CHAPITRE PREMIER. — LE TEMPS

(1) Définition de la mécanique. — On a l'habitude de définir la mécanique comme la science du mouvement. Mais il faudrait, pour que cet énoncé fût correct, avoir préalablement défini le mouvement. La définition du mouvement exige celle du temps. Et quelle définition donnet-on du temps?

Il me paraît plus correct de dire que la mécanique est Fapplication des mathématiques aux corps abstraits de la géométrie auxquels on aurait restitué certaines des propriétés physiques des corps de la nature, dans leurs déplacements quelconques.

En géométrie, le critérium de l'égalité c'est la superposition, qui suppose le déplacement d'une figure d'une position à une autre. La géométrie ne s'occupe pas.de la façon dont le développement est opéré ; elle ne s'intéresse qu'à la position initiale et à la position finale.

Lorsque nous voulons tenir conâpte des positions diverses que le corps en déplacement a occupées par rapport aux autres corps, en d'autres termes, des variations de coordonnées de chacun des points de la figure depuis sa position initiale jusqu'à sa position finale, nous faisons de la mécanique.

La méca'nique générale ne s'occupe pas non plus de

toutes les propriétés physiques des corps ; elle ne postule que rimpénétrabilité qui en est la propriété la plus générale. Mais elle admet d'autres propriétés des corps dans des branches particulières de la science.

C'est pourquoi, il ne faut pas trop insister sur une définition rigoureuse qui risque d'être ou trop compréhensive ou trop exteusive (au sens philosophique de ces mots).

Point matériel. — Le point matériel c'est le point géométrique auquel on attribue les qualités de la matière; ou, si Ton préfère, un corps matériel tellement réduit qu'on puisse le considérer comme mathématiquement infiniment petit et entièrement déterminé par rapport aux corps voisins par les coordonnées (x, î/, %,) d'un point géométrique M. On étudie d'abord les lois du déplacement du point matériel avant d'aborder celle du corps matériel ayant des dimensions finies. La loi du déplacement du point M est complètement définie lorsque l'on donne une fonction dépendant d'un seul paramètre arbitraire pour chacune des coordonnées de ce point ; et on voit immédiatement que la condition est nécessaire et suffisante. Elle est évidemment suffisante. Elle est aussi nécessaire, car si l'on a

t étant le paramètre arbitraire ou la variable indépendante j on en tire par résolution de ces équations,

(2) t = ^4 [x) = ya iy) = V3 (^)

Les équations (2) ne sont distinctes qu'au nombre de deux ; par exemple :

(3) <p^ (x) = Va (y)

Les équations (3) représentent deux surfaces dont l'intersection est une courbe dont les projections sur deux plans coordonnés sont précisément données par ces équations.

La courbe est le lieu des positions de M ; c'est ce qu'on appelle la trajectoire de M dans son déplacement. Le chemin suivi par M pour aller de la position initiale à la position finale est donc parfaitement déterminé.

(2) Mouvement d'un point matériel ; définition analytique du temps. — Dans ce cas on dit que les équations (1) déterminent la loi du mouvement dans le déplacement particulier dont il s'agit.

La variable indépendante i est ce que Ton nomme le temps^ en mécanique.

Mais il faut remarquer que la connaissance de^ la trajectoire seule ne suffit pas pour nous faire connaître la loi du mouvement. En d'autres termes les fonctions y des équations (3) étant données, les fonctions /"des équations (1) ne sont pas déterminées. II y aune infinité de groupes d'équations analogues à (1) qui permettent d'obtenir les équations (2) par élimination de /.

C'est ainsi qu'en arithmétique, le nombre 4, par exemple, ne nous renseigne pas sur les opérations dont il est îa solution. Car 4 =3 + 1 011 2 + 2 ou 5 — 1 ou 7 — 3, etc., etc.

Nous n'insisterons pas davantage sur cette importante question.

Remarque, — La géométrie ne s'occupe absolument que desfigures des corps, c'est-à-dire de leurs surfaces ; excepté, dans un chapitre tout spécial appelé géométrie des masses (centre de gravité, centres de pression, etc.). Alors, elle empiète sur la mécanique.

