PROPRIÉTÉS DE LA SUITE CROISSANTE DES NUMBHES I

impairs, les anciens ont envisagé d'autres suites de nombres qui jouissent de propriétés analogues.

Considérons une suite de nombres satisfaisant aux conditions suivantes (') : i° la suite est croissante, ce qui signifie que tout nombre de la suile est supérieur au\ nombres qui le précèdent et inférieur aux nombres qui le suivent; 3° deux nombres consécutifs quelconques pris au liasard dans la suite ont pour différence un même nombre ;■ (chaque nombre surpasse le préi*^dent de r unités).

Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit que la suite est une n prot/retsion arilhmétiqae n (') ; les nombres de la suite sont les « termes a de la progression ; le nombre ;■ en est la « raison n (').

Soit a le premier terme d'une progression arithmétique de raison r : le second terme est a -i- r; le troisième terme est (14-2 X r ; ... le n*™ terme tst a -h (n — i ) x r.

Nous déduisons facilement de U rexjtression de la somme des n premiers termes de la progression. En effet celte somme comprend :

n fois le nombre a.

(■) Ces déftnitions ■ubaisteroDt, gang modifications, lonque les nombres de la «uite ne seront pas dea nombres entière {Vide infra, n^SSetiiCj.

('] Dans le Papyrus Rhind [voir p. a, note a), l'Egyptien Ahnes pose le problème suivant : • Distribuer dix mesures de blé entre dix

peraonnes de manière que chaque personne ait „ do mesure en moins que la personne qui a reçu avant elle ■. Les [raclions de mesure de blé qui, d'apris cet énoncé, doivent revenir aux différentes personnes sont respectivement

Cette suite de quantités est une progression arithmétique dont les termes •ont des {factions. D'autres problèmes traités dans lo même papyrus nous confirment dans l'opimon que les calculateurs égyptiens savaient manier les pTogressions arithmétiques. Plus récemment, les progressions furent familières aux arithméticiens de la Grèce et de l'Inde. Les Arabes les firent connaître k l'Oecideat.

(*] Il résulte de ces définitions que \fi. suite croissante des nombres est

ims pr^resiion arithmétique de raison i. La suite croissante des nombres

pain ou des nombres impairs est une progression arithmétique de raison a.

BouTUm. — Lm princip» cU l'Aoïkljis sutbtniilique. a

iS LKa NouBaBs

plus la somme (■;

r X l -h 2 -\- ... -h {n— i)) qui (d'après le calcul de S fait &u n* 13) a pour valeur

J'en conclus qu« la somme cliercbéo est égale à

nombre qui est maaifestement la moitié de

[M-Fr X in— i)] X ».

Mais l'expression entre crochets n'est autre que la .somme da premier terme a el du iM* terme 'a ~i- (n — i) X r] de la progression. Et ainsi nous aboutissons h la règle énoncée par Nicolas Chuquet dans son Triparty {i !iS^) : a Si l'addition du premier avec le dernier est multipliée par In moitié (*) du nombre des nombres, la multiplication est i5galc à tous les nombres progrcssionnés ensemble M (éd. Marie, p. 66).

16. Somme des pulisanoas aembteblo* doa t«rmsa d'iuo progroBBlon arithmétiqaa. — Considérons nne suite de n nombres l'orniant une progression arithmétique de raison r. Il nous sera commode de représenter les terrnes de la progression par les symboles suivants ;

a„ Oi, ..., o,,

où les chiffres I, 3 n sont dos indices (^i indiquant le rang

qu'occuijent les différents termes dans la pruf;rcssion.

Nous avons appris à calculer la somme des termes de la pro-

(■) Le crochet [ J a ici le mlmB «mu qu'une puenthéM : il indiqua un» opération clfc«tué«.

<'] Cette moitié Mt une fraction si le nombre de* nombre* est inqiair. Il laut donc connaître le calcul des fractions pour légitiraer dans tous lea, cas la règle de Chi;iiuet.

[') Lob aymboke ai, at. a- »e Uaeat icipectivemeut ; a ittdit» ii a indice a ; a i¥tdice n.