Fonction Rlgébrlque de certainea lettres ou varlablas

— Désignons par une lettre, <f, le nombre (variable lorsque les valeurs de a, h, c, d varient) auquel est égale une expression algébrique où figurent les lettres a. b, c, d. Pour définir par une formule algébrique la valeur du nombre^, nous écrivons que ^ ^gaie (^) l'expression algébrique donnée, et nous disons que g est Jonction algébrique des quatre lettres, ou des quatre {valeurs ou quaiilitéi) variables, ou des quatre argatne/M a, b, c, d. Ainsi une égalité telle que

g^M + cd. ou 5=^^ï^ji?

-définit g comme fonction de a, b, c, d.

Lorsque g est l'onction des valeurs a, b, c, d, nous disons que ■« la valeur de g est déterminée par les valeurs de a, b, c, d » ou «ncore que •' la valeur de g dépend des valeurs de a. b, c, d ». On • -aura parfois intérêt à signaler cette dépendance sans, pour cela, se donner la peine d'indiquer expressément comment g dépend de (i, b, c, d (c'est-ù-dirc : quelle est l'expression algébrique à laquelle g est égale). On se servira à cet effet d'un symbole spécial, composé d'une lettre, de parenthèses et de virgules, et l'on écrira (') (en utilisant, par exemple, la première lettre, /. du mot Jonction) -.g =/ {a.b, c, d).

Nous pourrions d'ailleurs éviter d'introduire ici une nouvelle lettre en écrivant tout simplement g = g {a, b, c, d), ce qui signifie : « la valeur de g est déterminée par les valeurs de a, b, c, d ».

308. — Serrons ta question de plus près encore. Lorsque nous parlons de « fonctions de a, b. c, d ». nous avons notre attention

(■) Cette nolatioa a été employée pour la première fois par Bulbii {Commentar. Pelropoli ad annoa.t yXi-ii, t. VII, Sl-Pélenbourg, 1740, p. 186). Des EÎgnes analoguea avaient déji été employés par Jban Bbdnouilli el Leibniz.

KO!(crro«s et équatio!<s 807

fixée &ur celle circonstnncc que les valeurs de a, b, c, il sont uariables (') (arbttrairemenl variables). C'esl à cause de celle variabilité <ine r^galiléj^/ (a &, c, d) définit une infinité de nombres dilTércnls, ou, en (l*autrea termes, un nombre rj variable. C'est poui-quoi l'on dit que le nombre g est variable en même tem/is que — oa variable avec — les nombres a. b. c, cl.

Qu'est-ce, dh lors, en définitive qœ définir une fonction? Cett établir une correspondance entre certains nombres variables, tels que, a, b. c, d, et un autre nombre variable y qui dépend des premiers. Les nombres a, b, c, d, sont appelés : h nombres variabt» indépendants n ou « variables indépendantes n (élant aousenlendu le mol quantité pris comme synonyme de a nombre positifou négatif 11); le nombre^ est npiwlé n variable dépendante n.

309. — Nous voici maintenant en état de bien préciser la signification véritable des expressions alg;ébii(]ue».

L'étude d'une expression est au (ond (et alors même que ce n'est pas de la variabilité de celte expression que ton se préoccupe momentané menl) l'étude d'une quantité dëpendunte, déterminée par une ou plusieurs nôtres quantités (variables indépendantes)) qae l'on nomme parfois arguments de la fonction. C'est afin de manifester plus clairement, on plus simplement, la dépendance définie pur une expression que l'ulgébrisie se trouve amené à écrire celte expression sous plusieurs formes dilTérentes,

310. Distinction des variables et des quantitéa fixes (constantes). — Il résulte de ce qui précède que l'élude complète d'une expression al^'ébrique peut iUe particularisée de diverses manières, entre les({uelles il faut établir une distinction.

Dans l'expression y =^ a*b -\- cd. faisons, par exemple, b =^ I, c= 2, (i=^ I ; l'expression devient y = a' -h s, égalité qui définit y comme fonction de la seule variable a. Faisons maintenant 6^3, c-= — 1, </=;a; notre expression devient y ^ 3a* — 2 et diifinil une nouvelle fonction de a. Dune manière générale, nous voyons que si Hon attribue aux lettres b, c et d des

(') ■ Nunc in potlea — dit Newton {Methoduê fiiixionum, apud Opuaeula, t. I, Lausanne et Genève, 174.4, p- 54/ — fluenlea pocabû qaantilatet hat guan eoiuidtro lanquant gradatim et indefirtile tretfenUe >.

3o8 LE CALCUL ALGÉBRIQUE

valeurs Jixes (canslanles, déterminées) quelconques, et à la lellre a fies valeurs variables, tëgalUé g ^ a'6 -H c<l définit y comme fonction île a. Cet ùnoncc est bien clair pour nous; en elTet nous avons dit (n° 275) que l'algèbre opère à la fois sur des nombi-e» lixes (constants) et sur des nombres variables ; nous avons donc lonjotirs le droit de figurer par 6, c, d trois nombres fiies et par a un nombre variable.

De la mâme façon, et suivant les Iiypothises que l'on fera, on pourra considérer que l'égalité y = a' A -+- cd définit}' comme fonction des deux variables a et b, ou comme fonction des trois variables a, b, c, clc. Cette remarque s'applique, bien entendu, à une expression algébrique quelconque.

Loraque dans une expression algébrique on veut signifier que certaines lettres re|)réscn(cnt des nombres variables, on choÎEÎt de préférence, ces lettres parmi les dernières de l'alphabet (380). C'est pourquoi, si nous voulons étudier l'expression g= a* h + cd en tant quelle définit <f comme Jonction de a, nous indiquerons cette intention (') en remplaçant, par exemple, la lettre a par la lettre X et la lettre i/ par la lellre y.

Nous dirons alors que. quelles que soivent les valeurs de b, c, d, la variable dépendante y définie par l'égalité y ^ bx* -+- cd est une fonction de la véritable indépendante x.

Pareillement une égalilc telle que:=^ V.^ ~^ I^. définit ; comme ^ ' ay' + a

l'onction de x ely.

Pour exprimer fjuc y est fonction de x, nous écrirons sonvent, symboliquement : y = f{x) (la lettre / [Muvant d'ailleurs Aire remplacée par une autre quelconque, cf. 30). Nous entendons parla que la valeur de y est déterminée par celle de j: ; ce qui n'empùcbe aucunement que l'expression algébrique de y ne puisse dé|>endre de ccrLiincs lettres a, b, c, d, ... qui tiennent places de valeurs nuniériqui't! quelconques mais fixes.