De niême, en mécanique, on démontre certaines pro-

iâ ' LES PRINCIPES DE LA MÉGANigUE

priétés des %ures par une certaine répartition des masses. Ces empiétements de l'une des branches sur l'autre sont sans inconvénient, d'abord, ensuite inévitables et augmentent de plus en plus à mesure que la science tend vers Tunité. C'est notre impuissance à saisir la vérité dans son ensemble qui nous oblige à diviser la science en branches, en compartiments ou en cantons, suivant l'expression à la mode actuelle.

Définition. — On dit qu'un point matériel est invariablement lié à un corps lorsque le tétraèdre formé par ce point et 3 points de la surface du corps est invariable.

(3) Le temps en général. — Mesure du temps. — La

définition que nous venons de donner du temps est purement analytique et, pour cette raison, ne prête à aucune équivoque. Etant absolument arbitraire, elle ne peut non plus être contestée. Enfin, comme elle conduit aux équations de la mécanique qui sont précisément celles universellement adoptées, elle semble échapper à toute critique.

Elle a un autre avantage, c'est qu'elle évite toutes les soi-disant définitions de forme plus ou moins anthropomorphique au ontologique, qu'on rencontre dans une foule d'ouvrages aussi bien de mécanique que de philosophie ; définitions qui ne s'accordent pas entre elles; ce qui est inévitable pour toutes les définitions métaphysiques poursuivant la chimère de l'absolu, alors que la connaissance ne comprend que le relatif.

Un concept n'est rien autre, au fond, que le nom que nous donnons à une chose. Lorsque cette chose n'est pas un phénomène, le nom ne s'applique plus qu'à une abstraction. On crée ainsi des entités sur lesquelles on raisonne comme si c'étaient des choses (ce que l'on n'a pas droit de faire) et on arrive à ne plus s'entendre. Au contraire, si la chose abstraite

est un pur signe auquel toute signification autre que la signification de Vêlre est retranchée, alors en appliquant à ce signe les lois de la logique, qui sont celles de la structure de notre entendement, on ne peut aboutir qu'à des vérités incontestables, que nou3 appelons absolues, par habitude métaphysique. Ce corps de véri tés, ce sont les mathématiques .

On comprend ainsi pourquoi les mathématiques sont infaillibles, et aussi pourquoi elles ne peuvent rien nous apprendre : j'entends rien des vérités physiques. Une équation mathématique ne peut nous donner que ce que nous y avons mis; mais, en le donnant sous une autre forme, elle nous permet d'envisager de nouvelles relations et de découvrir ainsi de nouvelles vérités physiques, par induction: c'est en cela que consiste l'importance universelle des mathématiques.

Elles ont un autre avantage, plus immédiat, c'est de servir de moyen de contrôle, comme instrument de déduction parfait, qui nous permet de comparer une proposition nouvelle à une vérité acquise.

C'est en cela que consiste spécialement l'application journalière des mathématiques aux sciences physiques.

Après cette digression, revenons-en au temps.

Pour qu'on se rende compte du vague dans lequel on s'est complu jusqu'à notre époque, je citerai ces paroles d'Ampère que Sarrau areprqduites dans son cours de mécanique de l'Ecole Polytechnique (année 1889).

« Il y a mouvement quand l'idée de temps pendant lequel a eu lieu le déplacement étant jointe à celle du déplacement lui-même, il en résulte la notion de vitesse plus ou moins grande avec laquelle il opère. »

Ce texte est aussi dépourvu de signification scientifique que philosophique: on n'y définit ni le déplacement, ni le temps, ni la vitesse.

Mais, qu'est-ce que Vidée de temps ?

Pour répondre à cette question, cherchons à nous rendre compte de la façon dont s'établit la notion usuelle du temps.

Nous nous rappelons les événements de chaque jour et nous avons conscience de la succes^sion des jours. C'est-à-» dire que nous nous rappelons ce que nous avons fait ou vu il y a un, deux, trois, etc., jours et dans Tordre numérique 1, 2, 3, etc. L'homme rapporte ces événements à sa propre personne qu'il suppose immuable alors que nous savons, cependant, qu'elle est perpétuellement changeante ; ne serait-ce que par l'accroissement du corps depuis la naissance jusqu'à l'âge mûr.

