CHAPITRE II. — LES VITESSES

(1) La vitesse. — En mécanique rationnelle, on appelle vitesse d'un mobile M le rapport du chemin infiniment petit parcouru pendant le temps dl à dt ; si Ton désigne par s la longueur de Tare de la trajectoire du mobile parcouru à partir d'un point donné M ; la vitesse s'écrit :

ds

c'est-à-dire qu'elle est la dérivée de l'espace parcouru par rapport au temps.

Voyons comment s^établit la notion usuelle de la vitesse et comment on peut la faire concorder avec la définition analytique.

Soient deux droites MX, MY (fig. 1) parcourues par deux mobiles M^ et Mgqui, à un signal donné, partent ensemble de M. Je suppose que les deux mobiles s'arrêtent ou soient arrêtés à un même signal en M'^et M'2. Posons MM'i = ^4, MM'^ = ^2 et supposons ^>^i ; on dira que le mobile Mg a été plus vite que le mobile M4 ou que sa vitesse a été plus grande ; sans qu'on attache aucune notion précise au vocable vitesse qui n'est encore qu'une façon de parler.

Supposons encore que lorsque M'g est arrivé à la moitié de son parcours, il en soit de même de M'i; de même pour le

Fig. 1.

quart du parcours ; enfin, pour une même partie aliquote quelconque des parcours respectifs de chacun. On dira que les vitesses moyennes des deux mobiles sont proportionnelles aux espaces parcourus.

Si on désigne mathématiquement ces vitesses par les ' signes ^4 et v^, on pourra écrire

Nous pourrions avoir simultanément plusieurs mobiles Mj, Mj, . . Mn et on écrira

-fL— -fi — -f!L — t

/désignant la valeur commune de ces rapports.

Supposons que nous fassions oscillef un pendule depuis le moment du départ commun des mobiles jusqu'au moment d'arrivée (le pendule servant précisément à donner les signaux) et soitn le nombre des oscillations. Les quantités V et v' n'étant pas absolues mais connues seulement par leurs rapports on pourra écrire

V4 "" Va ~ ""

d'où t = n.

On voit bien par cet exemple que le temps, variable indépendante ou nombre des oscillations d'un pendule, temps mathématique ou temps pratique, peu importe, entre arbitrairement dans la définition de la grandeur de la vitesse d'un point M et que l'expérience ne nous donne que des rapports de vitesses.

L'unité de temps étant arbitraire, on en déduit la vitesse connaissant l'espace parcouru, dès qu'on a choisi l'unité de temps. On a ainsi :

(1) ei = \\ ti

L^équation fondamentale (1) nous montre que le temps et la vitesse sont des grandeurs réciproques par rapport à l'espace parcouru. On se rend mieux compte, maintenant, de notre affirmation que le temps en soi n'a aucune signification : c'est un mot qui nous est suggéré par l'expérience des mouvements, en général, et de notre vie, en particulier; c'est une affirmation de la persistance de l'être malgré les modifications que la vie imprime constamment à notre corps. Mais, lorsqu'on cherche à approfondir le sens de ce mot au point de vue mécanique, on trouve que le temps est réciproque de la vitesse par rapport à l'espace parcouru par un mobile quelconque et que les deux notions de vitesse et de temps sont inséparables l'une de l'autre.

On arrive à la mesure du temps par la vitesse et de la vitesse par un espace parcouru arbitrairement choisi.

Ceci n'est encore établi que pour une vitesse moyenne ; mais, si dans Texpérience précitée, on prend les parties aliquotes infiniment petites, on voit que la vitesse est la dérivée de l'espace par rapport à une variable indépendante, c'est-à-dire par rapport au temps, puisque tel est le nom mécanique qu'on donne à la variable indépendante, dans tout mouvement ; et on écrira

de

'' = dr

C'est précisément la définition analytique, qui est conservée pour un mouvement varié rectiligne ou curviligne. Cela revient à admettre que, dans un mouvement varié la

vitesse reste constante pendant un temps infiniment petit. On convient de dire que la vitesse a la direction et le sens du déplacement infiniment petit du mobile, direction qui est celle de la tangente à la trajectoire, dans un mouvement quelconque. La vitesse peut, alors, être traitée comme un vecteur. Lorsque le mouvement est rectiligne et uniforme, la vitesse est l'espace linéaire parcouru dans l'unité de tenips. C'est pourquoi dans le mouvement varié et curviligne le vecteur de la vitesse est pris conventionnellement suivant le déplacement infiniment petit pendant le temps dt. Cette convention s'impose donc si nous voulons représenter la vitesse par un vecteur.

