Fonctions et équations

306. Ezpreasioas et loootlons. — Les calculs du paragraphe précédent accusent une imprécision de notre langage. Nous appelons expression alyébrique une combinaison de signes algébriques, et, lorsque nous remplaçons cette combinaison pnrune antre (dite iden- ^que), nons disons que nous transformons l'expression. Or, ce qui subit une transrormalion, ce n'est point il proprement parler la combinaison de signes. — laquelle disparnlt pour faire place à une nouvelle combinaison : c'est plutôt le siibslraluin de lu combinaison; c'est la chose signiTiéo par l'expression algébrique.

Poussons donc un peu plus avant notre analyse. J'observe d'abord que quand je passe. d'une expression algébrique à une autre identique, quelque chose demeure : la valeur numérique commune (positive ou négative) que prennent les deux expressions lorsque l'on attribue des valeurs numériques (arbitraires) aux lettres qui j Ttgurent. Voici, par exemple, une expression algébrique — T-, ou t / — V- .... où entrent quatre lettres a. b.c. d:

lorsque je donne à a, h. c, il des valeurs numériques piirliculières, l'expression prend aussi une valeur numérique; cette valeur varie' quand je modiOc les valeurs de a, b. c, d; mais, en revanche, elle n'est point nltérL'e par les transformations algébriques de l'expression.

Cette remarque me conduit à caractériser comme il suil la nature et le rôle des expressions algébriques. Une exprexsion algébrique, où fujnrenl des lettres a, b, c, d, définit une lot de correspondance saioanl laquelle à des valear-t arbitrairement assignées aux lettres a, b, c, d, correspond unecertaine quantité [oa nombre) déterminée {raknr de t expression). Cette quantité déterminée est appelée fond ion (')'/ea, b, c, d, et l'un dit qu'elle a pour expression ^expression algébrique considérer..

Parlant de cette définition (elle s'applique aux expressions

l'I Jean Behnouii.li semble ilre le premier auteur i]ui ait fait un emploi systématique du mot u fonction >. Ce n'est paa toutefois des conlidéralions développées dans lo présent paragraphe que la nolion de louclion, en tait a été tirée (voir i/i/ra, ch. n, S i).

3o6 I.E CAI^UL AI^éHMQDE

-contenant un nombre quelconque (le lettres), nous pourrons dire -qu'une transformation algébrique quelconque consiste k substituer ■à une expression d'une lonction une autre expression de la même fonction. La fonction subsiste, mais cliangc de forme; l'expression est remplacée.