L'expression de temps est donc une relation qu'il établit entre les différents événements dont il a le souvenir depuis l'enfance : c'est donc une simple façon de parler. En un mot, l'expression de temps n'a aucune valeur objective et est purement subjective.

(4) Signification exacte des expériences de Galilée. — Mais à la suite de certaines conventions, l'homme s'est mis à mesurer le temps; ou, plutôt, il a mesuré le déplacement d'un mobile, déplacement que, par abstraction, il prend comme mesure arbitraire du temps.

Lorsqu'on dit que Galilée, en observant le lampadaire de la cathédrale de Pise, a constaté que les petites oscillations sont isochrones, on soutient une pure absurdité.

Que Galilée y ait éprouvé une sensation d'isochronisme, invérifiable d'ailleurs, c'est possible. Ce que nous savons, c'est qu'il construisit une clepsydre à surface très large et à trou d'écoulement très petit [afin que la loi inconnue de l'écoulement du liquide fût à peu près celle qui résulterait d'un niveau absolument constant] et il compara les poids d'eau écoulés au nombre d'oscillations d'un pendule qui

rappelait en petit le lampadaire oscillant de la cathédrale. L'expérience prouva que, si//^s oscillations sont suffisam-* mentpeiiteSj leur nombre est exactement proportionnel aii volume d'eau écoulé. Il en conclut qu'on peut prendre comme mesure du temps au lieu de Teau écoulée par la clepsydre le nombre des oscillations d'un pendule de longueur donnée.

L'avantage du pendule sur la clepsydre, c'est qu'il évitait les variations imputables au niveau changeant de Peau et qu'il permettait, en outre, la division du temps en unités très petites par une simple lecture, si on avait soin de relier mécaniquement le pendule à une aiguille se mouvant sur un cadran (1). Je ne m'étenderai pas sur les lois pendulaires établies par Galilée et sur toutes les découvertes en mécanique que ce simple instrument lui permit de faire (2).

(1) C'est Huygens qui, après Galilée^ construisit Thorloge à pendule par rinvention de Téchappement.

(2) Cherchons à nous rendre compte de ce qu'est la sensation d'isochronîsme.

On s'en tire d'ordinaire par un mot : on dit que c'est de la psychologie. Or la psychologie — à mon avis, du moins — n'est pas une science. La mécanique, la biologie^ sont des sciences en ce qu'elles étudient des rapports vérifîables par l'expérience et susceptibles de se traduire en formules mathématiques qui en sont des images abstraites.

Hien de pareil en psychologie où l'on peut soutenir à perte de vue des propositions qui ne se prêtent à aucune vérification expérimentale.

La répétition d'oscillations pendulaires de même amplitude, que nous déclarons identiques entre elles ou régulières, nous permet d'établir une distinction d'avec les mouvements que nous appelons irréguliers ; et nous les déclarons tels lorsqu'ils correspondent chacun à un nombre différent d'oscillations pendulaires.

Par exemple, le pouls d'un malade est irrégulier lorsqu'il n'y a pas un même nombre de pulsations par seconde (la seconde correspondant à un nombre fixe d'oscillations pendulaires). C'est donc Les Principes de la mécanique. 2

Mais, personne ne sachant ce qu'est le temps en soi (ni ce qu*est quoi que ce soit en soi) il est impossible de dire t[ue Ton mesure le temps à l'aide du pendule, pas plus que d'un autre instrument.

Ce qu'il faut retenir de l'expérience de Galilée, c'est que le nombre des petites oscillations d'ui pendule est indépen* dant de leur amplitude. C'est cette loi qui l'a conduit à prendre l'oscillation d'un certain pendule pour unité de temps.

Les anciens astronomes chaldéens ou égyptiens avaient constaté que deux jours de suite les étoiles de la voûte céleste (qui semble tourner autour d'un axe constant) occupent la même place aussitôt après le coucher du soleil ; ils en ont conclu que la révolution de la sphère céleste a la même durée deux jours de suite. On s'aperçut bientôt que ce n'est là qu'une approximation. Mais la constance de la durée du mouvement de révolution a été conservée comme un dogme.