(2) Mouvement relatif et absolu — Repos. — Nous avons vu qu'il y a mouvement lorsque les coordonnées du point matériel ne dépendent que d'une seule variable indépendante, qu'on appelle le temps. Les coordonnées sont prises par rapport à certains axes et on dit que le mouvement a lieu par rapport à ces axes.

Les traités de mécanique parient de mouvement absolu sans spécifier ce qu'ils entendent par là. Cependant, dans ces dernières années, il s'est produit une réaction contre le vague de ce langage qui, véritablement, fait mauvais effet dans des ouvrages scientifiques. Dans un traité récent qui est d'une clarté parfaite, l'auteur (i) a eu soin de dire que le mouvement absolu est celui pris par rapport à des axes passant par des étoiles fixes ou considérées comme telles.

De cette façon, le lecteur est bien fixé et toutes les équations ont un sens bien défini.

{1)M. Appell, Traité de mécanique rationnelle, Paris, Gauthier-Vil* lars, 1903.

Mais la question mérite d'être examinée au point de vue philosophique.

Le mouvement d'un point M est rapporté à un trièdre (OXYZ). Ce trièdre étant lui-même en mouvement par rapport à un autre trièdre (O'X'Y'Z') la mécanique nous apprend à calculer les coordonnées {x'y'%') du point M en fonction du temps, connaissant les coordonnées {x,y,z).

Le mouvement de M par rapport aux axes (OXYZ) est appelé mouvement relatif et celui par rapport à (O'X'Y'Z') est appelé mouvement absolu ; c'est évidemment là une locution vicieuse. Lorsque, comme M. Appell, on réserve le mot absolu aux mouvements rapportés à des axes passant par les étoiles on dit quelque chose de précis, et le lecteur est averti. On suppose les étoiles fixes, ainsi que leur nom l'indique. Ce n'est pas qu'elles soient fixes (nous nous expliquerons là-dessus tout à l'heure), mais leur éloignement est tel par rapport à nous que toutes les droites menées d'un point quelconque de la terre à une étoile sont exactement parallèles, quelle que soit la position de la terre sur son orbite. Nous pouvons *donc hardiment rapporter tous les mouvements à des axes passant par une étoile, certains que nous sommes pratiquement que les équations du mouvement par rapport à ces axes ne seront jamais changées.

Les étoiles nous paraissent fixes, en général. Cependant, dans ces derniers temps, les astronomes ont vu des étoiles dites doubles dont Tune décrit une orbite autour de l'autre. On a même calculé les éléments de certaines de ces orbites et observé les temps des révolutions. On déduit de ces observations que les orbites de ces étoiles, si petites qu'elles paraissent, doivent être colossales par rapport à celle de la terre dans son mouvement autour du soleil si l'on tient compte de la distance des étoiles tellement grande que la lumière met des années et, pour certaines, des siècles à

nous parvenir (1). Le volume de ces étoiles et leurs masses sont sans doute en proportion de leurs distances orbitaires par rapport aux nôtres. Si les autres étoiles nous paraissent fixes, c'est que leurs distances doivent être énormément plus grandes entre elles et à la terre que celles des étoiles doubles mobiles, pour que, même au bout de plusieurs siècles d'observation, on ne les ait pas vu bouger. Mais, cela ne prouve pas du tout qu'elles soient toutes fixes les unes par rapport aux autres. Tout ce que nous savons de l'astronomie nous fait paraître l'opinion inverse infiniment plus probable.

