent ne concernent pas seulement les polynômes, mais, en général, loulos tes expressions algébriques où entrent des sommes et des produits. Ainsi l'on écrit

n'h, ii\\l' -h x' t ,j iMjur signifier : pioihtU de ai i>ar b, produit de a par la somme v'î + x' -t- 7- ^'^ dernier produit jHHirt-ait s'écrire a\/li 4 x' +- -. mais il peut être plus avantageux de ne ]>ns le fi-fi'elojiper et de laisser a tn facteur commun.

£89. Fractions. — Toute expression algébrique dans la composition de laquelle entre une ou plusieurs divisions ('), sera écrite

Cl Et par c<maéqu«iit, loult e.\prc«ion pouv.-iiit être ramenée à celle forme par une transTcniiiilion algébrique ivoir § 3;.

StMBOI.E^ ET ESFRKfSIOna AI.G^RIQl'ES 3gf

SOUS b Jbnne d'une fraction (') ou d'une corabluaisoa où entrent des Iractions (rnl^jébriate évîlG ilc se servir du signe :). A ces fractions on peut a(>)>liquer (oulcs les règles qu'enseigne rarilhméliqiie; mais. |>oar abréger les calculs, on aura soin, avant d'opérer sur les fractions, de les limpUJîer toujours le plus possible. A supposer, par ekemple, (ce qui est le cas le plus fréquent) que le numérateur et le dénominateur de la fruclion soient écrits sous forme de sommes, on cberchera (conformément à la remarque des (n** a86-S7) si les termes du numérateur n'ont pas un fadeur commun qui soit aussi facteur commun des termes du dénominateur; de tels tiictenrs cummnns peuvent être supprimés dans les deux termes {haat et has) de la fraction (cf. 388).

Exemples : La fraction g*-^ -H anfe* ^31 équivalente égale) à la o'r' — ab

fraction -' - j- .— -J ou ^ .

MO. Polynômes «n z. — La remarque du n" 387 conduit à metiro un polynôme dont les termes contiennent la lettre :r sons une forme que nons utiliserons fréquemment. Ordonnons (n*383) le polyniïnM par rapport aux puissances croissantes de xel appelons m son degré (m est nn nombre entier |>ositif). Le polynôme est une somme de termes monômes qui sontdistribnésen plusieurs gioiqies sncGssifs : 1" monômes qui ne contiennent pas x; 3° monomrs qui contiennent x i ia i)remière pnit^sancc; 3* monâmes qui contiennent x' : et ainsi de snil« jusqu'à la m^*" puissance x~. Mettons \a somme dn premier groii|kG de inonâmes entre parenlliAses ou crochets ; dans le tecoml groupe de monômes mettons X enjacleur coiumuit (387), afm que la somme des termes de ce groupe a|i[>aroisse sons lu l'ornie ilo [irodnit de x par une somme (entre parenlhcse.* on crocliets); dans le fm/sf^riie groupe, niellons .c^ en facteur commun ; et ainsi de suite. Notre polynôme prend alors finalement la forme suivante :

(<) La traction > repiéientaut par dcfiuiUoii 'c résultai de la division de a par b.

aga LE CALCUL ALOÊBRIQL'X

les ])arentlifeses renrcrmant des' polynômes ou monômes qui ne contiennent pns x.

Gela fait, nous observons que pourqu'une expression algébrique contenant diverses lettres x, a, b, c,... puisse être mise sous la forme ci-dessus, il n'est point nécessaire que cette expression soit un polynôme nu sens dit n" 283. Ainsi l'expression

'^/ab-^ i) + {-Saei -f- aja- ^- br»

n'est pas un polynôme (somme de monômes) : nous conviendrons toutefois de dire que cette expression est un polynôme par rapport à X oa un polynôme en x. D'une manière générale, n04is appellerons « polynôme en x » toute expression algébrique qui peut être mise sous la (') forme (i), oh les parenthèses renferment des expressions algébriques quelconques ne contenant pas la lettre x. L'exposant m de la dernière puissance do x est le degré du polynôme en X. Les expressions entre purcnllièses sont appelées (par extension du tew^ premier de ce luol) coefficients du [tolynome en X. Chaque produit d'un coclficient par la puissance de x à laquelle il se rapporte est dit ferme du polynôme. La première parentlkèse de l;i formule (i) renferme le tenue indépendant ds X -ou i< de degré o a [voir n" 383|.

Remarque I. — Le potynomeen x mis sous la forme (i) est ordonné par rapport aux puissances croissantes dex; on peut naturellement, en retournant l'ordre de ses termes, l'oi-donner par rapport aux puissances décroissantes.

Remarque II. — [I résulte des défmitions qui précèdent que la somme ou le produit de deuj; polynômes en x est un jiolynome

291. Polynômes en a-, y. ou en x, y, .-,. — Comme on a défini les polynômes en x, on poilrra définir les polynômes en x et y ||Hilynoincs par rapport aux deux lettres x et y\. les polynômes en X. y et ;. etc.

CoiisidiTons un produit contenant les lettres x et y, élevées i

(') J'entends [lor là ; loutu l'xprcsBion pouvant ttre ramenée à celte forme par une truns Forma tîon aljjcLtitiuc (voir § 'I).

STMBOLEg BT EXPRESSIOUB ALGÉBRIQUES 39?

certaines puissances enlîères m, n. Nous conviendrons de dire (suivant une locution un peu incorrecte, mais commode) que ce produit est une puissance de x et y ; l'ensemble des facteurs du produit qui ne contient pas xcty sera appelé eoefjîcienl de la puissance de x et ^ ; ainsi, si l'on désigne par une lettre A le coefficienL, la puissance de a; et y sera de la forme hx"'y''.

Deux puissances de a: et y ayant des coefHcients différents, mais affectées des mêmes exposants tn, n serontappelées/iu/jsancej semblables de X et y.

Cela posé, nous appellerons /lo/jnome en x ety toute somme de puissances i\e x et y alTectées de coefUcienls. Réunissant en un terme (par addilîon et mise en facteur commun des expressions, telles que x" y) tout groupe de puissances semblables qui figurent dans la somme, nous {louvons toujours mettre le jKilynome sous la forme (...; + {...)* -H {-Or + (--)^* H- (■-)*/ -^ (■■■)/' 'H terme» analogue»

où les parenthèses renferment des expressions algébriques arbitraires ne contenant pas a: et y. Les expressions entre parenthèses sont les coefjicien/s du polynôme; les termes de la somme puissances de X et y] sont les termes du polynôme et ont respectivement pour degrés la somme de leur degré en x et de leur degré en y [vide n° 284] ; le de<fré du polynôme est le plus élevé des degrés de ces termes. Ces déQnilions s'étendent immédiatement à un polynôme en x, y, z... ou, plus généralement, à un polynôme portant sur un nombre quelconque de lettres ou quantités.

393. — Un polynôme du premier degré [par rapport à x et y ou k un nombre quelconque de quantités] est dit linéaire. Exemple : 3x — y -t- I , ax -i- by -t- cz -h d.

Un polynôme de degré quelconque n dont tous les termes sont du même degré n est dit homof/ène. Exemples :

3a;* -I- aarj- — aj-*. ar* ■+- by* -h cz' ■+- dry ■+- eyz -hjia. polynômes homogènes du second degré ;

ix' -t- x'y ■+- r:*, polynôme homogène du troisième degré.

Uq (MilyDOfnc liomogènG du second degré est aouvcnl appelé Jortne qnadraiufue.