Après Galilée, on a pu constater que les deux jours de

l'expérience seule qui nous permet de distinguer les mouvements réguliers de ceux irréguliers et c'est elle qui nous fourni^ le concept de régularité par opposition à celui d'irrégularité.

C'est parce que Galilée avait, par expérience, cette notion ou ce concept de la régularité qu'il pouvait avoir, en suivant les oscillations du lampadaire de Pise, la sensation, d'isochronisme. La pratique des mouvements réguliers exisle dans toutes les professions manuelles; l'expérience ayant prouvé que les mouvements de même amplitude, toujours les mêmes, sont les plus favorables à la production du travail, par opposition aux mouvements irréguliers, d'amplitude variable, dans lesquels les muscles exigent, pour agir convenablement, l'ingérence continuelle de la volonté tandis que, dans le premier cas, les mouvements deviennent réflexes, en quelque sorte, c'est-à-dire qu'ils économisentla volonté et correspondent,' par conséquent, à une fatigue cérébrale moindre. Il faudrait, pour être complet, que nous analysions la volonté elle-même; mais ceci nous entraînerait par trop hors de notre sujet.

suite la révolution correspondait au même nombre d'oscillations du pendule et cette constatation a paru une vérification suffisante.

Au fond, on conclut de la constance du jour sidéral à celle du nombre des oscillations du pendule ; comme à la constance des oscillations du pendule par celle du jour sidéral. C'est un cercle vicieux, sans doute, mais il faut nous en contenter: tout est cercle vicieux à la base d'une science et c'est même pour cela qu'il est possible d'obtenir des rapports de plus en plus exacts par approximations successives. Cela revient à dire que nous ne savons rien par principe, mais que par expérience.

Nous connaissons des faits que nous relions ensemble par un certain nombre de conventions; et, quand nous en avons tiré un certain nombre de conclusions que nous appelons logiques, c'est-à-dire conformes à la façon de raisonner identique chez tous les hommes auxquels nous accordons du bon sens, alors nous sommes en droit de dire qu'un progrès a été réalisé et que la voie suivie est féconde en résultats. En réalité, on fait les conventions les plus simples qu'on puisse, de sentiment, pour ainsi dire, mais conformes à l'expérience, bien entendu. Puis, on en tire des conclusions et si toutes les conclusions s'enchaînent et se vérifient, on a édifié la science.

Certains auteurs ont rangé le temps parmi les concepts qui nous sont immédiatement fournis par nos sens : tels que la lumière, le son, la chaleur, l'espace. Ces derniers correspondent à la vue, à l'ouïe, au toucher ; c'est-à-dire sont des abstractions tirées des phénomènes extérieurs.

Or, il résulte de ce qui précède que la mesure du temps est un fait d'expérience ; mais que nous n'avons pas, à proprement parler, de concept du temps puisque le temps n'affecte pas notre sensibilité.

L*idée de temps est purement psychologique et échappe, par conséquent, à la mécanique ; tandis que la mesure du temps provient de la comparaison de mouvements qui se répètent en restant semblables. Ce qui affecte nos sens^ c'est la répétition des deux séries de phénomènes que nous comparons: exemple, la rotation de la terre et le mouvement pendulaire.

Quant à la répétition elle-même, c'est un élément psychologique qui préside à toute expérience^ quelle qu'elle soit.

Il me semble donc que ceux qui disent que pour faire la mécanique il suffit d'invoquer les concepts de temps, d'espace et de masse, se trompent et que l'espace et la masse suffisent pour édifier toute la mécanique.

Ceci paraîtra plus évident lorsque nous aurons défini la masse.

Quant au concept espace il me semble superflu de le définir puisqu'il est déjà invoqué en géométrie.

Le principe de Galilée permet de mesurer le temps vulgaire sans que nous nous préoccupions de savoir ce qu'est le temps en lui-même, et cela suffit. La notion de temps n'ajoute rien à la connaissance : elle permet seulement d'établir une comparaison entre les différents mouvements dont l'homme est témoin et de Tordre dans la mémoire.