On a posé souvent celte question : Y a-t-il un point fixe dans J'Univers? 11 y a eu même un auteur qui a donné le nom de a (alpha) au point autour duquel l'univers tournerait.

Je me hâte de dire que cette question est tout simplement absurde. En effet : au point de vue philosophique nous ne connaissons que des mouvements relatifs et nous ne pouvons savoir ce que signifie l'expression mouvement absolu. Supposons que nous ayons choisi ce point « comme centre fixe de l'Univers, pour y faire passer nos axes coordonnés absolus. Comment définirons-nous la directionde ces axes ? Il faudra donc un point absolument fixe pour chacun des axes; soit 3 points outre le point «. Si, au lieu du point a on nous donne le corps «, les axes absolus pourront être choisis sur ce corps.

Supposons que nous y soyons transportés : nous verrons les corps célestes, C,C',C'' en mouvement absolu, par définition. Mais transportons-nous par hypothèse sur un de ces

(1) La vitesse delà lumière est de 300.000 kilomètres par seconde ; le chemin parcouru par une vibration lumineuse est donc de 96.608 X ^0* kilomètres par an ou près de 10*^ kilomètres.

corps C, par exemple. Nous verrons par rapport à nous se déplacer non seulement G/C, etc., mais encore a.Il en sera de même si nous nous transportions successivement sur tous les autres corps. Finalement, nous aurons vu si souvent a se déplacer que nous nous mettrons à douter de sa fixité. Ou, plutôt, nous nous dirons : il nous est impossible de savoir s'il y a un mouvement absolu ni même ce que signifie l'expression de mouvement absolu.

(3) Vitesse relative. — Vitesses simultanées. — Si un point matériel M est animé d'un mouvement relatif à des axes (OXYZ) qui • lui fait parcourir dans le temps infiniment petit dt un chemin infiniment petit MM', dans ce mouvement relatif ; si d'autre part les axes (OXYZ) se déplacent par rapport à d'autres axes (OiX^TiZi) et que le déplacement élémentaire de l'origine par rapport aux: axes fixes (OiX^Y^Zi) soit égal en grandeur et en direction à M'M", on démontre que MM" est le chemin élémentaire décrit par le point M pendant le temps d/, dans le mouvement absolu, c'est-à-dire par rapport aux axes passant par les étoiles fixes.

Le déplacement M'M", qui est le Fig. 2. même pour tous les points invaria-

blement liés à M (tels que ceux d'un corps solide dont M ferait partie) s'appelle mouvement d'entraînement du système d'axes (OXYZ).

De telle sorte que le mouvement absolu est le résultant géométrique du mouvement relatif et du mouvement d'entraînement. Si nous divisons MM', M'M' et MM' parrfl nous avons lès vitesses relatives à ces mouvements et l'on est ainsi autorisé à dire que la vitesse dans le mouvement absolu est la résultante de la vitesse du mouvement relatif et dans celle du mouvement d'entraînement.

C'est ce qu^on appelle la composition des vitesses simultanées.

Cette locution est évidemment vicieuse: un point n'a à la fois qu'une seule vitesse qui est relative aux axes auxquels on compare le mouvement. Si pour la commodité de nos explications, nous sommes obligés d'étudier le mouvement successivement suivant deux ou plusieurs systèmes d'axes pour aboutir, finalement, à connaître le mouvement suivant les axes qui nous intéressent le plus, nous nous disons à nous-mêmes que ces différents mouvements sont simultanés pour éviter de faire croire que les opération^ du point sont successives comme celles de notre pensée. Au fond, il n'y a qu'une chose qui intéresse la mécanique, c'est de trouver les vecteurs composants du vecteur que nous qualifions de résultant et le principe que nous examinons ici devrait s'intituler :

Principe dé la composition et de la décomposition du mouvement d^un point rapporté à certains axeSy suivant plusieurs systèmes d'axes arbitrairement choisis.

Remarque. — Nous avons dit que nous appellerons dorénavant mouvement absolu celui qui est rapporté à des axes invariablement liés aux étoiles fixes et considérés comme absolument fixes en raison de l'énorme éloignement des étoiles, tout en faisant nos réserves sur la signification des mots absolu et fixe au point de vue philosophique.

