PROPRIÉTÉS DE LA SUITE CROISSANTE DES NOMBRES IQ
gression a, -f- a, -^ ... -i-a,. Nous pourrions nous proposer pareillement de calculer la somme des carrés des termes de la progression, c'esl-Ji-diie la somme
ou, plus géuéralemeot, la somme des /n^» puissances des termes de la propression, c'est-à-dire la somme
on m est un nombre quelconque.
C'est li uD problème qui a joué un râle important dans le dév«loppement de l'Analyse malhémalique, et qui a, pour ce motif, retenu l'atlention des savants les plus illustres.
Envisageons en particulier le cas oà la progression arithmétique est celle des n premiers nombres.
La somme des carrés des n premiers nombres était connue d'Archimède (') {m' siècle av. J.-C.}. La somme des cubes a été également calculée dans l'antiquité.
La somme des quatrièmes puissances est donnée sous une forme imparfaite il est vrai, par Ghtyalh addin al Kashi {') qui vivait à la cour tartare, k Samarcande, dans la première moitié du \v' siècle.
Jobann Faulbaber {'), professeur de matbémaliques k L'im (i5So~t635) effectua le calcul des puissances semblables des n premiers nombres jusqu'à la onzième puissance.
Au XTii* siècle enfin, le problème fut résolu dans toute sa généralité. Il fut proposé à Fermât par le Père Mersenne, et Fermât déclara en septembre i636 (lettre à Mersenne, Œuv. de Fermât, II, p. Cg) : Il Pioblema lotîusfortasse Arilhmetices pulcberrituum conslriiiinius,^quo non solum in quavis progressions summani quadratorum et cuhorum venamur, sed omnium omnino potestalum in infinitum, methodo generalissima, quadratoquadratorum , quadratocuborum, cubocuborum, etc. ».
(') jttp? IXUojv, X. Les nombres étant rcprûsenlés par des grandeurs, révaluation de U somme de leui-s carrcB est, pour Archimède, ud problème de géométrie.
(') Ed. WœpcKE, Paris. ifi53, p. 60-61.
(') llerrn Johann Faulhabera, continuatio ieiner neuen Wunderkiinste, Zurich, i6i7icf. Cantor, Vorlttangen, t. H, p. '1^.
Biaise Pascal résolut la même question en i654, et il exposa sa mélbotle dans un traité latin intitulé Potestalum numericarum Samma (').
17. — Nous allons, h titre d'exemple, eflectuer le calcul de la somme des carrés des n premiers nombres par une méthode qui ne diOère pas au Tond de colle de Pascal et qui se laisse facilement étendre au cas des puissances supérieures.
Désignons par le symbole S la somme des n premiers nombres, par le symbole (') Sj la somme inconnue des carrés de ces nombres, par le symbole Sa la somme inconnue de leurs cubes.
Nous allons nous servir d'une formule que nous établirons plus loin, mais dont il nous est facile de vériûer dès maintenant l'exactitude en effectuant deux multiplications successives (*). Désignant par/) un nombre quelconque, nous avons l'égalité
(i ^ /))' = 1 H- 3 X p -\- i X p^-hp'.
Faisant successivement, dans cette égalité, p = o,p=^i, ...,p = n, nous obtenons le tableau :
Additionnons colonne par colonne. A gauche des signes = avons /i + I nombres cubes consécutifs dont la s autre que : Sa -h (i + n)'. A droite nous avons : ,
n fois l'unité.
plus le produit 3 X (i -i- a -H ... -h n), c'est-à-dire 3 X S; plus le produit 3 X (i* H- a' -f- ... -h n'), c'es^à-dire 3 X Sj; plus la somme i* -H a' h- ... /i\ c'est-à-dire Sj.
{') Traité postliume publié en i665, Œuv., t. III, p. 34 1 et suîv.
j'j Ce Bymbole se lit S indice t.
(*) On TÉiiQa la formule en ctlcctuant le produit :
PROPRIÉTÉS DE LA SUITE CEtOISSA^TB DES NOUBRCS SI
Nous j>ouvons donc, finalement, écrire l'égalité
ou, on retranchant des deux membres (c'est-à-dire des deux côt^s du signe =) le nombre S, qui est égal h liii-mÉme :
Eo la remplaçant par celte valeur dan» mon égalité et retranchant des deux côtés du signe =, la somme n H — — — — — ^.j'obtiens la valeur cherchée de S, :
3 X s, = (. + »,■ - n - ?J1» ïl'L-t'l .
En appliquant les règles de la transformation algébrique que nous étudierons plus loin, on mettrait l'expression de Si sous la forme plus simple que voici :