On trouve, dans l'observation vulgaire, la preuve que le temps n'a pas une signification absolue. L'homme inoccupé trouve le temps long. Il a beau regarder sa montre fréquemment, il retrouve les aiguilles presque à la même place. Supposez-le, au contraire, se livrant à une occupation absorbante, la pêche à la ligne, par exemple; les heures lui sembleront passer avec une rapidité étonnante et, en consultant sa montre, il sera étonné de voir qu'il a passé un

grand nombre d'heures qui ne lui auront laissé que la sensation d'un instant. Cela tient à ce que, pendant cette occupation absorbante, sa vie aura semblé suspendue, en quelque sorte, et qu'il a perdu la notion du changement en dehors de lui comme en lui. On pourrait indéfiniment multiplier ces exemples qui prouveraient que la notion de temps est intimement liée à celle de mouvement.

Le temps n'a donc qu'une signification verbale et ne prend de signification objective que de la notion de vitesse qui nous est indispensable pour l'étude des mouvements, ainsi qu'on le verra par la suite.

Remarque. — On peut faire cette observation qu'un pendule fortement éloigné de sa position d'équilibre a des oscillations dont la durée décroît rapidement par rapport à celles d'un pendule de comparaison dont les oscillations sont très petites et l'on se rend aisément compte que la rapidité des oscillations tend vers une limite ; de telle sorte que la loi pendulaire ne serait rigoureusement vraie que pour des oscillations infiniment petites.

Nous ne nous arrêterons pas davantage sur cette importante question qui, en mécanique, se prête à bien des développements intéressants. Il s'agit maintenant de nous assurer que la définition analytique du temps que nous avons donnée qui, elle, paraît mathématiquement irréprochable, peut s'accorder avec, je ne dirai pas le sentiment vulgaire, ce qui est trop imprécis, mais avec Texpérience de Galilée ou, si l'on veut, avec la façon ordinaire de mesurer le temps. Gela est d'autant plus nécessaire que cette définition analytique n'est pas habituelle et pourrait dérouter les débutants.

Le temps, tel que je l'ai défini, est donc la variable indépendante dans le déplacement d'un corps quelconque. Dans l'étude d'une fonction, on calcule les variations de la

fonction pour des variations iw^M/me7it;?^//7^s et égales delà variable. En imaginant un pendule de longueur infiniment petite, chacune de ses oscillations pourra figurer comme élément diflFérenticl de la variable indépendante. Si donc j'écris:

d'où je déduis

dx = f (t) dt

dl sera, si l'on veut, l'oscillation d'un pendule infiniment petit.

Puisque l'oscillation d'un pendule simple infiniment petit représente maintenant l'accroissement infiniment petit du temps, rien ne nous empêche de considérer l'oscillation du pendule simple comme l'étalon de la mesure de notre variable indépendante. Et quand nous donnerons à Ha valeur particulière Z^, cela voudra dire qu'il y a eu /^ oscillations d'un pendule simple de longueur connue.

En pratique on a défini l'unité de temps, la seconde, d'après les observations astronomiques. On convient que le jour sidéral contient 86.400 secondes de temps moyen et on détermine, par l'expérience, la longueur du pendule simple qui a ce nombre d'oscillations pendant une révolution de la sphère céleste.

Mais, on peut opérer plus simplement en se servant de la deuxième loi pendulaire que Galilée a également établie par l'expérience, à savoir que le nombre des oscillations est en raison inverse de la racine carrée de la longueur du pendule. On peut donc calculer la longueur du pendule à seconde d'après l'observation d'un pendule de longueur jdonnée.

Si X est la longueur du pendule à seconde

l celle du pendule qui a n oscillations par seconde

on a X = 71^, l

Voici comment on ferait Texpérience. Soit N le nombre d*osciilalions du pendule de longueur l pendant la durée

d'un jour sidéral ou 86.400 secondes ; — - 86.400 sera la

durée de n oscillations ou de 1 seconde.

d'où n =

€l on calculera x par la formule précédente où on remplacera n par sa valeur déduite de Tobservation de N.

On voit en somme que mesurer le temps vulgaire, c'est établir tm rapport entre la rotation de la terre et le mouvement pendulaire.