Mais, lorsqu'il s'agit dé mouvements plus ou moins compliqués a la surface de la terre où un point subit un mouvement déterminé par rapport à des axes mobiles par rapport" à d'autres axes invariablement fixés à la Terre, on peut considérer ces axes comme fixes au point de vue de l'étude du mouvement du point, si Fon veut connaître ce mouvement uniquement par rapport à la terre, c'est-à-dire, en somme, par rapport à l'observateur.

Si l'un des axes est la ligne des pôles ou Taxe de la terre, et les deux autres axes des lignes joignant le centre de la terre à deux étoiles fixes ; ces axes, dans le mouvement orbitaire de la terre, restent constamment parallèles à euxmêmes. Les considérer comme fixes, dans le mouvement du point tel que je viens de Tenvisager, revient donc à faire abstraction du mouvement orbitaire de la terre.

Définition. — Un point est dit en repos, lorsque sa vitesse par rapport à des axes fixes est nulle ; au repos relatif, par rapport à certains axes, lorsque sa vitesse relative à ces axes est nulle.

(4) Accélération. — On sait que l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps ; c'est-à-dire la limite du rapport de Taccroissement infiniment petit de la vitesse à l'élément du temps dt. La direction de la vitesse suivant la tangente à la trajectoire est conventionnelle. En est-il de même de celle de l'accélération ? Voilà ce qu'il est intéressant de savoir.

Lorsqu'on calcule l'accélération, on trouve que les projections sur les axes sont les projections de deux vecteurs,

dv l'un dirigé suivant la tangente et qui est égal à — : on l'ap-

pelle accélération tangentielle ; l'autre égal à — (p dési^

gnant le rayon de courbure de la trajectoire au point considéré) et dirigé suivant la normale principale.

En analysant la question, on remarquera que la position de ces deux vecteurs est une conséquence immédiate de la convention qui a été faite sur le vecteur vitesse ; convention qui n'était pas obligatoire, puisqu'on peut s'en passer; mais qui n'est pas arbitraire, non plus, puisque nous n'en

pouvons pas faire d'autre. Et on la fait parce qu'elle est utile.

Supposons, pour siniplifier, le mouvement dans un plan : La projection de l'accélération sur l'axe des x sera

do , V* o

— r- ces a + — COSJS

dt ' p '^

a désignant l^angle de la tangente avec Taxe des xei fi celui de la normale principale avec le même axe.

Si donc on convient de représenter V accélération par un vecteur, on peut décomposer ce vecteur en ces deux vec-

dv vi^ teurs — r et — diriffés l'un suivant la tanjcente, l'autre sui-

dt ^ ^ ®

vant la normale principale. On sait, d'ailleurs, qu'il y a une infinité de manières de décomposer un vecteur par la rèi^le du parallélogramme.

L'accélération tangentielle se confond comme quantité avec l'accélération totale dans le mouvement rcctiligne varié ; on convient, dans ce cas, de la représenter par un vecteur dirigé suivant la vitesse, et ce vecteur ne peut être que dirigé suivant là tangente dans un mouvement curviligne. Une fois ce vecteur choisi, l'autre est nécessairement dirigé suivant la normale principale.

Mais j'ai tenu à faire voirque le choix des vecteurs composants de l'accélération est conventionnel, mais non arbitraire.

La somme des projections sur des axes des deux composants de l'accélération a pour expressions analytiques,

respectives

d^x d^y dH U^ ' llt^ ' dt^

L'accélération totale est ainsi, par définition, la résultante des accélérations des mouvements projetés.

Les composantes et la résultante sont donc traités comme des vecteurs.

Je me borne à rappeler que Newton définissait l'accélération comme la vitesse d'un point décrivant une courbe polaire, appelée hodographe^ dont les vitesses du mouvement considéré sont les rayons vecteurs. Actuellement, dans les traités, on la définit à l'aide de la déviation. Ces deux méthodes arrivent au même résultat que la méthode analytique t